Para cada constante $c\in \mathbb{R}$, el conjunto de nivel $c$ es $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|f(x,y)=c\}=f^{-1}(c)$.

$c=0$

$f(x,y)=0$ lo cumplen los puntos de la forma $(0,y)$ con $y\in \mathbb{R}$ y los puntos de la forma $(x,0)$ con $x\in \mathbb{R}$.

$c=1$

$f(x,y)=1$ se cumple cuando ${\displaystyle \frac{y}{x}}=1$ es decir cuando $y=x$ pero $x\ne 0$.

$c=2$

$f(x,y)=2$ se cumple cuando ${\displaystyle \frac{y}{x}}=2$ es decir cuando $y=2x$ pero $x\ne 0$.

$c=\frac{1}{2}$

$f(x,y)=\frac{1}{2}$ se cumple cuando ${\displaystyle \frac{y}{x}}=\frac{1}{2}$ es decir cuando $y=\frac{1}{2}x$ pero $x\ne 0$.

$c=-1$

$f(x,y)=-1$ se cumple cuando ${\displaystyle \frac{y}{x}}=-1$ es decir cuando $y=-x$ pero $x\ne 0$.

Sabemos que la ecuación de una recta está dada por $y=mx+b$ de donde $m={\displaystyle \frac{y}{x}}$ entonces podemos observar que el plano se llena con rectas de diferentes pendientes, incluso la recta vertical, que es cuando $c=0$.

Por lo que podemos concluir que los puntos donde $f$ es discontinua son los de la forma $(0,y_0)$ que son los que forman la recta $x=0$ y el eje $y$.

En la siguiente animación puedes observar las curvas de nivel que se calcularon.

https://www.geogebra.org/classic/tgfk7smx