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El blog de Leo comenzó siendo un proyecto personal, pero ahora es una página con decenas de autores que escriben notas para aprender matemáticas a nivel universitario. Puedes consultar el material navegando el menú superior o los siguientes enlaces. Para conocer más de este sitio, puedes ir a la sección Acerca de.

Entradas recientes

• Relaciones básicas entre los espacios $L^p$
  por César Mendoza
  MATERIAL EN REVISIÓN Introducción En las entradas anteriores definimos los espacios de Lebesgue $L^p$ para $p\in [1,\mathrm{\infty }]$ y estudiamos algunas de sus propiedades. En esta entrada trataremos de responder la pregunta ¿Qué relación existe entre los espacios $L^p$ y $L^q$ cuando $p\ne q$? En general $L^p⊈L^q$ A pesar de lo que la intuición… Leer más: Relaciones básicas entre los espacios $L^p$
• El espacio $L^{\mathrm{\infty }}$
  por César Mendoza
  MATERIAL EN REVISIÓN Introducción Anteriormente definimos los espacios $L^p$ para $p\in [1,\mathrm{\infty })$, definimos su norma y estudiamos algunas de sus propiedades analíticas más importantes. En esta entrada estudiaremos el concepto de supremo esencial y el espacio $L^{\mathrm{\infty }}$. Bajo ciertas condiciones, este último espacio se puede pensar como «un caso límite» de los espacios $L^p$, y… Leer más: El espacio $L^{\mathrm{\infty }}$
• Completitud de los espacios $L^p$
  por César Mendoza
  MATERIAL EN REVISIÓN Introducción En la entrada pasada definimos los espacios $L^p$ y vimos algunas de sus propiedades. Probamos que son espacios normados y algunas desigualdades relacionadas. En esta entrada probaremos otra propiedad analítica muy fuerte: Son espacios de Banach. A modo de recordatorio: Definición. Decimos que un espacio vectorial normado $(V,\Vert \cdot \Vert )$ es… Leer más: Completitud de los espacios $L^p$
• Espacios $L^p$
  por César Mendoza
  MATERIAL EN REVISIÓN Introducción Los espacios $L^p$ son posiblemente los espacios normados más importantes que surgen en la teoría de la medida e integración de Lebesgue. Estos generalizan la idea de funciones integrables, y nos permiten medir el «tamaño» de funciones de maneras más flexibles y potentes, además, tienen propiedades súmamente interesantes en el contexto… Leer más: Espacios $L^p$
• Dos ejemplos importantes de medidas inducidas
  por César Mendoza
  MATERIAL EN REVISIÓN En esta sección estudiaremos brevemente dos ejemplos importantes de medidas «inducidas», es decir, que se definen en términos de otras medidas. Medida inducida por una función Definición. Sea $(X,\mathcal{M},\mu )$ un espacio de medida y $f:X\to [0,\mathrm{\infty }]$ una función $\mathcal{M}$-medible no negativa. Definimos la medida inducida por $f$, ${\mu }_f$ como:$$\mu_f(E)=\int_Ef \ \mathrm{d}\mu \… Leer más: Dos ejemplos importantes de medidas inducidas
• Otras propiedades de las medidas
  por César Mendoza
  MATERIAL EN REVISIÓN Introducción Hasta ahora, hemos visto resultados válidos en cualquier espacio de medida $(X,\mathcal{M},\mu )$. Sin embargo, hay algunas otras propiedades específicas que tienen consecuencias teóricas relevantes. En esta sección revisaremos brevemente algunas de las más importantes. Las primeras dos están relacionadas con el «tamaño» de una medida. Definición. Sea $(X,\mathcal{M},\mu )$ un espacio de… Leer más: Otras propiedades de las medidas
• Integración en espacios de medida
  por César Mendoza
  MATERIAL EN REVISIÓN Introducción En la entrada pasada generalizamos el concepto de medida para espacios abstractos. Ahora veremos como extender el concepto de integración sobre un espacio de medida abstracta y analizaremos un par de ejemplos clásicas. Un comentario importante La mayoría de definiciones y resultados que hemos establecido hasta ahora para la medida e… Leer más: Integración en espacios de medida
• Medidas generales
  por César Mendoza
  MATERIAL EN REVISIÓN Introducción Hasta ahora, nos hemos limitado a estudiar el problema de la medida e integración en ${\mathbb{R}}^n$, sin embargo, todo lo que hemos visto se puede generalizar de manera automática en un contexto más general. La integración en espacios generales de medida es una generalización poderosa de la integral de Lebesgue, que… Leer más: Medidas generales
• Demostración del Teorema de Fubini
  por César Mendoza
  MATERIAL EN REVISIÓN Introducción En esta entrada daremos finalmente una demostración del Teorema de Fubini. Notación. Por simplicidad, a lo largo de nuestros desarrollos denotaremos como $\lambda$ a la medida de Lebesgue en cualquier dimensión. La dimensión en la que estemos trabajando será clara del contexto. Teorema de Fubini-Tonelli (para funciones no negativas). Sea $f:{\mathbb{R}}^n\to [0,\mathrm{\infty }]$… Leer más: Demostración del Teorema de Fubini
• Ejemplos – Teorema de Fubini
  por César Mendoza
  MATERIAL EN REVISIÓN Introducción En esta entrada veremos varios ejemplos relacionados con el teorema de Fubini. La condición de integrabilidad es necesaria en el Teorema de Fubini. En general, no podemos relajar las hipótesis de positividad o integrabilidad en el Teorema de Fubini. Veamos un ejemplo concreto. Ejemplo. Consideremos $Q=(0,\mathrm{\infty })\times (0,\mathrm{\infty })$. Definamos $R\subseteq Q$ como… Leer más: Ejemplos – Teorema de Fubini

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