Una función $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$ cuya imagen es un toro.

Toro: superficie de revolución que se obtiene al girar un círculo de radio $b>0$ alrededor de un eje que está fuera del círculo pero en el mismo plano.

Plano $XZ$

Circunferencia de radio $b$, con centro $(a,0)$, donde $a<b$, queremos una función que vaya del plano $\theta \phi$ al toro $XYZ$.

$f(\theta ,\phi )=\left(\begin{array}{c}(a+b\cos \phi )\cos \theta \\ \\ (a+b\cos \phi )\sin \theta \\ \\ b\sin \phi \end{array}\right)$

Donde los vectores tangentes $f_{\theta }$ y $f_{\phi }$ son:

$f_{\theta }=({\displaystyle \frac{\partial x}{\partial \theta }},{\displaystyle \frac{\partial y}{\partial \theta }},{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial \theta }})$

$f_{\phi }=({\displaystyle \frac{\partial x}{\partial \phi }},{\displaystyle \frac{\partial y}{\partial \phi }},{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial \phi }})$

Y el vector normal

$\overrightarrow{N}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{f_{\theta }}\times \overrightarrow{f_{\phi }}}{\Vert \overrightarrow{f_{\theta }}\times \overrightarrow{f_{\phi }}\Vert }}$

$$

Otra forma de ver al toro sería pensarlo como:

$\mathcal{S}=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|F(x,y,z)=0\}$ superficie de nivel.

$(\sqrt{x^2+y^2}–a{)}^2+z^2=b^2$ ecuación del toro.