Consideremos una curva parametrizada $$\alpha : I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$$ $$\alpha (t) = \big( x (t), y (t) \big)$$

Supongamos que $ t = 0 $

$ x ( 0 ) = 0 $

$ y ( 0 ) = 0 $

$\alpha ( 0 ) = ( 0 , 0 )$

Supongamos además que $x $, $ y $ son funciones derivables de $ t $ y que $\big( x’ (t), y’ (t) \big) \neq ( 0, 0) $ vector velocidad.

Llamemos $\vec{v} = \big( x’ (0), y’ (0) \big)$

Consideremos una reparametrización de $\alpha$ $$\beta (s) = \alpha ( h (s) )$$

con $\beta = \alpha \, \circ \, h$, para algún $ h : J \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$.

Sin pérdida de generalidad, supongamos también $ h (0) = 0$

${\beta \,}’ (s) = \alpha’ ( h (s) ) \cdot h’ ( s )$

${\beta \,}’ (s) = \big( x’ (h (s)), y’ (h (s)) \big) \cdot h’ ( s )$

$\vec{w} = {\beta \,}’ (0) = \big( x’ (0), y’ (0) \big) \cdot h’ (0) = h’ (0) \cdot \vec{v}$

Pedimos que $ h’ (0) \neq 0$

$ \vec{w} $ es el vector velocidad usando $\beta$ como parametrización.

Los dos vectores velocidad $ \vec{v}$ y $\vec{w} $ son colineales. Además, si

$ h’ (0) > 0 $ tienen el mismo sentido, y si

$h’ (0) < 0 $ tienen sentidos contrarios.

${}$

Supongamos que $ \gamma (t) = \big( x (t), y (t) \big)$ es una curva parametrizada, y que $ x (t)$ , $y (t) $ son de clase $\mathcal{C}^2$.

Además

$\gamma’ (0) \neq \vec{0}$

${\gamma}^{\prime \prime} (0) \neq \vec{0}$

¿Cómo saber cuál es la circunferencia osculatriz en el punto $P$?

Si $\gamma $ estuviera parametrizada por longitud de arco, entonces el centro de la circunferencia osculatriz es $$ \gamma (0) + \dfrac{1}{\mathcal{K} (0)} \vec{n} (0)$$

donde $\vec{n} (0) $ es el vector normal unitario.

Y el radio de la circunferencia osculatriz es $\dfrac{1}{\mathcal{K} (0)}$

Sabiendo la curvatura y el vector normal tenemos toda la información necesaria. (no necesariamente tiene que ser en el punto CERO, puede ser un punto $t_0$ con $\gamma’ (t_0) $ y ${\gamma}^{\prime \prime} (t_0)$ distintas de CERO)

(*) Tenemos una fórmula para calcular $\mathcal{K} (t_0)$

(*) a. En el plano, basta conocer el vector tangente unitario $T (t_0) = \dfrac{ \gamma’ (t_0)}{ \big\| \gamma’ (t_0) \big\|}$. Solo hay dos opciones para $(u, v)$ puede ser $ (- \, v, u ) $ o también $ (v, \, – \, u) $

b. En el espacio

$$ \overrightarrow{N} (t) = \dfrac{\dfrac{d}{dt} \overrightarrow{T} (t) }{\Bigg\| \dfrac{d}{dt} \overrightarrow{T} (t) \Bigg\|}$$