Dada una circunferencia de radio $r > 0$ con centro en $(h, k)$, posición inicial $(x_0, y_0)$ y velocidad inicial $(x’_0, y’_0)$, analizamos diferentes casos para poder calcular su frecuencia, velocidad angular, periodo, amplitud y fase.
Caso sencillo
Radio $r = 1$
Centro $(h, k) = (0, 0)$
Posición inicial $(x_0, y_0) = (1, 0)$
Velocidad inicial $(x’_0, y’_0) = (0, 1)$
Entonces $\left\{ x(t) = \cos (t) \atop y(t) = \sin (t) \right.$
Tenemos que la rapidez unitaria es $\| {\alpha}’ (t)\| = 1.$
Si el periodo es $2\pi$ entonces, para toda $t$:
$\left\{ x(t + 2\pi) = x (t) \atop y(t + 2\pi) = y (t) \right.$
Por lo que $\vec{\alpha} (t) = \vec{\alpha} (t + 2\pi).$
¿Cómo serian las ecuaciones si el movimiento fuera de $\textcolor{Blue}{periodo \; 1}$?
$\left\{ x(t) = \cos (2\pi t) \atop y(t) = \sin (2\pi t) \right.$
Entonces para $t = 0$ la posición es $ (1, 0)$; y para $ t = 1$ la posición también es $(1, 0).$
Luego, la rapidez de $\left\{ x(t) = \cos (2\pi t) \atop y(t) = \sin (2\pi t) \right.$ es
$\left\{ x’ (t) = -2 \sin (2\pi t) \atop y’ (t) = 2 \cos (2\pi t) \right.$
Por lo que $\|(x’ (t), y'(t)) \| = \sqrt{(2 \pi)^2 (\cos^2 (2\pi t) + \sin^2 (2 \pi t))}$,
es decir que la rapidez es: $$\|(x’ (t), y'(t)) \| = 2 \pi $$
Para periodos $T > 0$
$\left\{ x(t) = \cos \left( \frac{2\pi t}{T} \right) \atop y(t) = \sin \left( \frac{2\pi t}{T} \right) \right.$
Entonces para $t = 0$ la posición es $ (1, 0)$; y para $ t = T$ la posición también es $(1, 0).$
¿Cómo serían las ecuaciones si recorremos la circunferencia en el sentido horario, con periodo $T = 2\pi$?
Entonces $\left\{ x(t) = \cos (t) \atop y(t) = – \sin (t) \right.$
Por lo que $(x'(0), y'(0)) = (0, -1).$
Si ahora cambiamos la posición inicial, digamos que $ \vec{p_0} = (x_0, y_0).$
Dado el punto $(x_0, y_0)$, existe un ángulo $\theta$ tal que:
$\left\{ x_0 = \cos (\theta_0) \atop y_0 = \sin (\theta_0) \right.$
Si $(x_0, y_0) = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \Rightarrow \theta_0 = 45° = \frac{\pi}{4}$
Si $(x_0, y_0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \Rightarrow \theta_0 = 60° = \frac{\pi}{3}$
Luego, para toda $t$ se tiene que:
$\left\{ x(t) = \cos (t + \theta_0) \atop y(t) = \sin (t + \theta_0) \right.$
Cumple que $(x(0), y(0)) = (\cos \theta_0, \sin \theta_0) = (x_0, y_0)$, es decir, en el instante $t_0 = 0$ la posición inicial es $(x_0, y_0).$
Si hubiéramos escrito
$\left\{ x(t) = \cos (t – \theta_0) \atop y(t) = \sin (t – \theta_0) \right.$
Entonces $\left\{ x(\theta_0) = 1 \atop y(\theta_0) = 0 \right.$ es decir, en el instante $t_0 = \theta_0$ la posición es $(1, 0).$
Observación:
Si escribimos $\left\{ x(t) = \cos ( – t) = cos (t) \atop y(t) = \sin ( – t) = – \sin (t) \right.$
entonces estamos recorriendo la circunferencia en sentido horario.
Ahora estudiemos el siguiente caso:
$\left\{ x(t) = \cos (w t ) \atop y(t) = \sin (w t ) \right.$
El periodo es $\frac{2 \pi}{T} = \omega \Rightarrow T = \frac{2 \pi}{\omega}.$
Otro caso:
Si tenemos las ecuaciones $\left\{ x(t) = A \cos (w t ) \atop y(t) = A \sin (w t ) \right.$
y $A = 2$ entonces las ecuaciones
$\left\{ x(t) = 2 \cos (w t ) \atop y(t) = 2 \sin (w t ) \right.$
representan una circunferencia de radio 2. $A$ se denomina amplitud.
Caso centro $(h, k)$
Si el centro está en el punto $(h, k)$, entonces:
$$\left\{ x(t) = A \cos (w t ) + h \atop y(t) = A \sin (w t ) + k \right.$$
En el siguiente enlace puedes observar una animación de la parametrización.