Demostración:

Supongamos que $f(A)$ no es conexo.

Entonces existen ${\mathcal{V}}_{\mathcal{1}},{\mathcal{V}}_{\mathcal{2}}\subseteq {\mathbb{R}}^m$ abiertos, ajenos, tales que $$f(A)\subseteq {\mathcal{V}}_{\mathcal{1}}\cup {\mathcal{V}}_{\mathcal{2}}$$ $$f(A)\cap {\mathcal{V}}_{\mathcal{1}}\ne \mathrm{\varnothing }$$ $$f(A)\cap {\mathcal{V}}_{\mathcal{2}}\ne \mathrm{\varnothing }$$

Como $f$ es continua, entonces $f^{-1}({\mathcal{V}}_{\mathcal{1}})$ y $f^{-1}({\mathcal{V}}_{\mathcal{2}})$ son abiertos.

Afirmación: $f^{-1}({\mathcal{V}}_{\mathcal{1}})\cap f^{-1}({\mathcal{V}}_{\mathcal{2}})=\mathrm{\varnothing }$

Supongamos que la intersección no es el conjunto vacío.

Entonces existe $\overrightarrow{x}\in f^{-1}({\mathcal{V}}_{\mathcal{1}})\cap f^{-1}({\mathcal{V}}_{\mathcal{2}})$ por lo que se cumple que $f(\overrightarrow{x})\in {\mathcal{V}}_{\mathcal{1}}$ y $f(\overrightarrow{x})\in {\mathcal{V}}_{\mathcal{2}}$ por lo tanto ${\mathcal{V}}_{\mathcal{1}}\cap {\mathcal{V}}_{\mathcal{2}}\ne \mathrm{\varnothing }$ (CONTRADICCIÓN: ya que los supusimos ajenos).

Entonces $A\subseteq f^{-1}({\mathcal{V}}_{\mathcal{1}})\cup f^{-1}({\mathcal{V}}_{\mathcal{2}}).$

Sea $\overrightarrow{x}\in A$. Calculamos $f(\overrightarrow{x})\in f(A).$

Entonces $f(A)\subseteq {\mathcal{V}}_{\mathcal{1}}\cup {\mathcal{V}}_{\mathcal{2}}$, es decir, se tiene que $\overrightarrow{x}\in {\mathcal{V}}_{\mathcal{1}}$ o $\overrightarrow{x}\in {\mathcal{V}}_{\mathcal{2}}$, por lo tanto $$\overrightarrow{x}\in f^{-1}({\mathcal{V}}_{\mathcal{1}})\text{o}\overrightarrow{x}\in f^{-1}({\mathcal{V}}_{\mathcal{2}})$$

Si $f(\overrightarrow{x})\in {\mathcal{V}}_{\mathcal{1}}$ entonces $\overrightarrow{x}\in f^{-1}({\mathcal{V}}_{\mathcal{1}}).$

Si $f(\overrightarrow{x})\in {\mathcal{V}}_{\mathcal{2}}$ entonces $\overrightarrow{x}\in f^{-1}({\mathcal{V}}_{\mathcal{2}}).$

Por lo tanto, $$\overrightarrow{x}\in f^{-1}{\mathcal{V}}_{\mathcal{1}}\cup f^{-1}({\mathcal{V}}_{\mathcal{2}}).$$

Falta ver que $$A\cap f^{-1}({\mathcal{V}}_{\mathcal{1}})\ne \mathrm{\varnothing }$$ $$A\cap f^{-1}({\mathcal{V}}_{\mathcal{2}})\ne \mathrm{\varnothing }$$

Como $f(A)\cap {\mathcal{V}}_{\mathcal{1}}\ne \mathrm{\varnothing }$ entonces, existe $\overrightarrow{a_1}\in A$ tal que $f^{-1}(\overrightarrow{a_1})\in {\mathcal{V}}_{\mathcal{1}}$ es decir $\overrightarrow{a_1}\in f^{-1}(\overrightarrow{a_1})\cap A\ne \mathrm{\varnothing }.$

Análogamente, como $f(A)\cap {\mathcal{V}}_{\mathcal{2}}\ne \mathrm{\varnothing }$ entonces, existe $\overrightarrow{a_2}\in A$ tal que $f^{-1}(\overrightarrow{a_2})\in {\mathcal{V}}_{\mathcal{2}}$ es decir $\overrightarrow{a_2}\in f^{-1}(\overrightarrow{a_2})\cap A\ne \mathrm{\varnothing }.$ ${}_{\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}}$

Definición:

Sea $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$

Se dice que $A$ es conexo por trayectorias (c.p.t.) si para todo par de puntos $\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}\in A$ existe una curva poligonal tal que une $\overrightarrow{p}$ con $\overrightarrow{q}$ y está contenida en $A.$

Ejemplo:

$$A={\mathbb{R}}^n\setminus \{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x\le 0,y=0\}$$

Ejemplo:

$$\mathcal{C}=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x\ne 0;y=\sin \left(\frac{1}{x}\right)\}\cup \mathcal{U}=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x=0,-1\le y\le 1\}$$

$\mathcal{C}$ es conexa pero $\mathcal{C}$ no es conexa por trayectorias poligonales.