Tres alelos ( formas naturales de genes) $A$, $B$ y $O$ determinan los tres tipos sanguíneos.
$$ \begin{align*} A &\iff (AA \, \, \circ \, \, AO ) \\ B &\iff (BB \, \, \circ \, \, BO) \\ O &\iff ( OO) \\ AB &\iff ( AB ) \end{align*}$$
La ley de Hardy – Weinberg establece que la proporción $P$ de individuos de una población que llevan los alelos diferentes está dada por la expresión:
$$P = 2pq \, + \, 2pr \, + \, 2qr$$
donde $p$, $q$ y $r$ son las proporciones de alelos $A$, $B$ y $O$ en dicha población.
Use el hecho de que $ p + q + r = 1$ para demostrar que $p \leq \dfrac{2}{3}$
Dos alelos es $p.p = p^2$ o $q^2$ o $r^2$.
Maximizar $P = 2pq \, + \, 2pr \, + \, 2qr$ sujeta a $ p + q + r = 1$,
restricción $ Q (p, q, r) = p + q + r \, – \, 1 = 0$, con $p, q, r, \geq 0$
Usando multiplicadores de Lagrange $\nabla P = \Bigg( \dfrac{\partial P}{\partial p}, \dfrac{\partial P}{\partial q}, \dfrac{\partial P}{\partial r} \Bigg)$ entonces,
$\nabla P = \big( 2q + 2r , 2p + 2r , 2p + 2q \big)$
$\nabla Q = ( 1 , 1, 1 )$
Examinar:
a) ¿Qué pasa en el interior del simplejo (triángulo)?
b) ¿Qué pasa en las aristas?
c) ¿Qué pasa en los vértices?
a) $\nabla P = \lambda \nabla Q$
$\begin{pmatrix} 2q + 2r \\ \\ 2p + 2r \\ \\ 2p + 2q \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ \\ 1 \\ \\ 1 \end{pmatrix}$
$\begin{align*} 2q + 2r &= \lambda\\ \\ 2p + 2r &= \lambda \\ \\ 2p + 2q &= \lambda \end{align*}$
Sumando
$4p + 4q + 4r = 3 \lambda$
$4 ( p + q + r) = 3 \lambda$, como $ p + q + r = 1$, entonces
$4 = 3 \lambda$ por lo que $\lambda = \dfrac{4}{3}$
Luego, sustituyendo en el sistema anterior se tiene que:
$$p = \dfrac{1}{3}\, , \, q = \dfrac{1}{3} \, , \, r = \dfrac{1}{3}$$
Entonces
$P \Bigg( \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3} \Bigg) = 2 \Bigg( \dfrac{1}{9} \Bigg) + 2 \Bigg( \dfrac{1}{9} \Bigg) + 2 \Bigg( \dfrac{1}{9} \Bigg) = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$
c) En los vértices
$P ( 1, 0, 0) = 0$
$P ( 0, 1, 0) = 0$
$P ( 0, 0, 1) = 0$
b) En las aristas
Hay tres aristas, cuando $p = 0$, $q = 0$ o $r = 0$
Analicemos que sucede si $r = 0$, entonces $P (p, q, 0) = 2pq$
Máximo $2pq$, sujeta a $ p + q = 1$ con $p, q \geq 0$, entonces
$ p = q = \frac{1}{2}$ y $P (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0) = \frac{1}{2}$
Análogamente para las otras aristas se obtienen los puntos $ (0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ y $ (\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$, donde $P$ para cada uno de ellos es $\frac{1}{2}$.
Por lo tanto, de lo analizado anteriormente vemos que el valor máximo de $P$ se obtiene en el punto $ \Bigg( \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3} \Bigg)$.
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