Sea $f:{\mathbb{R}}^2⟶\mathbb{R}$

$$f(x,y)={\displaystyle \frac{2xy}{x^2+y^2}}$$

* ¿Cuál es la gráfica de $f$?

* ¿Cuáles son los puntos de discontinuidad?

Cortes con el plano $x=x_0$ constante.

$z=f(x_0,y)={\displaystyle \frac{2x_{0}y}{x_0^2+y^2}}$

Por ejemplo, si $x_0=1$

$f(1,y)={\displaystyle \frac{2y}{1+y^2}}$

si $x_0=2$

$f(2,y)={\displaystyle \frac{4y}{4+y^2}}$

si $x_0={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$f(\frac{1}{2},y)={\displaystyle \frac{y}{\frac{1}{4}+y^2}}$

CASO ESPECIAL $x=x_0=0$

$$z=f(0,y)={\displaystyle \frac{2(0)y}{0+y^2}}$$

$z=0$

https://www.geogebra.org/classic/r5c2eu76

Curvas de nivel

$f(x,y)=c$ con $c\ne 0$

${\displaystyle \frac{2xy}{x^2+y^2}}=c$

$2xy=c(x^2+y^2)$

${\displaystyle \frac{2}{c}}xy=x^2+y^2$

$y^2–{\displaystyle \frac{2}{c}}xy+x^2=0$

Calculamos los valores de $y$.

$$y={\displaystyle \frac{\frac{2}{c}x\pm \sqrt{\frac{4}{c^2}{x}^2–4x^2}}{2}}$$

$$y={\displaystyle \frac{\frac{2}{c}x\pm \sqrt{\frac{4x^2}{c^2}(1-c^2)}}{2}}$$

Simplificando obtenemos que:

$$y={\displaystyle \frac{x}{c}}\pm {\displaystyle \frac{x}{c}}\sqrt{(1-c^2)}$$

Son dos rectas y solo hay curvas para el intervalo $c=[-1,1].$

En el siguiente enlace puedes observar vistas simultáneas de las curvas de nivel y la gráfica de la función.

https://www.geogebra.org/classic/u8kxbxq5