Sea $f:U\subseteq {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ , diferneciable en un abierto, convexo $U.$

Sea $(x_0,y_0)\in U$ y $(h,k)$ cercano a $(x_0,y_0)$, tal que $(x_0+h,y_0+k)\in U.$

Como $U$ es convexo, entonces $$(1–t)(x_0,y_0)+t(x_0+h,y_0+k)=(x_0+th,y_0+tk)\in U$$

Podemos parametrizar el segmento de recta $\alpha (t)=(x_0+th,y_0+tk)$ y hacer la composición $f\circ \alpha :[0,1]\to \mathbb{R}$

Le podemos aplicar:

(*) el teorema del valor medio para funciones de $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, y también

(*) la regla de la cadena.

$$

Teorema del valor medio para derivadas

Si $g$ es continua en el cerrado $[0,1]$ y derivable en el abierto $(0,1)$, entonces existe $\theta \in (0,1)$ tal que

$$g^{\prime }(\theta )={\displaystyle \frac{g(1)–g(0)}{1–0}}=g(1)–g(0)$$

donde $g=f\circ \alpha$

$(f\circ \alpha )(\theta )=\mathrm{\nabla }f(\alpha (\theta ))\cdot {\alpha }^{\prime }(\theta )={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)h+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)k$

Sabemos que

$f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+\mathrm{\nabla }f(\alpha (\theta ))\cdot {\alpha }^{\prime }(\theta )$

$f(x_0+h,y_0+k)–f(x_0,y_0)=\mathrm{\nabla }f(\alpha (\theta ))\cdot {\alpha }^{\prime }(\theta )$

Si $f$ fuera de clase ${\mathcal{C}}^2$ podríamos decir más, en particular $g=f\circ \alpha \in {\mathcal{C}}^2$

$g(t)=f(x_0+th,y_0+tk)$

$g^{\prime }(t)={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0+th,y_0+tk)h+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0+th,y_0+tk)k$

Queremos conocer calcular $g^{\prime \prime }(t)$.

Examinemos ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0+th,y_0+tk)h=G(x_0+th,y_0+tk)$

Sea $G(x,y)={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x,y)$, entonces

${\displaystyle \frac{d}{dx}}G(x_0+th,y_0+tk)={\displaystyle \frac{\partial G}{\partial x}}(x_0+th,y_0+tk)h+{\displaystyle \frac{\partial G}{\partial y}}k$

Entonces

$$g^{\prime \prime }=({\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}(x_0+th,y_0+tk)h+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y\partial x}}(x_0+th,y_0+tk)k)h+({\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x\partial y}}(x_0+th,y_0+tk)h+{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}}(x_0+th,y_0+tk)k)k$$

$$g^{\prime \prime }={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}(x_0+th,y_0+tk)h^2+2{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_0+th,y_0+tk)hk+{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}}(x_0+th,y_0+tk)k^2$$

$g^{\prime \prime }$ es la segunda derivada de $(fo\alpha )(t).$

La tercera derivada de $f(\alpha (t))$ es $${\displaystyle \frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^3}}{h}^3+3{\displaystyle \frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^2\partial y}}{h}^{2}k+3{\displaystyle \frac{{\partial }^{3}f}{\partial x\partial y^2}}h{k}^2+{\displaystyle \frac{{\partial }^{3}f}{\partial y^3}}{k}^3$$ valuada en $(x_0+th,y_0+tk)$

$$

Teorema de Taylor para funciones de $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ aplicado a $g=f\circ \alpha$

$g(t)=g(0)+g^{\prime }(0)t+\frac{1}{2}{g}^{\prime \prime }(0)t^2+E(t)$ , donde $E(t)$ es el error.

Una fórmula para este error es ${\displaystyle \frac{g^{\prime \prime \prime }(\xi )}{3!}}$ para alguna $\xi \in (0,t)$

Entonces

$g(t)=f(x_0+th,y_0+tk)$

$g(0)=f(x_0,y_0)$

$g^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0,y_0)h+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0,y_0)k$

$g^{\prime \prime }(0)={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x}}(x_0,y_0)h^2+2{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial }}hk+{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}}(x_0,y_0)k^2$

$E(t)={\displaystyle \frac{g^{\prime \prime \prime }(\xi )}{3!}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^3}}{h}^3+3{\displaystyle \frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^2\partial y}}{h}^{2}k+3{\displaystyle \frac{{\partial }^{3}f}{\partial x\partial y^2}}h{k}^2+{\displaystyle \frac{{\partial }^{3}f}{\partial y^3}}}{3!}}$

Si $f$ es de clase ${\mathcal{C}}^3$ ya tenemos un polinomio de 2° grado que aproxima bien a $f$ localmente.

Si el punto es un $\mathit{\text{ punto crítico }}$ entonces, el polinomio de 2° grado es, esencialmente, un polinomio homogéneo.

$${\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}a{x}^2+2bxy+c{y}^2$$

$p(x,y)=a{x}^2+2bxy+c{y}^2=(x,y)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)$

$p(0)=0$

$\mathrm{\nabla }p(0,0)=({\displaystyle \frac{\partial p}{\partial x}},{\displaystyle \frac{\partial p}{\partial y}})=(2ax+2by,2bx+2cy){|}_{(0,0)}=(0,0)$

El plano tangente a $z=p(x,y)$ es horizontal.

Observación:

La matriz $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)$ es simétrica.

También sabemos que si la matriz es diagonalizable, entonces existe una base ortonormal de vectores propios $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$ tales que

$\Vert \overrightarrow{v_1}\Vert =\Vert \overrightarrow{v_2}\Vert =1$ y también $\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_2}=0$

Y existe $\theta$ tal que

$\overrightarrow{v_1}=(\cos \theta ,\sin \theta )$

$\overrightarrow{v_2}=(–\sin \theta ,\cos \theta )$

Además, existen ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ tales que $$A\overrightarrow{v_1}={\lambda }_1\overrightarrow{v_1}$$ $$A\overrightarrow{v_2}={\lambda }_2\overrightarrow{v_2}$$

$D=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)$ es la matriz diagonal.

Sin pérdida de generalidad en al caso cuando

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)$

$p(x,y)={\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2$

Analicemos los tres casos posibles según los valores de $\lambda$

CASO 1: ${\lambda }_1,{\lambda }_2>0$ entonces, $p$ alcanza un valor mínimo.

https://www.geogebra.org/classic/drtwmcwt

Ejemplo: $p(x,y)=x^2+y^2$

CASO 2: ${\lambda }_1,{\lambda }_2<0$ entonces, $p$ alcanza un valor máximo.

https://www.geogebra.org/classic/zkkwuga4

Ejemplo: $p(x,y)=–x^2–y^2$

CASO 3: ${\lambda }_1>0,{\lambda }_2<0$ entonces, $p$ tiene un punto silla.

https://www.geogebra.org/classic/yczbtnvb

Ejemplo: $p(x,y)=x^2–y^2$

Si alguno de los $\lambda$ es CERO, no se puede concluir nada acerca del punto.

$$