Definamos $f: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R} $
$$\begin{equation} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \; \dfrac{y}{x} \; \; \text{si} \; x \neq 0 \\ \; \; 0 \; \; \text{si } \; x = 0 \end{array}\right.\end{equation}$$
Para analizar la gráfica estudiemos las curvas de nivel.
Para cada constante $c \in \mathbb{R}$, el conjunto de nivel $c$ es $\Big\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \, | f(x, y) = c \Big\} = f^{-1}(c)$.
$c= 0$
$f(x, y)=0$ lo cumplen los puntos de la forma $(0, y)$ con $y \in \mathbb{R}$ y los puntos de la forma $(x, 0)$ con $x \in \mathbb{R}$.
$c=1$
$f(x, y)=1$ se cumple cuando $\dfrac{y}{x}=1$ es decir cuando $y=x$ pero $x \neq 0$.
$c=2$
$f(x, y)=2$ se cumple cuando $\dfrac{y}{x} = 2$ es decir cuando $y=2x$ pero $x \neq 0$.
$c=\frac{1}{2}$
$f(x, y)=\frac{1}{2}$ se cumple cuando $\dfrac{y}{x} = \frac{1}{2}$ es decir cuando $y=\frac{1}{2}x$ pero $x \neq 0$.
$c= -1$
$f(x, y)=-1$ se cumple cuando $\dfrac{y}{x}=-1$ es decir cuando $y= -x$ pero $x \neq 0$.
Sabemos que la ecuación de una recta está dada por $y=mx+b$ de donde $m=\dfrac{y}{x}$ entonces podemos observar que el plano se llena con rectas de diferentes pendientes, incluso la recta vertical, que es cuando $c=0$.
Se puede ver que los puntos donde $f$ es discontinua son los de la forma $(0, y_0)$ que son los que forman la recta $x=0$, es decir, el eje $y$.
En la siguiente animación puedes observar las curvas de nivel que se calcularon.