Ejemplo: Una elipse ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$

$\alpha (t)=(a\cos t,b\sin t)$

$\alpha (t)=(x(t),y(t))$

Fórmula para calcular la curvatura $$\mathcal{K}(t)={\displaystyle \frac{\left|\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& x^{\prime \prime }\\ y^{\prime }& y^{\prime \prime }\end{array}\right|}{\Vert {\alpha }^{\prime }(t){\Vert }^3}}$$

$x(t)=a\cos ty(t)=b\sin t$

$x^{\prime }(t)=–a\sin t{y}^{\prime }(t)=b\cos t$

$x^{\prime \prime }(t)=–a\cos t{y}^{\prime \prime }(t)=–b\sin t$

$\left|\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& x^{\prime \prime }\\ y^{\prime }& y^{\prime \prime }\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}–a\sin t& –a\cos t\\ b\cos t& –b\sin t\end{array}\right|$

$\left|\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& x^{\prime \prime }\\ y^{\prime }& y^{\prime \prime }\end{array}\right|=ab{\sin }^{2}t+ab{\cos }^{2}t$

$\left|\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& x^{\prime \prime }\\ y^{\prime }& y^{\prime \prime }\end{array}\right|=ab$

Luego

$\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert =\sqrt{(-a\sin t{)}^2+(b\cos t{)}^2}$

$\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert =\sqrt{a^2{\sin }^{2}t+b^2{\cos }^{2}t}$

$$\mathcal{K}(t)={\displaystyle \frac{ab}{(a^2{\sin }^{2}t+b^2{\cos }^{2}t{)}^{\frac{3}{2}}}}$$

Si $a>b$ entonces $b^2{\cos }^{2}t=b^2(1–{\sin }^{2}t)$

Entonces $a^2{\sin }^{2}t+b^2{\cos }^{2}t=a^2{\sin }^{2}t+b^2{b}^2(1–{\sin }^{2}t)=(a^2–b^2){\sin }^{2}t+b^2$

Luego $\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert =(a^2–b^2){\sin }^{2}t+b^2$

Como $0\le {\sin }^{2}t\le 1$ el valor máximo de $\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert =a$ y el mínimo $\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert =b$

Por lo que la $\mathcal{K}$ máxima es ${\displaystyle \frac{b}{a^2}}$ y la $\mathcal{K}$ mínima es ${\displaystyle \frac{a}{b^2}}$

(a) Puntos donde la elipse está más curva $(\pm a,0)$, son cuando $t=0,\pi ,2\pi ,\Rightarrow \mathcal{K}={\displaystyle \frac{a}{b^2}}$. Y el radio de curvatura es ${\displaystyle \frac{b^2}{a}}$

(b) Puntos donde la elipse está menos curva $(0,\pm b)$, son cuando $t={\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{3\pi }{2}},\dots \Rightarrow \mathcal{K}={\displaystyle \frac{b}{a^2}}$. Y el radio de curvatura es ${\displaystyle \frac{a^2}{b}}$

Los puntos anteriores son los vértices de la elipse.

IMAGEN INTERACTIVA EN REVISIÓN

https://www.geogebra.org/classic/ehmeatmw

Observación: la curvatura está dada por la derivada del vector tangente unitario $T$ con respecto al parámetro longitud de arco $s$.

${\displaystyle \frac{dT}{ds}}$, que no es lo mismo que ${\displaystyle \frac{dT}{dt}}$. La relación es ${\displaystyle \frac{dT}{ds}}={\displaystyle \frac{dT}{dt}}{\displaystyle \frac{dt}{ds}}$

Si la curva es plana

$T(s)=(\cos (\varphi (s)),\sin (\varphi (s)))$

${\displaystyle \frac{dT}{ds}}=(–\sin (\varphi (s)){\varphi }^{\prime }(s),\cos (\varphi (s)){\varphi }^{\prime }(s))$

${\displaystyle \frac{dT}{ds}}={\varphi }^{\prime }(s)N(s)$

$\mathcal{K}(s)={\displaystyle \frac{d\varphi }{ds}}$

$\Vert {\displaystyle \frac{dT}{ds}}\Vert =|\mathcal{K}|$

$$

Para curvas en ${\mathbb{R}}^3$ tenemos el concepto de contacto con superficies (planos, esferas)

$s\to \alpha (s)\in {\mathbb{R}}^3$

Podemos estudiar $f(s)=F\circ \alpha (s)$

Donde $\alpha (s)=(x(s),y(s),z(s))$ y $F:(x,y,z)$ es $F:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$

entonces $F(x(s),y(s),z(s))=f(s)$

si $f(s_0)=0$ , $f^{\prime }(s_0)=0$ y $f^{\prime \prime }(s_0)\ne 0$ enotnces la curva $\alpha$ tiene contacto de orden 2 con la superficie $F^{-1}(0)$ en el punto $\alpha (s_0).$

si $f(s_0)=0$ , $f^{\prime }(s_0)=0$ , $f^{\prime \prime }(s_0)=0$ y $f^{\prime \prime \prime }\ne 0$ enotnces la curva $\alpha$ tiene contacto de orden 3 con la superficie $F^{-1}(0)$ en el punto $\alpha (s_0).$

$$

Contacto de la curva con la esfera

Sea $\alpha$ una curva parametrizada con rapidez unitaria $\alpha =\alpha (s).$

Sea $F(\overrightarrow{x})=\Vert \overrightarrow{x}–\overrightarrow{u}{\Vert }^2–\Vert \overrightarrow{\alpha }(s_0)–\overrightarrow{u}{\Vert }^2$ que cumpla que $F^{-1}(0)$ es la esfera con centro en $\overrightarrow{u}$ y que pasa por el punto $\overrightarrow{\alpha }(s_0)$

Además

$\overrightarrow{x}–\overrightarrow{u}$ es el vector que empieza un $\overrightarrow{u}$ y acaba en $\overrightarrow{x}.$

$\Vert \overrightarrow{x}–\overrightarrow{u}\Vert$ es la distancia de $\overrightarrow{x}$ a $\overrightarrow{u}.$

$\overrightarrow{\alpha }(s_0)–\overrightarrow{u}$ es el vector que empieza un $\overrightarrow{u}$ y acaba en $\alpha (s_0).$

$\Vert \overrightarrow{\alpha }(s_0)–\overrightarrow{u}\Vert$ radio de la esfera $=r$

Ecuación de la esfera

$\Vert \overrightarrow{x}–\overrightarrow{u}\Vert =r$

$\Vert \overrightarrow{x}–\overrightarrow{u}{\Vert }^2=r^2$

$\Vert \overrightarrow{x}–\overrightarrow{u}{\Vert }^2–r^2=0$

Luego

$f(s)=\Vert \overrightarrow{\alpha }(s)–\overrightarrow{u}{\Vert }^2–\Vert \overrightarrow{\alpha }(s_0)–\overrightarrow{u}{\Vert }^2$ cumple que $f(s_0)=0$

¿Cuáles esferas tienen contacto $\ge 2$?

$f(s_0)=0$ y $f^{\prime }(s_0)=0$

$f(s)=⟨\alpha (s)–u,\alpha (s)–u⟩–r^2$

$f^{\prime }(s)=2⟨\alpha (s)–u,{\alpha }^{\prime }(s)⟩$

${\displaystyle \frac{1}{2}}{f}^{\prime }(s)=⟨\alpha (s)–u,{\alpha }^{\prime }(s)⟩=0$ si y sólo si $\alpha (s_0)–u\perp T(s_0)$ si y solo si $u–\alpha (s_0)\perp T(s_0).$

El plano norma a $T(s_0)$ está generado por el $N(s_0)$ y el $B(s_0)$ entonces, $$u–\alpha (s_0)=\lambda N(s_0)+\mu B(s_0)$$

Pidamos que $f(s_0)=0$, $f^{\prime }(s_0)=0$ y $f^{\prime \prime }(s_0)=0$, es decir, contacto $\ge 3$

$f^{\prime \prime }(s_0)=0⟺{\displaystyle \frac{1}{2}}{f}^{\prime \prime }(s_0)=0$

Como ${\displaystyle \frac{1}{2}}{f}^{\prime }(s_0)=⟨\alpha –u,{\alpha }^{\prime }⟩$

Entonces ${\displaystyle \frac{1}{2}}{f}^{\prime }(s_0)=⟨\alpha –u,T⟩$ y ${\displaystyle \frac{1}{2}}{f}^{\prime \prime }(s_0)=⟨{\alpha }^{\prime },T⟩+⟨\alpha –u,T^{\prime }⟩$

Entonces ${\displaystyle \frac{1}{2}}{f}^{\prime \prime }(s_0)=⟨T,T⟩+⟨\alpha –u,\mathcal{K}N⟩=1+⟨\lambda N(s_0)+\mu B(s_0),\mathcal{K}N⟩=0$

Entonces $1=\mathcal{K}\lambda ⟨N(s_0),N(s_0)⟩+\mu \mathcal{K}⟨B(s_0),N(s_0)⟩$

Por lo tanto $1=\lambda \mathcal{K}(s_0)$ es decir que $$\lambda ={\displaystyle \frac{1}{\mathcal{K}(s_0)}}$$

Ahora pidamos además $f^{\prime \prime \prime }(s_0)=0$, es decir, contacto $\ge 4.$

$f^{\prime \prime \prime }(s_0)=0⟺{\displaystyle \frac{1}{2}}{f}^{\prime \prime \prime }(s_0)=0$

Como ${\displaystyle \frac{1}{2}}{f}^{\prime \prime }(s_0)=1+⟨\alpha –u,\mathcal{K}N⟩$

Entonces ${\displaystyle \frac{1}{2}}{f}^{\prime \prime \prime }(s)=⟨{\alpha }^{\prime },\mathcal{K}N⟩+⟨\alpha –u,{\mathcal{K}}^{\prime }N⟩+⟨\alpha –u,\mathcal{K}{N}^{\prime }⟩$

Evaluamos en $(s_0)$ y obtenemos que:

${\displaystyle \frac{1}{2}}{f}^{\prime \prime \prime }(s_0)=⟨T(s_0),\mathcal{K}(s_0)N(s_0)⟩+⟨{\displaystyle \frac{-1}{\mathcal{K}(s_0)}}N(s_0)–\mu B(s_0),{\mathcal{K}}^{\prime }(s_0)N(s_0)⟩+⟨{\displaystyle \frac{-1}{\mathcal{K}(s_0)}}N(s_0)–\mu B(s_0),\mathcal{K}(s_0)N^{\prime }(s_0)⟩$

Entonces que ${\displaystyle \frac{1}{2}}{f}^{\prime \prime \prime }(s_0)=0$ significa que

$0={\displaystyle \frac{-1}{\mathcal{K}(s_0)}}{\mathcal{K}}^{\prime }(s_0)–\mu \mathcal{K}(s_0)⟨B(s_0),N^{\prime }(s_0)⟩$

Si $N^{\prime }(s_0)=–\mathcal{K}(s_0)T(s_0)+\tau (s_0)B(s_0)$

Entonces $${\displaystyle \frac{{\mathcal{K}}^{\prime }(s_0)}{\mathcal{K}(s_0)}}=–\mu \mathcal{K}(s_0)(B(s_0),⟨–\mathcal{K}(s_0)T(s_0)+\tau (s_0)B(s_0)⟩)$$

Por lo tanto ${\displaystyle \frac{{\mathcal{K}}^{\prime }(s_0)}{\mathcal{K}(s_0)}}=–\mu \mathcal{K}(s_0)\tau (s_0)$

Es decir $$\mu ={\displaystyle \frac{{\mathcal{K}}^{\prime }(s_0)}{{\mathcal{K}}^2(s_0)\tau (s_0)}}$$

Si $\mathcal{K}(s_0)\ne 0$ y $\tau (s_0)\ne 0$ entonces existe una esfera única que tiene contacto al menos 4 (esfera osculatriz).

Si ${\mathcal{K}}^{\prime }(s_0)=0$ y $\tau (s_0)=0$ pero $\mathcal{K}(s_0)\ne 0$ también existe dicha esfera, pero no es única, ya que $\mu$ es libre.