Una función $ f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ cuya imagen es un toro.
Toro: superficie de revolución que se obtiene al girar un círculo de radio $ b > 0 $ alrededor de un eje que está fuera del círculo pero en el mismo plano.
Plano $XZ$
Circunferencia de radio $b$, con centro $(a, 0)$, donde $a > b$, queremos una función que vaya del plano $\theta \varphi$ al espacio $XYZ$.
$f (\theta, \varphi) = \begin{pmatrix} (a + b \cos \varphi) \cos \theta \\ \\ (a + b \cos \varphi ) \sin \theta \\ \\ b \sin \varphi \end{pmatrix}$
Donde los vectores tangentes $f_{\theta} $ y $f_{\varphi}$ son:
$f_{\theta} = \Big( \dfrac{\partial x}{\partial \theta} , \dfrac{\partial y}{\partial \theta} , \dfrac{\partial z}{\partial \theta} \Big) $
$f_{\varphi} = \Big( \dfrac{\partial x}{\partial \varphi} , \dfrac{\partial y}{\partial \varphi} , \dfrac{\partial z}{\partial \varphi} \Big)$
Y el vector normal
$\vec{N} = \dfrac{\vec{f_{\theta}} \times \vec{f_{\varphi}}}{ \Big\| \vec{f_{\theta}} \times \vec{f_{\varphi}} \Big\|}$
${}$
En el siguiente enlace puedes observar la animación correspondiente a un toro.