Si el movimiento de una partícula está descrito por una curva parametrizada

$$\alpha (t)=\text{posición en el instante }t$$

$${\alpha }^{\prime }(t)=\text{velocidad en el instante }t$$

$${\alpha }^{\prime \prime }(t)=\text{aceleración en el instante }t$$

Entonces el vector tangente unitario está dado por $T(t)={\displaystyle \frac{{\alpha }^{\prime }(t)}{\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert }}$

La rapidez es $\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert ={\displaystyle \frac{ds}{dt}}$

Y por tanto ${\alpha }^{\prime }(t)=\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert T(t)$ (es decir, velocidad es igual a rapidez por vector tangente unitario).

Luego

$$\begin{array}{rl}{\alpha }^{\prime \prime }(t)& ={\displaystyle \frac{d}{dt}}({\displaystyle \frac{ds}{dt}}T)\\ \\ & ={\displaystyle \frac{d^{2}s}{d{t}^2}}T+{\displaystyle \frac{ds}{dt}}{\displaystyle \frac{dT}{dt}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{d^{2}s}{d{t}^2}}T+{\displaystyle \frac{ds}{dt}}{\displaystyle \frac{d}{dt}}T{\displaystyle \frac{ds}{dt}}\end{array}$$

$${\alpha }^{\prime \prime }(t)={\displaystyle \frac{d^{2}s}{d{t}^2}}T+({\displaystyle \frac{ds}{dt}}{)}^2\mathcal{K}N$$

donde ${\displaystyle \frac{d^{2}s}{d{t}^2}}$ es la aceleración tangencial, y $({\displaystyle \frac{ds}{dt}}{)}^2\mathcal{K}N$ es la aceleración normal.

Observación:

Si una curva está parametrizada con rapidez constante entonces,

(1) la aceleración tangencial es cero, y

(2) la magnitud de la aceleración normal es igual al producto del cuadrado de la rapidez y la curvatura, es decir $$\Vert {\alpha }^{\prime }(t){\Vert }^2\mathcal{K}$$