Ejemplo

Sea $f (x, y) = ( y \, – \, 3x^2) (y \, – \, x^2)$

(a) El origen es punto crítico.

(b) En cada recta que pasa por el origen $\alpha ( t) = (at , bt)$ , $( f \, \circ \, \alpha) (t) $ tiene un mínimo relativo en $0$.

(c) El origen no es mínimo relativo.

(*) Calcule el polinomio de Taylor de 2° grado de $f$ alrededor del origen.

$\dfrac{\partial f}{\partial x} = -\, 6x (x \, – \, y^2 ) + (y \, – \, 3x^2 ) (\, – \, 2x)$

$\dfrac{\partial f}{\partial y} = (y \, – \, x^2 ) + (y \, – \, 3x^2 ) $

$\nabla f (0, 0) = (0 , 0) $

De aquí concluimos que el origen es un punto crítico de $f$.

(**) $f (\alpha (t)) = f (at, bt) = (bt \, – \, 3(at)^2 ) (bt \, – \, (at)^2 ) = b^2 t^2 \, – \, 4 a^2 b t^3 + 3 a^4 t^4 $

$ ( f \, \circ \, \alpha)’ (t) = 2 b^2 t \, – \, 12 a^2 b t^2 + 12 a^4 t^3 $ entonces $( f \, \circ \, \alpha)’ (0) = 0$

${( f \, \circ \, \alpha)}^{\prime \prime} (t) = 2 b^2 \, – \, 24 a^2 b t + 36 a^4 t^2 $ entonces ${( f \, \circ \, \alpha)}^{\prime \prime} (0) = 2 b^2 > 0 $. Si $ b \neq 0$. Entonces $ f \, o \, \alpha $ alcanza un mínimo relativo en 0.

Si $ b = 0 $ , $a = 1$ $ f ( \alpha ( t)) = 3 t^4$ que también tiene mínimo en $(0, 0)$.

De aquí concluimos que si restringimos el movimiento de las variables independientes a lo largo de rectas que pasan por el origen, entonces $f$ alcanza un valor mínimo.

(***) Ahora vamos a ver que $f$ no alcanza un mínimo local en el origen.

Para ello usaremos la negación de la definición de que $ f $ alcanza mínimo local en el punto $(x_0 , y_0)$.

Es decir queremos negar que:

existe una bola de radio $\delta$ con centro en el punto $(x_0 , y_0)$ en la cual todos los puntos $(x,y)$ cumplen que $f(x,y) \geq f(x_0 , y_0)$.

Es decir que para toda bola $B_{\delta} (x_0, y_0) $ existe algún punto $(x,y)$ en esa vecindad tal que $f (x, y) < f (x_0 , y_0)$

Sea $\delta > 0$, consideremos la parábola $ 2x^2$, tomemos un punto en esta parábola dentro de $B_{\delta} (0, 0) $ distinto del $(0, 0) $. En este punto $f (x, y) < 0 = f (0, 0)$, entonces $ f $ no alcanza un valor mínimo local en $(0, 0)$.

Consideremos $\alpha (t) = (t, 2t^2)$, luego $ \alpha ( \alpha (t) ) = (2t^2 \, – \, 3t^2) ( 2t^2 \, – \, t^2) = \, – \, t^4$ , de hecho, alcanza máximo.

(****) El polinomio de Taylor de 2° grado alrededor de $(0, 0)$

Sabemos que $ f (0, 0) = 0$, $\nabla f (0, 0) = (0, 0)$

$ H = \begin{pmatrix} f_{xx} (0, 0) & f_{xy} (0, 0) \\ \\ f_{yx} (0, 0) & f_{yy} (0, 0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

$det(H) = 0$

Luego $p (x, y) = \dfrac{1}{2} 2 y^2 = y^2$

En el enlace siguiente puedes ver la gráfica de $f$ y la gráfica de $p$, y compararlas:

https://www.geogebra.org/classic/ymhfe9fv

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