Sea $\alpha :I\subset \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$ una curva parametrizada por longitud de arco. Y supongamos ${\alpha }^{\prime \prime }(s_0)\ne \overrightarrow{0}.$

Sea $P=\alpha (s_0)$ y $Q=\alpha (s_1).$

Sea $m$ la mediatriz de $PQ$ y $n$ la recta normal a la curva en el punto $\alpha (s_0)$, la ecuación de $n$ es de la forma:

$$t⟶\overrightarrow{\alpha }(s_0)+t\overrightarrow{N}(s_0)$$

donde $\overrightarrow{N}(s_0)={\displaystyle \frac{{\alpha }^{\prime \prime }(s_0)}{\Vert {\alpha }^{\prime \prime }(s_0)\Vert }}.$

Afirmación:

Cuando $s_1$ tiende a $s_0$ la recta $m$ se aproxima a la recta $n.$

$Q=\alpha (s_1)=(x(s_1),y(s_1))$

$P=\alpha (s_0)=(x(s_0),y(s_0))$

$R=$ punto medio $PQ=({\displaystyle \frac{x(s_0)+x(s_1)}{2}},{\displaystyle \frac{y(s_0)+y(s_1)}{2}})$

Vector de dirección de $m$ ortogonal a $PQ$

$$PQ=(–y(s_1)–y(s_0),x(s_1)–x(s_0))$$

La ecuación de $m$ es

$$(x–{\displaystyle \frac{x(s_0)+x(s_1)}{2}},y–{\displaystyle \frac{y(s_0)+y(s_1)}{2}})\cdot (x(s_1)–x(s_0),y(s_1)–y(s_0))=0$$

Fijamos $s_0$ y dividimos todo entre $s_1–s_0$

$$(x–{\displaystyle \frac{x(s_0)+x(s_1)}{2}},y–{\displaystyle \frac{y(s_0)+y(s_1)}{2}})\cdot ({\displaystyle \frac{x(s_1)–x(s_0)}{s_1–s_0}},{\displaystyle \frac{y(s_1)–y(s_0)}{s_1–s_0}})=0$$

Haciendo $s_1⟶s_0$

$$(x–x(s_0),y–y(s_0))\cdot (x^{\prime }(s_0),y^{\prime }(s_0))=0$$

donde esta última es la ecuación de $n.$

(1) Restringimos la búsqueda del centro de la circunferencia osculatriz a puntos en la recta normal a la curva en el punto $P=\alpha (s_0).$

Ecuación paramétrica de dicha recta

$$\{(x(s_0),y(s_0))+t(–y^{\prime }(s_0),x^{\prime }(s_0))|t\in \mathbb{R}\}$$

Buscamos un valor de $t$ en especial. $t^{\ast }$ tal que está en la intersección de las dos rectas normales y es de la forma

$$(x(s_0),y(s_0))+t^{\ast }(–y^{\prime }(s_0),x^{\prime }(s_0))=(x(s_1),y(s_1))+t^{\ast }(–y^{\prime }(s_1),x^{\prime }(s_1))$$

Veamos que pasa cuando $Q\to P$ es decir, cuando $s_1\to s_0$

$(x(s_0),y(s_0))=P$ fijo.

$(–y^{\prime }(s_0),x^{\prime }(s_0))$ fijo.

solo varía $t$

¿Qué podemos decir de $t^{\ast }$ cuando $s_1\to s_0$

Para responder a esta pregunta usamos la ecuación anterior para tener una expresión más «amigable» de $t^{\ast }.$

Tratamos de despejar $t^{\ast }$ en función de $s_0$ y $s_1.$

(2) Despejar $t^{\ast }$

$$t^{\ast }(–y^{\prime }(s_0),x^{\prime }(s_0))–t^{\ast }(–y^{\prime }(s_1),x^{\prime }(s_1))=(x(s_1),y(s_1))–(x(s_0),y(s_0))$$

$$t^{\ast }({\displaystyle \frac{y^{\prime }(s_1)–y^{\prime }(s_0)}{s_1–s_0}}),({\displaystyle \frac{(x^{\prime }(s_0)–x^{\prime }(s_1)}{s_1–s_0}})={\displaystyle \frac{(x(s_1)–x(s_0))}{s_1–s_0}}–{\displaystyle \frac{(y(s_1)–y(s_0))}{s_1–s_0}}$$

Tomando el límite cuando $s_1⟶s_0$, obtenemos que:

$\hat{t}(y^{\prime \prime }(s_0),–x^{\prime \prime }(s_0))=(x^{\prime }(s_0),y^{\prime }(s_0))$

Multiplicando por $(x^{\prime }(s_0),y^{\prime }(s_0))$

$$\hat{t}(x^{\prime }(s_0)y^{\prime \prime }(s_0)–y^{\prime }(s_0)x^{\prime \prime }(s_0))=1$$

Por lo tanto

$$\hat{t}={\displaystyle \frac{1}{(x^{\prime }(s_0)y^{\prime \prime }(s_0)–y^{\prime }(s_0)x^{\prime \prime }(s_0))}}$$

es el radio de la circunferencia osculatriz.

Sin pérdida de generalidad; si la curva está parametrizada de tal forma que ${\alpha }^{\prime \prime }(s_0)=(x^{\prime \prime }(s_0),y^{\prime \prime }(s_0))=\mathcal{K}(s_0)(–y^{\prime }(s_0),x^{\prime }(s_0))$ con $\mathcal{K}(s_0)>0.$

En tal caso, $\Vert {\alpha }^{\prime \prime }(s_0)\Vert =\mathcal{K}(s_0)$ es la curvatura.

$|\begin{array}{cc}{x}^{\prime }(s_0)& x^{\prime \prime }(s_0)\\ y^{\prime }(s_0)& y^{\prime \prime }(s_0)\end{array}|=x^{\prime }{y}^{\prime \prime }–y^{\prime }{x}^{\prime \prime }={\displaystyle \frac{1}{\mathcal{K}}}$

IMAGEN INTERACTIVA EN REVISIÓN

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