Proposición: Toda sucesión acotada en $\mathbb{R}^N$ tiene alguna subsucesión convergente.
Demostración:
Sea $\{\vec{x}_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión acotada en $\mathbb{R}^N$.
La imagen de la sucesión está contenida en una caja rectangular cerrada suficientemente grande.
Podemos dividir en dos cada lado de la caja y obtener un número finito de subcajas.
dibujo 1
En al menos una de las subcajas está una infinidad de términos de la sucesión.
Podemos construir una «sucesión de cajas» anidadas $$C_1 \supseteq C_2 \supseteq \dots $$
Todos los lados tiende a «cero» en cuanto a su longitud, y siempre elijo la que contiene una infinidad de puntos.
La intersección de otra infinidad de cajas consiste de un punto $\vec{L} \in \mathbb{R}^n.$
La sucesión del teorema se obtiene eligiendo un término de la sucesión original en cada término de la sucesión de cajas $\{ \vec{x}_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}} \Longrightarrow \vec{L}.$ $_{\blacksquare}$
Proposición: La imagen de un compacto bajo una función continua es un conjunto compacto.
Demostración:
Sea $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \Longrightarrow \mathbb{R}^m$ continua en $A.$
Sea $B \subseteq A$ compacto.
[ por demostrar: $f(B)$ es compacto.]
Recordemos que $f(B) = \{ f(\vec{x}) \in \mathbb{R}^m \mid \vec{x} \in B\}$
Basta demostrar que $f(B)$ es cerrado y acotado.
1.$f(B)$ es acotado.
Supongamos que $f(B)$ no fuera acotado.
Para toda $M > 0$, existe algún $\vec{y} \in f(B)$ donde $\vec{y} = f(\vec{x}) , \; \vec{x} \in B$ tal que $\|\vec{y}\| > M$
Tomemos $M = n \in \mathbb{N}$ entonces $\vec{y} = \vec{y}_n = f(\vec{x}_n)$ para algún $\vec{x}_n \in B$
Tenemos una sucesión $\{ \vec{x}_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq B$ pero $B$ está acotada entonces, $\{ \vec{x}_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ es acotada entonces, tiene una subsucesión convergente. $$\{ \vec{x}_n\}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow \vec{L} \in B$$, con $B$ cerrado.
Pero $f$ es continua entonces, $\{ f(\vec{x}_{n_k})\}_{k \in \mathbb{N}} \longrightarrow f(\vec{L})$ $$\| f(\vec{x}_{n_k})\| \longrightarrow \| f(\vec{L})\| \in \mathbb{R}$$ fijo, finito. (CONTRADICCIÓN)
Por lo tanto $f(B)$ es acotada.
2.$f(B)$ es cerrado.
Basta demostrar que si $\vec{y}$ es punto de acumulación de $f(B)$ entonces, $\vec{y} \in f(B)$, es decir, existe $\vec{x} \in B$ tal que $\vec{y}= f(\vec{x})$
Para cada $N$ consideramos la $B_{\frac{1}{n}} (\vec{y}).$
Entonces, existe $\vec{y}_n \in f(B)$ tal que $\vec{y}_n \in B_{\frac{1}{n}}(\vec{y})$
Como $\vec{y}_n \in f(B) \Longrightarrow \exists \, \vec{x}_n \in B$ tal que $\vec{y}_n = f(\vec{x}_n)$ entonces $\vec{y}_n \in f(B).$
Formamos una sucesión acotada $\{ \vec{x}_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ que tiene una subsucesión convergente.
$\{ \vec{x}_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}} \longrightarrow \vec{L} \in B$ porque $B$ es cerrado.
Como $f$ es continua $\{ f(\vec{x}_{n_k})\}_{k \in \mathbb{N}} \longrightarrow f(\vec{L}) = \vec{y}$
Existe $\vec{x} = \vec{L} \in B $ tal que $ \vec{y} = f(\vec{x})$ $_{\blacksquare}$
Corolario: Si $f : K \subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ es continua, y $K$ es compacto entonces, $f$ alcanza un valor máximo y un valor mínimo en $K.$
Demostración:
Sea $f(K)$ compacto $\subseteq \mathbb{R} $, acotado y no vacío.
Existe el supremo, el ínfimo, y $f(K)$ es cerrado.
Sea $a = ínf \, f(K) \Rightarrow a \in f(K) \Rightarrow \exists \, \alpha \in K $ tal que $ f(\alpha) = a .$
$b = sup \, f(K) \Rightarrow b \in f(K) \Rightarrow \exists \, \beta \in K $ tal que $ f(\beta) = b .$
Luego, $a = f(\alpha) \leq f(\vec{x}) \leq f(\beta) = b$ , $\forall \, \vec{x} \in K.$ $_{\blacksquare}$