Proposición: Toda sucesión acotada en ${\mathbb{R}}^N$ tiene alguna subsucesión convergente.

Demostración:

Sea $\{{\overrightarrow{x}}_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ una sucesión acotada en ${\mathbb{R}}^N$.

La imagen de la sucesión está contenida en una caja rectangular cerrada suficientemente grande.

Podemos dividir en dos cada lado de la caja y obtener un número finito de subcajas.

En al menos una de las subcajas está una infinidad de términos de la sucesión.

Podemos construir una «sucesión de cajas» anidadas $$C_1\supseteq C_2\supseteq \dots$$

Todos los lados tiende a «cero» en cuanto a su longitud, y siempre elijo la que contiene una infinidad de puntos.

La intersección de otra infinidad de cajas consiste de un punto $\overrightarrow{L}\in {\mathbb{R}}^n.$

La sucesión del teorema se obtiene eligiendo un término de la sucesión original en cada término de la sucesión de cajas $\{{\overrightarrow{x}}_{n_k}{\}}_{k\in \mathbb{N}}⟹\overrightarrow{L}.$ ${}_{\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}}$

Proposición: La imagen de un compacto bajo una función continua es un conjunto compacto.

Demostración:

Sea $f:A\subseteq {\mathbb{R}}^n⟹{\mathbb{R}}^m$ continua en $A.$

Sea $B\subseteq A$ compacto.

$[$ por demostrar: $f(B)$ es compacto.$]$

Recordemos que $f(B)=\{f(\overrightarrow{x})\in {\mathbb{R}}^m|\overrightarrow{x}\in B\}$

Basta demostrar que $f(B)$ es cerrado y acotado.

1.$f(B)$ es acotado.

Supongamos que $f(B)$ no fuera acotado.

Para toda $M>0$, existe algún $\overrightarrow{y}\in f(B)$ donde $\overrightarrow{y}=f(\overrightarrow{x}),\overrightarrow{x}\in B$ tal que $\Vert \overrightarrow{y}\Vert >M$

Tomemos $M=n\in \mathbb{N}$ entonces $\overrightarrow{y}={\overrightarrow{y}}_n=f({\overrightarrow{x}}_n)$ para algún ${\overrightarrow{x}}_n\in B$

Tenemos una sucesión $\{{\overrightarrow{x}}_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq B$ pero $B$ está acotada entonces, $\{{\overrightarrow{x}}_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ es acotada entonces, tiene una subsucesión convergente. $$\{{\overrightarrow{x}}_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}⟶\overrightarrow{L}\in B$$, con $B$ cerrado.

Pero $f$ es continua entonces, $\{f({\overrightarrow{x}}_{n_k}){\}}_{k\in \mathbb{N}}⟶f(\overrightarrow{L})$ $$\Vert f({\overrightarrow{x}}_{n_k})\Vert ⟶\Vert f(\overrightarrow{L})\Vert \in \mathbb{R}$$ fijo, finito. (CONTRADICCIÓN)

Por lo tanto $f(B)$ es acotada.

2.$f(B)$ es cerrado.

Basta demostrar que si $\overrightarrow{y}$ es punto de acumulación de $f(B)$ entonces, $\overrightarrow{y}\in f(B)$, es decir, existe $\overrightarrow{x}\in B$ tal que $\overrightarrow{y}=f(\overrightarrow{x})$

Para cada $N$ consideramos la $B_{\frac{1}{n}}(\overrightarrow{y}).$

Entonces, existe ${\overrightarrow{y}}_n\in f(B)$ tal que ${\overrightarrow{y}}_n\in B_{\frac{1}{n}}(\overrightarrow{y})$

Como ${\overrightarrow{y}}_n\in f(B)⟹\mathrm{\exists }{\overrightarrow{x}}_n\in B$ tal que ${\overrightarrow{y}}_n=f({\overrightarrow{x}}_n)$ entonces ${\overrightarrow{y}}_n\in f(B).$

Formamos una sucesión acotada $\{{\overrightarrow{x}}_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ que tiene una subsucesión convergente.

$\{{\overrightarrow{x}}_{n_k}{\}}_{k\in \mathbb{N}}⟶\overrightarrow{L}\in B$ porque $B$ es cerrado.

Como $f$ es continua $\{f({\overrightarrow{x}}_{n_k}){\}}_{k\in \mathbb{N}}⟶f(\overrightarrow{L})=\overrightarrow{y}$

Existe $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{L}\in B$ tal que $\overrightarrow{y}=f(\overrightarrow{x})$ ${}_{\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}}$

Corolario: Si $f:K\subseteq {\mathbb{R}}^n⟶\mathbb{R}$ es continua, y $K$ es compacto entonces, $f$ alcanza un valor máximo y un valor mínimo en $K.$

Demostración:

Sea $f(K)$ compacto $\subseteq \mathbb{R}$, acotado y no vacío.

Existe el supremo, el ínfimo, y $f(K)$ es cerrado.

Sea $a=ínff(K)\Rightarrow a\in f(K)\Rightarrow \mathrm{\exists }\alpha \in K$ tal que $f(\alpha )=a.$

$b=supf(K)\Rightarrow b\in f(K)\Rightarrow \mathrm{\exists }\beta \in K$ tal que $f(\beta )=b.$

Luego, $a=f(\alpha )\le f(\overrightarrow{x})\le f(\beta )=b$ , $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in K.$ ${}_{\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}}$