Una función $ f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ cuya imagen es un toro.

Toro: superficie de revolución que se obtiene al girar un círculo de radio $ b > 0 $ alrededor de un eje que está fuera del círculo pero en el mismo plano.

Plano $XZ$

Circunferencia de radio $b$, con centro $(a, 0)$, donde $a < b$, queremos una función que vaya del plano $\theta \varphi$ al toro $XYZ$.

$f (\theta, \varphi) = \begin{pmatrix} (a + b \cos \varphi) \cos \theta \\ \\ (a + b \cos \varphi ) \sin \theta \\ \\ b \sin \varphi \end{pmatrix}$

Donde los vectores tangentes $f_{\theta} $ y $f_{\varphi}$ son:

$f_{\theta} = \Big( \dfrac{\partial x}{\partial \theta} , \dfrac{\partial y}{\partial \theta} , \dfrac{\partial z}{\partial \theta} \Big) $

$f_{\varphi} = \Big( \dfrac{\partial x}{\partial \varphi} , \dfrac{\partial y}{\partial \varphi} , \dfrac{\partial z}{\partial \varphi} \Big)$

Y el vector normal

$\vec{N} = \dfrac{\vec{f_{\theta}} \times \vec{f_{\varphi}}}{ \Big\| \vec{f_{\theta}} \times \vec{f_{\varphi}} \Big\|}$

${}$

Otra forma de ver al toro sería pensarlo como:

$\mathcal{S} = \Big\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \big| F (x, y, z) = 0 \Big\}$ superficie de nivel.

$\Big( \sqrt{ x^2 + y^2} \, – \, a\Big)^2 + z^2 = b^2$ ecuación del toro.