$$x_0=1$$ $$x_1=1$$ $$x_2=2$$ $$x_3=3$$ $$x_4=5$$ $$⋮$$ $$x_{n+1}=x_n+x_{n-1}$$ $$x_{n+2}=x_n+x_{n+1}$$

Observación: si divido el término siguiente entre el anterior tenemos: $\frac{x_{n+1}}{x_n}=q_n$, donde $q_n$ es el cociente.

$\frac{1}{1}=1$

$\frac{2}{1}=2$

$\frac{3}{2}=1.5$

$\frac{5}{3}=1.66\dots ⟶\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ la razón aurea.

Para cada $n$ definamos $y_n=x_{n+1}$

Luego $$y_{n+1}=x_{n+2}=x_n+x_{n+1}=x_n+y_n$$

Tenemos las dos ecuaciones:

$x_{n+1}=y_n$

$y_{n+1}=x_n+y_n$

Podemos escribir estas ecuaciones como una ecuación vectorial $$\left(\begin{array}{cc}{x}_{n+1}& y_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$$

Entonces tenemos que ${\overrightarrow{x}}_{n+1}=A{\overrightarrow{x}}_n$. ¿Qué pasa cuando $\overrightarrow{x_n}⟶\mathrm{\infty }$?

Calculamos los valores propios de la matriz $A$:

$$A-\lambda I=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)–\lambda \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}–\lambda & 1\\ 1& 1–\lambda \end{array}\right)$$

$det(A–\lambda I)=0=(\lambda )(1–\lambda )–(1)(1)$

$$0={\lambda }^2–\lambda –1$$

Luego $$\lambda =\frac{1\pm \sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$$

Analizando los valores de $\lambda$ podemos ver que:

• $\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi >1$ por lo que multiplicar por este valor aumenta la magnitud de los vectores, y si lo hacemos indefinidamente la magnitud tiende a infinito.

• $\frac{1–\sqrt{5}}{2}=–\frac{1}{\varphi }>–0.6$ notemos que el valor absoluto de este número es menor que 1 por lo que multiplicar por este valor propio achica la magnitud de los vectores, y si lo hacemos indefinidamente la magnitud tiende a cero.

Los vectores propios son:

• para $\varphi$ $$A\overrightarrow{v}=\varphi \overrightarrow{v}$$ $$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\varphi \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$ $$y=\varphi x$$

Los vectores propios son de la forma $\left(\begin{array}{c}x\\ \varphi x\end{array}\right)$.

Un vector propio es $\left(\begin{array}{c}1\\ \varphi \end{array}\right)=\overrightarrow{v}$.

• para $\lambda =\frac{-1}{\varphi }$ $$A\overrightarrow{w}=\frac{-1}{\varphi }\overrightarrow{w}$$

$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\frac{-1}{\varphi }\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$ $$y=\frac{-1}{\varphi }x$$

Los vectores propios son de la forma $\left(\begin{array}{c}x\\ \frac{-1}{\varphi }x\end{array}\right)$.

Un vector propio es $\left(\begin{array}{c}1\\ \frac{-1}{\varphi }\end{array}\right)=\overrightarrow{w}$.

Observemos que $\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{w}$ son una base de ${\mathbb{R}}^2$ y por lo tanto podemos escribir al vector inicial como combinación lineal de ellos.

$$\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c}1\\ \varphi \end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c}1\\ \frac{-1}{\varphi }\end{array}\right)$$

En forma vectorial,$\overrightarrow{x_0}=a\overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}$ entonces

$$\overrightarrow{x_1}=A\overrightarrow{x_0}=aA\overrightarrow{v}+bA\overrightarrow{w}=a\varphi \overrightarrow{v}-\frac{b}{\varphi }\overrightarrow{w}$$

$$\overrightarrow{x_2}=A\overrightarrow{x_1}=a\varphi A\overrightarrow{v}-\frac{b}{\varphi }A\overrightarrow{w}=a{\varphi }^2\overrightarrow{v}+\frac{b}{{\varphi }^2}\overrightarrow{w}$$

En general:

$$\overrightarrow{x_n}=a{\varphi }^n\overrightarrow{v}+(-1{)}^n\frac{b}{{\varphi }^n}\overrightarrow{w}$$

Observemos que el vector $(-1{)}^n\frac{b}{{\varphi }^n}\overrightarrow{w}$ tiende al vector $\overrightarrow{0}$ cuando $n$ tiende a infinito y entonces el vector $\overrightarrow{x_n}$ se aproxima a la recta generada por el vector $\overrightarrow{v}$ entonces:

En el siguiente enlace puedes observar una animación de como los puntos $(x_n,y_n)$ se aproximan a la recta $y=\varphi x$

https://www.geogebra.org/classic/qxkcm4zf

El cociente $\frac{x_{n+1}}{x_n}$ es igual a la pendiente de la recta generada por el vector $\overrightarrow{x_n}=(x_n,y_n)$ pero como este vector se aproxima a la recta generada por el vector propio $\overrightarrow{v}=(1,\varphi )$ las pendientes $\frac{y_n}{x_n}$ se aproximan a la pendiente $\frac{\varphi }{1}=\varphi$ por esta razón los cocientes de la sucesión de Fibonacci se aproximan al valor de $\varphi .$