Si el movimiento de una partícula está descrito por una curva parametrizada

$$ \alpha (t) = \text{posición en el instante } t$$

$$ {\alpha}’ (t) = \text{velocidad en el instante } t$$

$$ {\alpha}^{\prime \prime} (t) = \text{aceleración en el instante } t$$

Entonces el vector tangente unitario está dado por $T (t) = \dfrac{{\alpha}’ (t) }{\big\| {\alpha}’ (t) \big\|}$

La rapidez es $\big\| {\alpha}’ (t) \big\|= \dfrac{ds}{dt}$

Y por tanto $ {\alpha}’ (t) = \big\| {\alpha}’ (t) \big\| T (t)$ (es decir, velocidad es igual a rapidez por vector tangente unitario).

Luego

$$\begin{align*}{\alpha}^{\prime \prime} (t) &= \dfrac{d}{dt} \Big( \dfrac{ds}{dt} T\big) \\ {} \\ &= \dfrac{d^2s}{dt^2} T \, + \, \dfrac{ds}{dt} \dfrac{dT}{dt} \\ {} \\ &= \dfrac{d^2s}{dt^2} T \, + \, \dfrac{ds}{dt} \dfrac{d}{dt} T \dfrac{ds}{dt} \end{align*}$$

$${\alpha}^{\prime \prime} (t) = \dfrac{d^2s}{dt^2} T \, + \, \Big( \dfrac{ds}{dt} \Big)^2 \mathcal{K} N $$

donde $\dfrac{d^2s}{dt^2}$ es la aceleración tangencial, y $\Big( \dfrac{ds}{dt} \Big)^2 \mathcal{K} N $ es la aceleración normal.

Observación:

Si una curva está parametrizada con rapidez constante entonces,

(1) la aceleración tangencial es cero, y

(2) la magnitud de la aceleración normal es igual al producto del cuadrado de la rapidez y la curvatura, es decir $$ \big\| {\alpha}’ (t) \big\|^2 \, \mathcal{K}$$