Probar que $\| \; \| : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es una función continua.
Demostración:
Sea $\vec{x_0} \in \mathbb{R}^n.$
$\big[$ por demostrar: $f(\vec{x}) = \big\| \vec{x} \big\|$ es continua en $\vec{x_0}$.$\big]$
Sea $\epsilon > 0$
$\big[$ por demostrar: existe $\delta > 0 $ tal que $\big\| \vec{x} \, – \, \vec{x_0} \big\| < \delta \Rightarrow \big| f(\vec{x}) \, – \, f(\vec{x_0}) \big| < \epsilon $ $\big]$
¿Cuál es la $\delta$ que sirve? Proponemos $\delta = \epsilon.$
Antes de continuar, probamos el siguiente lema.
Lema: Sean $\vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^n$ se cumple que $\big| \big\| \vec{x} \big\| \, – \, \big\| \vec{y} \big\| \big| \leq \big\| \vec{x} \, – \, \vec{y} \big\|$
Demostración:
$\big\| \vec{x} \big\| = \big\|\vec{x} \, + \, \vec{y} \, – \, \vec{y} \big\| \leq \big\| \vec{x} \, – \, \vec{y} \big\| + \big\| \vec{y} \big\|$
$\big\| \vec{x} \big\|\, – \, \big\| \vec{y} \big\| \leq \big\| \vec{x} \, -\, \vec{y} \big\|$
Análogamente $\big\| \vec{y}\big\| \, – \, \big\| \vec{x} \big\| \leq \big\| \vec{y} \, – \, \vec{x} \big\| \leq \big\| \vec{x} \, – \, \vec{y} \big\|$ $_{\blacksquare}$
Continuando con la demostración:
Si $\big\| \vec{x} \, – \, \vec{x_0} \big\| < \delta $ entonces $\big| f(\vec{x}) \, – \, f(\vec{x_0}) \big| = \big| \big\| \vec{x} \, – \, \vec{x_0} \big\| \big| \leq \big\| \vec{x} \, – \, \vec{x_0} \big\| < \epsilon$ $_{\blacksquare}$
Ejercicio
Sea $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ continua con la definición topolígica.
Sea $\vec{x_0} \in \mathbb{R}^n$
$\big[$ por demostrar: $f$ es continua en $\vec{x_0}.$ $\big]$
Sea $ \epsilon > 0.$
$\big[$ por demostrar: existe $\delta > 0$ tal que $\vec{x} \in B_{\delta}(\vec{x_0}) \Rightarrow f(\vec{x}) \in B_{\epsilon}.$ $\big]$
Consideremos $\mathcal{V} = B_{\epsilon}\big( f(\vec{x_0}) \big) \subseteq \mathbb{R}^m$ abierto.
Por hipótesis, $f^{-1}\big( \mathcal{V} \big) \subseteq \mathbb{R}^n$ es abierto entonces, todos sus puntos son puntos interiores, en particular $\vec{x_0} \in f^{-1} \big( \mathcal{V} \big) $ es punto interior,
Existe $ B_{\delta} \big( \vec{x_0} \big) \subseteq f^{-1} \big( \mathcal{V} \big) .$
$\mathcal{V} = B_{\epsilon} \big( f(\vec{x_0} \big)$
$f^{-1}\big( \mathcal{V} \big) \subseteq A $ es un abierto relativo.
Definición: Sea $f : A\subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m.$
$f $ es continua en $A$ si y sólo si, para todo conjunto abierto $ \mathcal{V} \subseteq \mathbb{R}^m $, existe un conjunto abierto $ U \subseteq \mathbb{R}^n $ tal que $f^{-1} \big( \mathcal{V} \big) = A \cap U.$
El conjunto $f^{-1} \big( \mathcal{V} \big)$ es un abierto relativo de $A.$
$f^{-1} \big( \mathcal{V} \big) = A \cap U $ para algún abierto $ U \subseteq \mathbb{R}^n.$
Entonces, $B_{\delta}(\vec{x_0}) \cap A $ es una «vecindad relativa» de $\vec{x_0}$ y además $B_{\delta}(\vec{x_0}) \cap A \subseteq f^{-1} \big( \mathcal{V} \big) .$
Entonces, $B_{\delta}(\vec{x_0}) \cap A \Longrightarrow f(\vec{x_0}) \in B_{\epsilon}\big( f(\vec{x_0}) \big).$ $_{\blacksquare}$