Dado un punto en coordenadas rectangulares $(x,y)$. ¿Cuáles son las coordenadas polares $(r,\theta )$? ¿Podemos despejar $(r,\theta )$ en función de $(x,y)$?

De $x^2+y^2=r^2$, despejando $r$ se obtiene que $$r=\sqrt{x^2+y^2}$$

Para obtener el valor de $\theta$ tenemos dos maneras.

Una es usando la tangente $$\frac{y}{x}=\frac{r\sin \theta }{r\cos \theta }=\tan \theta$$ $$\theta =\arctan \frac{y}{x}$$

Un detalle a tener en cuenta es que $x\ne 0$.

Además, podemos observar en la siguiente imagen que la función tangente $f(\theta )=\tan \theta$ tal que $f:(\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})\to \mathbb{R}$ no es inyectiva, y no tiene imagen inversa global, por lo que se debe elegir una rama, es decir un intervalo para el ángulo $\theta$.

Si consideramos la rama $\frac{-\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$, $f:(\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2})\to \mathbb{R}$ entonces la función $f(\theta )=\tan \theta$ si tiene función inversa $f^{-1}:\mathbb{R}\to (\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ y por tanto la función $\arctan (\frac{y}{x})$ toma valores en $(\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2})$.

Es decir cuando $x>0$.

De manera análoga, si consideramos la rama $\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{3\pi }{2}$, $f:(\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2})\to \mathbb{R}$ entonces la función $f(\theta )=\tan \theta$ si tiene función inversa $f^{-1}:\mathbb{R}\to (\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ y por tanto la función $\arctan (\frac{y}{x})$ toma valores en $(\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2})$.

Es decir para cuando $x<0$.

Otra manera es la siguiente.

Despejando $(r,\theta )$ en términos de $(x,y)$ de la ecuación $$x^2+y^2=r^2$$

Obtenemos que $$r=\sqrt{x^2+y^2}$$

Sustituyendo el valor de $r$ obtenido, en la ecuación $\cos \theta =\frac{y}{x}$ obtenemos que $\cos \theta =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ por lo que el valor de $\theta$ está dado por $$\theta =\arccos \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$$

La función coseno tampoco es inyectiva sobre $\mathbb{R}$. Para poder hablar de la inversa hay que restringir el intervalo donde varia $\theta$.

Una opción es $0<\theta <\pi$.

Es decir, se debe escoger el intervalo de $\theta$ que mejor nos permita calcular el ángulo dependiendo de donde se encuentre el punto $(x,y)$.

$$T:{\mathbb{R}}^2⟶{\mathbb{R}}^2$$ $$(r,\theta )⟶(x,y)$$

Mediante tabulación.

Si fijamos $r_0=1$ y variamos $\theta$, tenemos que $x=r_0\cos \theta$ entonces $x=\cos \theta$ y para $y=r_0\sin \theta$ se obtiene $y=\sin \theta$. Luego $(x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )$.

Analíticamente para $r_0=1$ $$x^2+y^2={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta$$ $$x^2+y^2=1$$

Por lo que la recta $r=1$ en coordenadas polares es la circunferencia unitaria en coordenadas cartesianas.

Si fijamos $r_0=2$ y variamos $\theta$ se obtiene $$x^2+y^2=(2\cos \theta {)}^2+(2\sin \theta {)}^2=4{\cos }^2\theta +4{\sin }^2\theta =4({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=4$$

$$x^2+y^2=4$$

Por lo que la recta $r=2$ en coordenadas polares es la circunferencia de radio 2 en coordenadas cartesianas.

Además, la recta $r=0$ en coordenadas polares, es el punto $(0,0)$ en coordenadas cartesianas.

https://www.geogebra.org/classic/rhv8nvwx

Ahora consideremos una recta horizontal $\theta ={\theta }_0$

$x=r\cos {\theta }_0$

$y=r\sin {\theta }_0$

$(x,y)=(r\cos {\theta }_0,r\sin {\theta }_0)$

$(x,y)=r(\cos {\theta }_0,\sin {\theta }_0)$

El factor $(\cos {\theta }_0,\sin {\theta }_0)$ es constante, si variamos $r$ tenemos que:

* Si $r>0$ la recta horizontal en coordenadas polares es un rayo que parte del origen en coordenadas cartesianas; pero si $r\in \mathbb{R}$ se transforma en la recta generada por el vector unitario $\overrightarrow{u}=(\cos {\theta }_0,\sin {\theta }_0)$.

En la siguiente animación dejamos fijo el ángulo y variamos el valor de $r$.

https://www.geogebra.org/c

En la siguiente animación puedes variar al mismo tiempo $r,\mathrm{\Delta }r,\theta$ y $\mathrm{\Delta }\theta$ y observar las transformación en la segunda ventana.

https://www.geogebra.org/classic/kwbmfxfn