Sea $f:{\mathbb{R}}^2⟶\mathbb{R}$

$$f(x,y)=\{\begin{array}{rcl}\frac{y}{x}& si& x\ne 0\\ 0& si& x=0\end{array}$$

Queremos saber:

• ¿En qué puntos $f$ tiene límite?
• ¿En qué puntos $f$ no tiene límite?
• ¿Cómo es la gráfica de $f$ ?

Analicemos diferentes cortes para poder responder estas preguntas.

1. Cortes paralelos al plano $yz$

$x=x_0$ constante.

$$f(x_0,y)=\{\begin{array}{rcl}\frac{y}{x_0}& si& x_0\ne 0\\ 0& si& x_0=0\end{array}$$

Corte especial para $x=0$

para $x=x_0=0$

$$f(0,y)=0$$

En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $x_0$.

https://www.geogebra.org/classic/vaquauek

2. Cortes con el plano $x=1$

$z=f(1,y)=\frac{y}{1}$

https://www.geogebra.org/classic/mt9rgkzj

3. Cortes paralelos al plano $xz$

$y=y_0$ constante.

$$f(x,y_0)=\{\begin{array}{rcl}\frac{y_0}{x}& si& x\ne 0\\ 0& si& x=0\end{array}$$

Corte especial para $y=0$

para $y=y_0=0$

$f(x,0)=0$

$$f(x,0)=\{\begin{array}{rcl}0& si& x\ne 0\\ 0& si& x=0\end{array}$$

En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $y_0$.

https://www.geogebra.org/classic/cmppwyss