Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$
$$f(x, y) = \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{y}{x} & si & x \neq 0 \\ 0 & si & x = 0\end{array} \right.$$
Queremos saber:
- ¿En qué puntos $f$ es continua?
- ¿En qué puntos $f$ es discontinua?
- ¿Cómo es la gráfica de $f$ ?
Analicemos diferentes cortes para poder responder estas preguntas.
1. Cortes paralelos al plano $yz$
$x = x_0$ constante.
$$f(x_0, y) = \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{y}{x_0} & si & x_0 \neq 0 \\ 0 & si & x_0 = 0\end{array} \right.$$
Corte especial para $x = 0$
para $x = x_0 = 0$
$$f(0, y) = 0$$
En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $x_0$.
https://www.geogebra.org/classic/vaquauek
2. Cortes con el plano $x=1$
$z=f(1, y) = \frac{y}{1}$
https://www.geogebra.org/classic/mt9rgkzj
3. Cortes paralelos al plano $xz$
$y = y_0$ constante.
$$f(x, y_0) = \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{y_0}{x} & si & x \neq 0 \\ 0 & si & x = 0\end{array} \right.$$
Corte especial para $y=0$
para $y=y_0=0$
$f(x, 0) = 0$
$$f(x, 0) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & si & x \neq 0 \\ 0 & si & x = 0\end{array} \right.$$
En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $y_0$.