Si una curva está dada por la gráfica de una función $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

$$\mathrm{\Gamma }:=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|y=f(x)\}$$

Donde, $\alpha (t)=(t,f(t))$, y

${\alpha }^{\prime }(t)=(1,f^{\prime }(t)).$

Además, $\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert =\sqrt{1+(f^{\prime }(t_0){)}^2}$

Observación: Con esta parametrización la rapidez $\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert \ge 1$ solo puede ser $\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert \equiv 1$ en el caso $f^{\prime }(t)\equiv 0.$

Fórmula para la curvatura

$$\mathcal{K}={\displaystyle \frac{\left|\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& x^{\prime \prime }\\ y^{\prime }& y^{\prime \prime }\end{array}\right|}{\Vert {\alpha }^{\prime }(t){\Vert }^3}}$$

Como $\begin{array}{rlrlrl}x(t)& =t& x^{\prime }(t)& =1& x^{\prime \prime }(t)& =0\\ y(t)& =f(t)& y^{\prime }(t)& =f^{\prime }(t)& y^{\prime \prime }(t)& =f^{\prime \prime }(t)\end{array}$

Entonces

$$\mathcal{K}={\displaystyle \frac{\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ f^{\prime }(t)& f^{\prime \prime }(t)\end{array}\right|}{{\sqrt{(1+(f^{\prime }(t){)}^2)}}^3}}$$

Luego

$$\mathcal{K}={\displaystyle \frac{f^{\prime \prime }(t)}{{\sqrt{(1+(f^{\prime }(t){)}^2)}}^3}}$$

para una curva dada como la gráfica de una función.

En el siguiente enlace puedes ver una animación de una parábola y su curvatura.

https://www.geogebra.org/classic/j8qsv2kb

$$

Una forma para calcular el área encerrada por una curva simple, cerrada, parametrizada y plana.

Vamos a tratar de calcular el área usando sumas de Riemann de la forma $$\sum f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{t}_i$$

Para el «rectángulo» pequeño tenemos que

Base $\mathrm{\Delta }{x}_i=x(t_i)–x(t_{i-1})$

Altura $y({\xi }_i)$

Entonces, el área es

$A_1=y({\xi }_i)(x(t_i)–x(t_{i-1}))$

Para el «rectángulo» grande tenemos que

Base $\mathrm{\Delta }{x}_j=–(x(t_j)–x(t_{j-1}))$

Altura $y({\xi }_j)$

Entonces, el área es

$A_2=y({\xi }_j)(–(x(t_j)–x(t_{j-1})))$

Luego el área total es

$$A=–(y({\xi }_j)\mathrm{\Delta }{x}_j+y({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i)$$

$$A=–\sum y({\xi }_i)(\mathrm{\Delta }{x}_i)=–\sum y({\xi }_i){\displaystyle \frac{dx}{dt}}(\mathrm{\Delta }t)$$

Por lo tanto $$A=–{\int }_a^{b}y(t){\displaystyle \frac{dx}{dt}}dt$$

donde

$\mathrm{\Delta }{x}_i=x(t_i)–x(t_{i-1})$

${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }{x}_i}{\mathrm{\Delta }{t}_i}}={\displaystyle \frac{x(t_i)–x(t_{i-1})}{t_i–t_{i-1}}}$

$\mathrm{\Delta }{x}_i={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }{x}_i}{\mathrm{\Delta }{t}_i}}d{t}_i$

Luego $$A={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_a^b(x{\displaystyle \frac{dy}{dt}}–y{\displaystyle \frac{dx}{dt}})dt$$

$$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\left|\begin{array}{cc}x& {\displaystyle \frac{dx}{dt}}\\ y& {\displaystyle \frac{dy}{dt}}\end{array}\right|$$