Probar que $\Vert \Vert :{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ es una función continua.

Demostración:

Sea $\overrightarrow{x_0}\in {\mathbb{R}}^n.$

$[$ por demostrar: $f(\overrightarrow{x})=\Vert \overrightarrow{x}\Vert$ es continua en $\overrightarrow{x_0}$.$]$

Sea $ϵ>0$

$[$ por demostrar: existe $\delta >0$ tal que $\Vert \overrightarrow{x}–\overrightarrow{x_0}\Vert <\delta \Rightarrow |f(\overrightarrow{x})–f(\overrightarrow{x_0})|<ϵ$ $]$

¿Cuál es la $\delta$ que sirve? Proponemos $\delta =ϵ.$

Continuando con la demostración:

Si $\Vert \overrightarrow{x}–\overrightarrow{x_0}\Vert <\delta$ entonces $|f(\overrightarrow{x})–f(\overrightarrow{x_0})|=|\Vert \overrightarrow{x}–\overrightarrow{x_0}\Vert |\le \Vert \overrightarrow{x}–\overrightarrow{x_0}\Vert <ϵ$ ${}_{\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}}$

Ejercicio

Sea $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ continua con la definición topolígica.

Sea $\overrightarrow{x_0}\in {\mathbb{R}}^n$

$[$ por demostrar: $f$ es continua en $\overrightarrow{x_0}.$ $]$

Sea $ϵ>0.$

$[$ por demostrar: existe $\delta >0$ tal que $\overrightarrow{x}\in B_{\delta }(\overrightarrow{x_0})\Rightarrow f(\overrightarrow{x})\in B_{ϵ}.$ $]$

Consideremos $\mathcal{V}=B_{ϵ}(f(\overrightarrow{x_0}))\subseteq {\mathbb{R}}^m$ abierto.

Por hipótesis, $f^{-1}(\mathcal{V})\subseteq {\mathbb{R}}^n$ es abierto entonces, todos sus puntos son puntos interiores, en particular $\overrightarrow{x_0}\in f^{-1}(\mathcal{V})$ es punto interior,

Existe $B_{\delta }(\overrightarrow{x_0})\subseteq f^{-1}(\mathcal{V}).$

$\mathcal{V}=B_{ϵ}(f(\overrightarrow{x_0})$

$f^{-1}(\mathcal{V})\subseteq A$ es un abierto relativo.

$f^{-1}(\mathcal{V})=A\cap U$ para algún abierto $U\subseteq {\mathbb{R}}^n.$

Entonces, $B_{\delta }(\overrightarrow{x_0})\cap A$ es una «vecindad relativa» de $\overrightarrow{x_0}$ y además $B_{\delta }(\overrightarrow{x_0})\cap A\subseteq f^{-1}(\mathcal{V}).$

Entonces, $B_{\delta }(\overrightarrow{x_0})\cap A⟹f(\overrightarrow{x_0})\in B_{ϵ}(f(\overrightarrow{x_0})).$ ${}_{\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}}$