Consideremos una curva parametrizada $$\alpha :I\subseteq \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$$ $$\alpha (t)=(x(t),y(t))$$

Supongamos que $t=0$

$x(0)=0$

$y(0)=0$

$\alpha (0)=(0,0)$

Supongamos además que $x$, $y$ son funciones derivables de $t$ y que $(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))\ne (0,0)$ vector velocidad.

Llamemos $\overrightarrow{v}=(x^{\prime }(0),y^{\prime }(0))$

Consideremos una reparametrización de $\alpha$ $$\beta (s)=\alpha (h(s))$$

con $\beta =\alpha \circ h$, para algún $h:J\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$.

Sin pérdida de generalidad, supongamos también $h(0)=0$

${\beta }^{\prime }(s)={\alpha }^{\prime }(h(s))\cdot h^{\prime }(s)$

${\beta }^{\prime }(s)=(x^{\prime }(h(s)),y^{\prime }(h(s)))\cdot h^{\prime }(s)$

$\overrightarrow{w}={\beta }^{\prime }(0)=(x^{\prime }(0),y^{\prime }(0))\cdot h^{\prime }(0)=h^{\prime }(0)\cdot \overrightarrow{v}$

Pedimos que $h^{\prime }(0)\ne 0$

$\overrightarrow{w}$ es el vector velocidad usando $\beta$ como parametrización.

Los dos vectores velocidad $\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{w}$ son colineales. Además, si

$h^{\prime }(0)>0$ tienen el mismo sentido, y si

$h^{\prime }(0)<0$ tienen sentidos contrarios.

$$

Supongamos que $\gamma (t)=(x(t),y(t))$ es una curva parametrizada, y que $x(t)$ , $y(t)$ son de clase ${\mathcal{C}}^2$.

Además

${\gamma }^{\prime }(0)\ne \overrightarrow{0}$

${\gamma }^{\prime \prime }(0)\ne \overrightarrow{0}$

¿Cómo saber cuál es la circunferencia osculatriz en el punto $P$?

Si $\gamma$ estuviera parametrizada por longitud de arco, entonces el centro de la circunferencia osculatriz es $$\gamma (0)+{\displaystyle \frac{1}{\mathcal{K}(0)}}\overrightarrow{n}(0)$$

donde $\overrightarrow{n}(0)$ es el vector normal unitario.

Y el radio de la circunferencia osculatriz es ${\displaystyle \frac{1}{\mathcal{K}(0)}}$

Sabiendo la curvatura y el vector normal tenemos toda la información necesaria. (no necesariamente tiene que ser en el punto CERO, puede ser un punto $t_0$ con ${\gamma }^{\prime }(t_0)$ y ${\gamma }^{\prime \prime }(t_0)$ distintas de CERO)

(*) Tenemos una fórmula para calcular $\mathcal{K}(t_0)$

(*) a. En el plano, basta conocer el vector tangente unitario $T(t_0)={\displaystyle \frac{{\gamma }^{\prime }(t_0)}{\Vert {\gamma }^{\prime }(t_0)\Vert }}$. Solo hay dos opciones para $(u,v)$ puede ser $(-v,u)$ o también $(v,–u)$

b. En el espacio

$$\overrightarrow{N}(t)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{d}{dt}}\overrightarrow{T}(t)}{\Vert {\displaystyle \frac{d}{dt}}\overrightarrow{T}(t)\Vert }}$$