Ejercicio

Sea $f(x,y)=(y–3x^2)(y–x^2)$

(a) El origen es punto crítico.

(b) En cada recta que pasa por el origen $\alpha (t)=(at,bt)$ , $(f\circ \alpha )(t)$ tiene un mínimo relativo en $0$.

(c) El origen no es mínimo relativo.

(*) Calcule el polinomio de Taylor de 2° grado de $f$ alrededor del origen.

${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}=-6x(x–y^2)+(y–3x^2)(–2x)$

${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}=(y–x^2)+(y–3x^2)$

$\mathrm{\nabla }f(0,0)=(0,0)$

(**) $f(\alpha (t)=f(at,bt)=(bt–3(at{)}^2)(bt–(at{)}^2)=b^2{t}^2–4a^{2}b{t}^3+3a^4{t}^4$

$(f\circ \alpha {)}^{\prime }(t)=2b^{2}t–12a^{2}b{t}^2+12a^4{t}^3$ entonces $(f\circ \alpha {)}^{\prime }(0)=0$

${(f\circ \alpha )}^{\prime \prime }(t)=2b^2–24a^{2}bt+36a^4{t}^2$ entonces ${(f\circ \alpha )}^{\prime \prime }(0)=2b^2>0$. Si $b\ne 0$. Entonces $fo\alpha$ alcanza un mínimo relativo en 0.

Si $b=0$ , $a=1$ $f(\alpha (t))=3t^4$ que también tiene mínimo en $(0,0)$.

(***) Negación de la definición: $f$ no alcanza mínimo local si para toda bola $B_{\delta }(x_0,y_0)$ existe algún punto en esa vecindad tal que $f(x,y)<f(x_0,y_0)$

Sea $\delta >0$, consideremos la parábola $2x^2$, tomemos un punto en esta parábola dentro de $B_{\delta }(0,0)$ distinto del $(0,0)$. En este punto $f(x,y)<0=f(0,0)$, entonces $f$ no alcanza mínimo local en $(0,0)$.

Consideremos $\alpha (t)=(t,2t^2)$, luego $\alpha (\alpha (t))=(2t^2–3t^2)(2t^2–t^2)=–t^4$ , de hecho, alcanza máximo.

(****) El polinomio de Taylor de 2° grado alrededor de $(0,0)$

Sabemos que $f(0,0)=0$, $\mathrm{\nabla }f(0,0)=(0,0)$

$H=\left(\begin{array}{cc}{f}_{xx}(0,0)& f_{xy}(0,0)\\ \\ f_{yx}(0,0)& f_{yy}(0,0)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ \\ 0& 2\end{array}\right)$

$det(H)=0$

Luego $p(x,y)={\displaystyle \frac{1}{2}}2y^2=y^2$

https://www.geogebra.org/classic/ymhfe9fv

$$

Máximos y mínimos con restricciones

Si la restricción es que $(x,y)\in \mathcal{K}\subset {\mathbb{R}}^2$, con $\mathcal{K}$ un subconjunto compacto, $f$ continua en $\mathcal{K}$, entonces $f$ alcanza un máximo y un mínimo.

El valor máximo y el valor mínimo pueden alcanzarse en:

(*) el interior de $\mathcal{K}$, con $f$ diferenciable $⟺$ $\mathrm{\nabla }f(\overline{x})=0$, o con $f$ no diferenciable;

(*) la frontera de $\mathcal{K}$.

Ejemplo:

Maximizar $f(x,y)=x+y$ sujeta a la restricción $x^2+y^2\le 1$, y donde $\mathcal{K}=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2\le 1\}$

$\mathrm{\nabla }f(x,y)=(1,1)\ne (0,0)$

El gradiente nunca es cero, pero la función tiene un máximo y un mínimo.

Hay problemas en los que la restricción está dada por una ecuación o un sistema de ecuaciones. ¿Cómo proceder?

Método de los multiplicadores de Lagrange, pero antes veamos el teorema de la función inversa y el de la función implícita, volveremos a este tema más adelante.

Teorema de la función inversa para funciones $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$, $f(x,y)=(u,v)$, buscamos $f^{-1}(u,v)=(x,y)$

Teorema de la función implícita $f:{\mathbb{R}}^{n+k}\to {\mathbb{R}}^n$, $z=f(x,y)$.

Curva de nivel $c$, $f(x,y)=c$. Si podemos despejar $y=\varphi (x)$ la ecuación $f(x,y)=c$ implícitamente define a una función $y=\varphi (x)$, $c=f(x,y,z)$, $z=g(x,y)$ entonces la ecuación $f(x,y,z)=c$ define implícitamente una función $g$.

$f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$, $u=u(x,y,z)=c_1$, $v=v(x,y,z)=c_2$. Si podemos despejar $z=g(x,y)$, el sistema de ecuaciones define una función implícita $g$.