Probar que $\| \; \| : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es una función continua.
Demostración:
Sea $\vec{x_0} \in \mathbb{R}^n.$
[ por demostrar: $f(\vec{x}) = \|\vec{x}\|$ es continua en $\vec{x_0}$.]
Sea $\epsilon > 0$
[ por demostrar: existe $\delta > 0 $ tal que $\| \vec{x} – \vec{x_0}\| < \delta \Rightarrow \mid f(\vec{x}) – f(\vec{x_0})\mid < \epsilon $]
¿Cuál es la $\delta$ que sirve? Proponemos $\delta = \epsilon.$
Antes de continuar, probamos el siguiente lema.
Lema: Sean $\vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^n$ se cumple que $\mid \|\vec{x}\|-\|\vec{y}\|\mid \leq \|\vec{x} – \vec{y}\|$
Demostración:
$\|\vec{x}\| = \|\vec{x}+\vec{y}-\vec{y} \| \leq \|\vec{x}-\vec{y} \| + \| \vec{y} \|$
$\| \vec{x}\|- \|\vec{y} \| \leq \| \vec{x}-\vec{y}\|$
Análogamente $\| \vec{y}\|- \|\vec{x} \|\leq \| \vec{y}-\vec{x}\| \leq \| \vec{x}-\vec{y}\|$ $_{\blacksquare}$
Continuando con la demostración:
Si $\|\vec{x} – \vec{x_0}\| < \delta $ entonces $\mid f(\vec{x})-f(\vec{x_0}) \mid = \mid \| \vec{x} – \vec{x_0}\| \mid \leq \| \vec{x} – \vec{x_0} \| < \epsilon$ $_{\blacksquare}$
Ejercicio
Sea $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ continua con la definición topolígica.
Sea $\vec{x_0} \in \mathbb{R}^n$
[ por demostrar: $f$ es continua en $\vec{x_0}.$]
Sea $ \epsilon > 0.$
[ por demostrar: existe $\delta > 0$ tal que $\vec{x} \in B_{\delta}(\vec{x_0}) \Rightarrow f(\vec{x}) \in B_{\epsilon}.$]
Consideremos $\mathcal{V} = B_{\epsilon}(f(\vec{x_0})) \subseteq \mathbb{R}^m$ abierto.
Por hipótesis, $f^{-1}(\mathcal{V}) \subseteq \mathbb{R}^n$ es abierto entonces, todos sus puntos son puntos interiores, en particular $\vec{x_0} \in f^{-1} (\mathcal{V}) $ es punto interior,
Existe $ B_{\delta} (\vec{x_0}) \subseteq f^{-1} (\mathcal{V}).$
$\mathcal{V} = B_{\epsilon}(f(\vec{x_0})$
$f^{-1}(\mathcal{V}) \subseteq A $ es un abierto relativo.
Definición: Sea $f : A\subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m.$
$f $ es continua en $A$ si y sólo si, para todo conjunto abierto $ \mathcal{V} \subseteq \mathbb{R}^m $, existe un conjunto abierto $ U \subseteq \mathbb{R}^n $ tal que $f^{-1}(\mathcal{V}) = A \cap U.$
El conjunto $f^{-1}(\mathcal{V})$ es un abierto relativo de $A.$
$f^{-1}(\mathcal{V}) = A \cap U $ para algún abierto $ U \subseteq \mathbb{R}^n.$
Entonces, $B_{\delta}(\vec{x_0}) \cap A $ es una «vecindad relativa» de $\vec{x_0}$ y además $B_{\delta}(\vec{x_0}) \cap A \subseteq f^{-1}(\mathcal{V}).$
Entonces, $B_{\delta}(\vec{x_0}) \cap A \Longrightarrow f(\vec{x_0}) \in B_{\epsilon}(f(\vec{x_0})).$ $_{\blacksquare}$