Ejemplo

Dada $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ definida de la siguiente manera,

$$f(x,y)=\{\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{({\displaystyle \frac{x^2}{y}}{)}^2}{(1+({\displaystyle \frac{x^2}{y}}{)}^2{)}^4}}& si& y\ne 0\\ \\ 0& si& y=0\end{array}$$

Consideremos primero $f_0:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ donde $f_0(x)={\displaystyle \frac{x^2}{(1+x^2{)}^4}}$

Nos preguntamos, ¿cómo es la gráfica de $f_0$? Para ello analizamos diferentes aspectos.

Podemos observar que:

(*) cuando $x\to \mathrm{\infty }$ tenemos que $f_0(x)\to 0.$

(*) $f_0$ es par. Es decir, es simétrica respecto del eje $Y$.

(*) $f_0(x)\ge 0$ para todo $x.$

(*) $f_0(0)=0.$

Entonces la gráfica de $f_0$ es

Cerca de cero $f_0(x)\approx x^2$ y por tanto $f_0^{\prime }(0)=0.$

Consideremos $f_0(\lambda x)$ con $\lambda >0$ constante. ¿Cuál es el efecto en la gráfica?

Consideramos dos casos:

CASO 1: $0<\lambda <1$ por ejemplo $f_0(\frac{x}{2})$

CASO 2: $\lambda >1$ por ejemplo $f_0(2x)$

Recordemos una función análoga $y=\sin x$

Observamos un $\lambda$ distinto para cada $y$.

Con $0<\lambda <1$ «alarga» la gráfica , y con $\lambda >1$ la gráfica se «contrae».

Una primera idea sería $f_0({\displaystyle \frac{x}{y}})$ cuando $y\to 0$, ya que ${\displaystyle \frac{1}{y}}\to \mathrm{\infty }$ la gráfica en el plano $XZ$ se contrae.

Sin embargo, a lo largo de rectas $y=mx.$ $$f_0({\displaystyle \frac{x}{mx}})=f_0(\frac{1}{m})\text{constante}$$

La función $f$ dada es «casi» constante a lo largo de parábolas $y=a{x}^2⟺{\displaystyle \frac{x^2}{y}}={\displaystyle \frac{1}{a}}$

Las curvas de nivel $f(x,y)=\mathcal{c}$ son parábolas perforadas, es decir $$\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|f(x,y)=\mathcal{c}\}$$

donde $\mathcal{c}={\displaystyle \frac{({\displaystyle \frac{x^2}{y}}{)}^2}{(1+({\displaystyle \frac{x^2}{y}}{)}^2{)}^4}}$

Para esto nos fijamos en la imagen inversa de $\mathcal{c}$ bajo $f_0$ tal que $$\{t\in \mathbb{R}|f_0(t)=\mathcal{c}\}\Rightarrow {\displaystyle \frac{t^2}{(1+t^2{)}^4}}=\mathcal{c}$$

ENUNCIADO PARA LA IMAGEN

https://www.geogebra.org/classic/arzvmgsv

Si $\mathcal{c}>0$ y $\mathcal{c}$ es menor que el máximo de $f_0$, entonces

$\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|f(x,y)=\mathcal{c}\}=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|f_0(\frac{x^2}{y})=\mathcal{c}\}$ enotnces

$\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|{\displaystyle \frac{x^2}{y}}=t_1ó{\displaystyle \frac{x^2}{y}}=t_2ó{\displaystyle \frac{x^2}{y}}=t_3ó{\displaystyle \frac{x^2}{y}}=t_4\}=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2=t_{1}y\}\setminus \{(0,0)\}$

Esto es la unión de cuatro parábolas menos el origen.

https://www.geogebra.org/classic/svzrgk7n

Además, si $\mathcal{c}=máx{f}_0$ el conjunto de nivel es la unión de dos parábolas menos el origen.

Si $\mathcal{c}<0$ entonces $f^{-1}(\mathcal{c})=\mathrm{\varnothing }.$

Si $\mathcal{c}>máx(f_0)$ entonces $f^{-1}(\mathcal{c})=\mathrm{\varnothing }.$

Si $\mathcal{c}=0$ entonces tenemos dos casos:

(*) $y=0$

(**) $y\ne 0$ entonces ${\displaystyle \frac{x^2}{y}}=0$ y por tanto $x=0$, luego $f^{-1}(0)=$eje $X$ unión el eje $Y.$

$$

Propiedades de este ejemplo:

(1) Todas las derivadas direccionales en el origen valen CERO.

(2) No es diferenciable en el origen.

(3) No es continua en el origen.

Analicemos cada propiedad:

(1) Las derivadas parciales

${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(0,0)=0$ y también ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(0,0)=0$

$\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(h,0)–f(0,0)}{h}}=0$ y también $\underset{k\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(0,k)–f(0,0)}{k}}=0$

Las otras derivadas direccionales $\overrightarrow{u}\in {\mathbb{R}}^2$, con $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =1$

Si $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ entonces la recta parametrizada $\alpha (t)=t\overrightarrow{u}$ pasa por el origen pero es distinta de los ejes.

La derivada direccional $\underset{t\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(t\overrightarrow{u})–f(\overrightarrow{0})}{t}}$ con $t\ne 0$ y con $\overrightarrow{u}=(\cos \theta ,\sin \theta )$

$t\overrightarrow{u}=(t\cos \theta ,t\sin \theta )$ donde $x=t\cos \theta$ y $y=t\sin \theta$

luego ${\displaystyle \frac{x^2}{y}}={\displaystyle \frac{t^2{\cos }^2\theta }{t\sin \theta }}=t\cos \theta \cot \theta =ta$, donde $a$ es constante.

Entonces

$\begin{array}{rl}f(x,y)=f_0({\displaystyle \frac{x^2}{y}})& ={\displaystyle \frac{({\displaystyle \frac{x^2}{y}})}{(1+({\displaystyle \frac{x^2}{y}}{)}^2{)}^4}}\\ & ={\displaystyle \frac{(ta)}{(1+(ta{)}^2{)}^4}}\\ & ={\displaystyle \frac{t^2{a}^2}{(1+(ta{)}^2{)}^4}}\end{array}$

Por lo que

$\begin{array}{rl}\underset{t\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(t\overrightarrow{u})–f(\overrightarrow{0})}{t}}& =\underset{t\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{t^2{a}^2}{(1+(ta{)}^2{)}^4–0}}}{t}}\\ & =\underset{t\to 0}{lim}t{\displaystyle \frac{a^2}{(1+(ta{)}^2{)}^4}}\\ & =0\end{array}$

(2) Para ver que no es diferenciable, primero veremos que no es continua.

(3) Para probar que $f$ no es continua basta dar una sucesión $\{(x_n,y_n)\}\to (0,0)$ tal que $\{f(x_n,y_n)\}\nrightarrow 0.$

Podemos acercarnos por una de las parábolas

$x_n={\displaystyle \frac{1}{n}},y_n={\displaystyle \frac{1}{n^2}}$

Entonces ${\displaystyle \frac{{x^2}_n}{y_n}}=1$ entonces $F(x_n,y_n)=f_0(1)\ne 0$ y es constante.

Por lo tanto no es continua.

Y tampoco es diferenciable.