(para funciones $F:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ sujeto a una curva de nivel $g^{-1}(0)$)

Sean $f:A\subseteq {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R},$ con $A$ abierto, y

$g:A\subseteq {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$

con derivadas parciales continuas.

Supongamos que para todo $(x,y)\in g^{-1}(0)$ se cumple que $\mathrm{\nabla }g(x,y)\ne \overrightarrow{0}$ entonces, si $f$ restringida a $g^{-1}(0)$ alcanza un valor máximo ( o mínimo) en un punto $(x_0,y_0)$ se cumple que

$\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)=\lambda \mathrm{\nabla }g(x_0,y_0)$ para algún $\lambda \in \mathbb{R}.$

Justificación:

Bajo la hipótesis de que $\mathrm{\nabla }g(x,y)\ne (0,0)$ para todo punto $(x,y)$ tal que $g(x,y)=0$ se tiene que la ecuación $g(x,y)=0$ define una curva de nivel.

Si ${\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}}(x,y)\ne 0$ existe $h$ tal que $g(x,h(x))=0$, donde $y=h(x)$ es una función implícita definida por la ecuación $g(x,y)=0$.

Encontrar los valores extremos de $f(x,y)$ sujeta a $g(x,y)=0$ se traduce a encontrar los valores extremos de $K(x)=f(x,h(x)).$

Derivando $K(x)$ tenemos que:

$\begin{array}{rl}{K}^{\prime }(x)& ={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x,h(x))+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x,h(x))h^{\prime }(x)\\ \\ & ={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x,h(x))+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x,h(x))(–{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}}(x,h(x)}{{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}}(x,h(x)}})\end{array}$

Igualamos a cero, entonces

$f_x–{\displaystyle \frac{f_y{g}_x}{g_y}}=0$

multiplicando por $g_y$ tenemos que:

$f_x{g}_y–f_y{g}_x=0$

entonces

$\left|\begin{array}{cc}{f}_x& f_y\\ g_x& g_y\end{array}\right|=0$

y sabemos que un determinante es igual a cero si y sólo si sus vectores renglón son linealmente dependientes, por lo que, como $K^{\prime }(x)=0⟺\mathrm{\nabla }f(x,y)$ y $\mathrm{\nabla }g(x,y)$ son linealmente dependientes; si y sólo si son colineales; si y sólo si uno es múltiplo del otro, es decir,

$$\mathrm{\nabla }f(x,y)=\lambda \mathrm{\nabla }g(x,y){}_{\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}}$$

Analicemos el siguiente problema

Encontrar el rectángulo de mayor área, entre los rectángulos que tienen perímetro igual a 4.

La función a maximizar es la función que representa el área: $f(x,y)=xy$; sujeta a la condición de que el perímetro sea igual a 4, es decir,

$g(x,y)=2x+2y=4$

$g(x,y)=x+y=2$

$\mathrm{\nabla }f(x,y)=(f_x,f_y)=(y,x)$

$\mathrm{\nabla }g(x,y)=g_x,g_y)=(1,1)$

Luego, como $\mathrm{\nabla }f(x,y)=\lambda \mathrm{\nabla }g(x,y)$, tenemos la siguiente expresión:

$\left(\begin{array}{c}y\\ \\ x\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ \\ 1\end{array}\right)$

de donde se tienen las ecuaciones

$y=\lambda$ . . . (1)

$x=\lambda$ . . . (2)

y además tenemos que $g(x,y)=0$ está dada por la ecuación $x+y–2=0$ . . . (3)

Las ecuaciones (1), (2) y (3) forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, que al ser resuelto se obtiene que

$$\lambda =1$$

$$x=1$$

$$y=1$$

Luego el único punto a analizar es el punto $(x_0,y_0)=(1,1)$

https://www.geogebra.org/classic/ady7nz6e

Sobre el problema de encontrar los valores extremos de una función $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$, $f(x,y)$, sujeta a una restricción de la forma

$g_1(x,y)\ge 0$

$g_2(x,y)\ge 0$

$⋮$

$g_n(x,y)\ge 0$

$\mathcal{K}=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|g_1(x,y)\ge 0,g_2(x,y)\ge 0,\dots ,g_n(x,y)\ge 0\}$, donde $\mathcal{K}$ sea compacto.

$\partial \mathcal{K}\subseteq {\mathcal{C}}_1\cap {\mathcal{C}}_2\cap \cdots \cap {\mathcal{C}}_n$ donde

${\mathcal{C}}_i=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|g_i(x,y)=0\}$

Si $\mathcal{K}$ es compacto y $f$ es continua en todo $\mathcal{K}$ entonces, existen $(x_0,y_0),(x_1,y_1)$ tales que $f{|}_{\mathcal{K}}$ alcanza un mínimo global en $(x_0,y_0)$, y un máximo global en $(x_1,y_1).$

Buscamos responder donde se alcanzan. Para ello realizamos lo siguiente:

(*) Buscar si hay puntos críticos de $f$ en el interior de $\mathcal{K}$.

Esos puntos cumplen que:

$\mathrm{\nabla }f(x,y)=0$, es decir que ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x,y)=0$ y ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x,y)=0$. Este es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

(**) Buscar si hay puntos críticos de $f{|}_{{\mathcal{C}}_i}$ para alguna de las curvas ${\mathcal{C}}_i$ definidas por la ecuación $g_i(x,y)=0$ correspondiente a

$\mathrm{\nabla }f(x,y)=\lambda \mathrm{\nabla }g(x,y)$

$g_i(x,y)=0$; donde estas dos última ecuaciones forman un sistema de 3 x 3.

Esto con cada «lado curvo» de $\mathcal{K}.$

(***) Buscar si en los «vértices» dados por ${\mathcal{C}}_i\cap {\mathcal{C}}_j$, $f{|}_{\mathcal{K}}$ alcanza un valor extremo. El sistema de 2 x 2 dado por

$g_i(x,y)=0$ y $g_j(x,y)=0$.

(****) Finalmente considerar los puntos donde $f$ no sea diferenciable.

Veamos a continuación el siguiente ejemplo

Encontrar los valores extremos de $f(x,y)=(x–{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2+(y–{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2$ sujeta a la restricción $(x,y)\in \mathcal{K}$ donde

$\mathcal{K}=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|g_1(x,y)=y–x^2=0,g_2(x,y)=x–y^2=0,g_3(x,y)=2–x–y=0\}$

Calculamos las siguientes derivadas

$\mathrm{\nabla }{g}_1(x,y)=(–2x,1)\ne \overrightarrow{0}$

$\mathrm{\nabla }{g}_2(x,y)=(1,–2y)\ne \overrightarrow{0}$

$\mathrm{\nabla }{g}_3(x,y)=(–1,–1)\ne \overrightarrow{0}$

Buscando las intersecciones de $g_1\cap g_2$, $g_2\cap g_3$ y $g_1\cap g_3$ se obtienen los posibles vértices que son los siguientes puntos:

$(1,1)$, $(–2,4)$, $(0,0)$, $(1,1)$, $(1,1)$ y $(–4,2).$

Ahora tenemos que checar que puntos cumplen con la restricción:

$y–x^2\ge 0$, $x–y^2\ge 0$ y $2–x–y\ge 0$

Por ejemplo: ¿ el punto $(–2,4)$ cumple con la primera desigualdad?

$y–x^2=4–(4{)}^2=4–16=–12\ngeqq 0$, por lo tanto no cumple con la primera desigualdad, luego no es vértice de $\mathcal{K}.$

Análogamente con los demás posibles vértices.

Luego, los puntos $(0,0)$ y $(1,1)$ son los vértices de $\mathcal{K}.$

Paso (1):

Encontrar los vértices: los puntos $(0,0)$ y $(1,1)$ son los vértices.

En $f(0,0)=f(1,1)=\frac{1}{2}$ se tiene máximo global.

Paso (2):

Aplicar multiplicadores de Lagrange en cada lado.

Lado ${\mathcal{C}}_1$ restricción $g_1(x,y)=0$

$y–x^2=0$ . . . (a)

$\mathrm{\nabla }f=\lambda \mathrm{\nabla }g$

$\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}}\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}}\end{array}\right)⟺\left(\begin{array}{c}2x–1\\ \\ 2y–1\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}–2x\\ \\ 1\end{array}\right)$

por lo que se tienen las siguientes ecuaciones:

$2x–1=–2\lambda x$ . . . (b)

$2y–1=\lambda$ . . . (c)

Luego, las ecuaciones (a), (b) y (c) forman un sistema de 3×3. Resolviendo el sistema se obtiene que:

$x=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{4}}}$ , $y=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{16}}}$

Por lo que en el lado ${\mathcal{C}}_1$ el punto es el $(\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{4}}},\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{16}}})$

Análogamente, en el lado ${\mathcal{C}}_2$ el punto es $(\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{16}}},\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{4}}})$

Paso (3):

Encontrar los puntos críticos de $f$ sin restricciones.

$\mathrm{\nabla }f=\overrightarrow{0}$

$⟺2(x–{\displaystyle \frac{1}{2}})=0\to x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$⟺2(y–{\displaystyle \frac{1}{2}})=0\to y={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Por lo que el mínimo local es $f(x,y)=f({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})=0$