Tres alelos ( formas naturales de genes) $A$, $B$ y $O$ determinan los tres tipos sanguíneos.

$$\begin{array}{rl}A& ⟺(AA\circ AO)\\ B& ⟺(BB\circ BO)\\ O& ⟺(OO)\\ AB& ⟺(AB)\end{array}$$

La ley de Hardy – Weinberg establece que la proporción $P$ de individuos de una población que llevan los alelos diferentes está dada por la expresión:

$$P=2pq+2pr+2qr$$

donde $p$, $q$ y $r$ son las proporciones de alelos $A$, $B$ y $O$ en dicha población.

Use el hecho de que $p+q+r=1$ para demostrar que $p\le {\displaystyle \frac{2}{3}}$

Dos alelos es $p.p=p^2$ o $q^2$ o $r^2$.

Maximizar $P=2pq+2pr+2qr$ sujeta a $p+q+r=1$,

restricción $Q(p,q,r)=p+q+r–1=0$, con $p,q,r,\ge 0$

Usando multiplicadores de Lagrange $\mathrm{\nabla }P=({\displaystyle \frac{\partial P}{\partial p}},{\displaystyle \frac{\partial P}{\partial q}},{\displaystyle \frac{\partial P}{\partial r}})$ entonces,

$\mathrm{\nabla }P=(2q+2r,2p+2r,2p+2q)$

$\mathrm{\nabla }Q=(1,1,1)$

Examinar:

a) ¿Qué pasa en el interior del simplejo (triángulo)?

b) ¿Qué pasa en las aristas?

c) ¿Qué pasa en los vértices?

a) $\mathrm{\nabla }P=\lambda \mathrm{\nabla }Q$

$\left(\begin{array}{c}2q+2r\\ \\ 2p+2r\\ \\ 2p+2q\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ \\ 1\\ \\ 1\end{array}\right)$

$\begin{array}{rl}2q+2r& =\lambda \\ \\ 2p+2r& =\lambda \\ \\ 2p+2q& =\lambda \end{array}$

Sumando

$4p+4q+4r=3\lambda$

$4(p+q+r)=3\lambda$, como $p+q+r=1$, entonces

$4=3\lambda$ por lo que $\lambda ={\displaystyle \frac{4}{3}}$

Luego, sustituyendo en el sistema anterior se tiene que:

$$p={\displaystyle \frac{1}{3}},q={\displaystyle \frac{1}{3}},r={\displaystyle \frac{1}{3}}$$

Entonces

$P({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})=2({\displaystyle \frac{1}{9}})+2({\displaystyle \frac{1}{9}})+2({\displaystyle \frac{1}{9}})={\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

c) En los vértices

$P(1,0,0)=0$

$P(0,1,0)=0$

$P(0,0,1)=0$

b) En las aristas

Hay tres aristas, cuando $p=0$, $q=0$ o $r=0$

Analicemos que sucede si $r=0$, entonces $P(p,q,0)=2pq$

Máximo $2pq$, sujeta a $p+q=1$ con $p,q\ge 0$, entonces

$p=q=\frac{1}{2}$ y $P(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)=\frac{1}{2}$

Análogamente para las otras aristas se obtienen los puntos $(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ y $(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})$, donde $P$ para cada uno de ellos es $\frac{1}{2}$.

Por lo tanto, de lo analizado anteriormente vemos que el valor máximo de $P$ se obtiene en el punto $({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})$.

Animación:

https://www.geogebra.org/classic/uzjwpkv2