$$x_0 = 1$$ $$x_1 = 1$$ $$x_2 = 2$$ $$x_3 = 3$$ $$x_4 = 5$$ $$\vdots$$ $$x_{n+1} = x_n + x_{n-1}$$ $$x_{n+2} = x_n + x_{n+1}$$

Observación: si divido el término siguiente entre el anterior tenemos: $\frac{x_{n+1}}{x_n} = q_n \; $, donde $ \; q_n $ es el cociente.

$\frac{1}{1} = 1 $

$\frac{2}{1} = 2 $

$\frac{3}{2} = 1.5 $

$\frac{5}{3} = 1. 66 … \longrightarrow \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ la razón aurea.

Para cada $n$ definamos $y_n = x_{n+1}$

Luego $$y_{n+1} = x_{n+2} = x_n + x_{n+1} = x_n + y_n$$

Tenemos las dos ecuaciones:

$x_{n+1} = y_n$

$y_{n+1}= x_n + y_n$

Podemos escribir estas ecuaciones como una ecuación vectorial $$\begin{equation*} \begin{pmatrix} x_{n+1} & y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} \end{equation*}$$

Entonces tenemos que $\vec{x}_{n+1} = A \vec{x}_n$. ¿Qué pasa cuando $\overrightarrow{x_n} \longrightarrow \infty$?

Calculamos los valores propios de la matriz $A$:

$$A-\lambda I =\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \, – \, \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \, – \, \lambda & 1 \\ 1 & 1 \, – \, \lambda \end{pmatrix} \end{equation*}$$

$det (A \, – \, \lambda I) = 0 = ( \lambda)(1 \, – \, \lambda) \, – \, (1)(1)$

$$0 = \lambda^2 \, – \, \lambda \, – \, 1$$

Luego $$\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$

Analizando los valores de $\lambda$ podemos ver que:

• $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi > 1$ por lo que multiplicar por este valor aumenta la magnitud de los vectores, y si lo hacemos indefinidamente la magnitud tiende a infinito.

• $\frac{1 – \sqrt{5}}{2} = – \, \frac{1}{\phi} > – \, 0.6$ notemos que el valor absoluto de este número es menor que 1 por lo que multiplicar por este valor propio achica la magnitud de los vectores, y si lo hacemos indefinidamente la magnitud tiende a cero.

Los vectores propios son:

• para $\phi$ $$A \vec{v} = \phi \vec{v}$$ $$\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \phi \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{equation*}$$ $$y = \phi x$$

Los vectores propios son de la forma $\begin{pmatrix} x \\ \phi x \end{pmatrix}$.

Un vector propio es $\begin{pmatrix} 1 \\ \phi \end{pmatrix} = \vec{v}$.

• para $\lambda = \frac{-1}{\phi}$ $$A \vec{w} = \frac{-1}{\phi} \vec{w}$$

$$\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{-1}{\phi} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{equation*}$$ $$y = \frac{-1}{\phi} x$$

Los vectores propios son de la forma $\begin{pmatrix} x \\ \frac{-1}{\phi} x \end{pmatrix}$.

Un vector propio es $\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{-1}{\phi} \end{pmatrix} = \vec{w}$.

Observemos que $\vec{v}$ y $\vec{w}$ son una base de $\mathbb{R}^2$ y por lo tanto podemos escribir al vector inicial como combinación lineal de ellos.

$$\begin{equation*} \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 \\ \phi \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{-1}{\phi} \end{pmatrix} \end{equation*}$$

En forma vectorial,$\vec{x_0} = a\vec{v}+b\vec{w}$ entonces

$$\vec{x_1} = A \vec{x_0} = aA\vec{v} +bA\vec{w}= a\phi\vec{v}-\frac{b}{\phi} \vec{w}$$

$$\vec{x_2} = A \vec{x_1} = a\phi A \vec{v} -\frac{b}{\phi}A\vec{w}= a\phi^2\vec{v}+\frac{b}{\phi^2} \vec{w}$$

En general:

$$\vec{x_n} = \textcolor{Magenta}{a\phi^n}\vec{v}+\textcolor{Magenta}{(-1)^n\frac{b}{\phi^n}} \vec{w}$$

Observemos que el vector $(-1)^n\frac{b}{\phi^n} \vec{w}$ tiende al vector $\vec{0}$ cuando $n$ tiende a infinito y entonces el vector $\vec{x_n}$ se aproxima a la recta generada por el vector $\vec{v}$ entonces:

En el siguiente enlace puedes observar una animación de como los puntos $(x_n, y_n)$ se aproximan a la recta $y = \phi x$

https://www.geogebra.org/classic/qxkcm4zf

El cociente $\frac{x_{n+1}}{x_n}$ es igual a la pendiente de la recta generada por el vector $\vec{x_n} = (x_n, y_n)$ pero como este vector se aproxima a la recta generada por el vector propio $\vec{v} =(1, \phi)$ las pendientes $\frac{y_n}{x_n}$ se aproximan a la pendiente $\frac{\phi}{1}=\phi$ por esta razón los cocientes de la sucesión de Fibonacci se aproximan al valor de $\phi.$