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Entradas recientes

• Geometría Moderna II: Teorema de Pascal, Brianchon y Pappus
  por Armando Arzola Pérez
  Introducción Tres teoremas importantes en la razón cruzada son el Teorema de Pascal, Brianchon y Pappus. Con estos se muestran propiedades de colinealidad y concurrencia. Teorema de Pascal Sea un hexágono inscrito en una circunferencia, los puntos de intersección de sus lados opuestos son colineales. Demostración. Sea el hexágono inscrito $ABCDEF$ en la circunferencia $O$,… Leer más: Geometría Moderna II: Teorema de Pascal, Brianchon y Pappus
• Mutiplicadores de Lagrange
  por Angélica Amellali Mercado Aguilar
  $\textcolor{Red}{\textbf{Extremos Restringidos (Multiplicadores de Lagrange)}}$ Supongase que se quieren hallar los valores extremos (máximo ó mínimo) de una función $f(x,y)$ sujeta a la restircción $x^2+y^2=1$; esto es, que $(x,y)$ está en el circulo unitario. Con mayor generalidad, podemos necesitar maximizar o minimizar $f(x,y)$ sujeta a la condición adicional de que $(x,y)$ también satisfaga una ecuación… Leer más: Mutiplicadores de Lagrange
• Extremos Locales (parte 2)
  por Angélica Amellali Mercado Aguilar
  Extremos Locales parte 2 pequeño Para el caso de funciones $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}$ tenemos que recordando un poco de la expresión de taylor$$f(x,y)=f(x_{0},y_{0})+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right){p}(x-x_{0})+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right){p}(y-y_{0})+\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right){p}(z-z_{0})+$$ $$\textcolor{Red}{\frac{1}{2!}\left(\frac{\partial^{2}f}{\partialx^{2}}{p}(x-x_{0})^{2}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partialy}{p}(x-x_{0})(y-y_{0})+\frac{\partial^{2}f}{\partialy^{2}}{p}(y-y_{0})^{2}+2\frac{\partial^{2}f}{\partialx\partial z}{p}(z-z_{0})(x-x_{0})+2\frac{\partial^{2}f}{\partialy\partial z}{p}(z-z_{0})(y-y_{0})\right)}$$$$\textcolor{Red}{+\frac{\partial^{2}f}{\partialz^{2}}{p}(z-z_{0})}$$ Haciendo $x-x_{0}=h_{1},y-y_{0}=h_{2},z-z_{0}=h_{3}$ podemos escribir el término rojo de la siguiente manera$$\frac{1}{2!}\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}h_{1}^{2}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}h_{1}h_{2}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}h_{2}^{2}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial z}h_{3}h_{1}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial z}h_{3}h_{2}+\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}h_{3}^{2}\right)$$ y también se… Leer más: Extremos Locales (parte 2)
• Extremos Locales
  por Angélica Amellali Mercado Aguilar
  Introducción Entre las caracteristicas geometricas básicas de la gráficas de una función estan sus puntos extremos, en los cuales la función alcanza sus valores mayor y menor. Definición 1. Si $f:u\subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es una función escalar, dado un punto $x_0 \in u$ se llama mínimo local de $f$ si existe una vecindad $v$… Leer más: Extremos Locales
• Operaciones, Gráficas, Límites y Continuidad
  por Angélica Amellali Mercado Aguilar
  Funciones de $\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ (parte dos) Ejemplo. Encontrar el dominio y la imagen de la región $\displaystyle{R=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}~|~0\leq x\leq1,~0\leq y\leq1\right\}}$ para la función $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ dada por $$\displaystyle{f(x,y)=\left(x^{2}-y^{2},2xy\right)}$$ Solución. En este caso $$f_{1}=\left(x^{2}-y^{2}\right)~\Rightarrow~Dom_{f_{1}}=\mathbb{R}^{2}$$$$f_{2}=\left(2xy\right)~\Rightarrow~Dom_{f_{2}}=\mathbb{R}^{2}$$por lo tanto$$Dom_{f}=Dom_{f_{1}}\bigcap Dom_{f_{}}=\mathbb{R}^{2}\bigcap \mathbb{R}^{2}=\mathbb{R}^{2}$$Para la imagen de la región $\displaystyle{R=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}~|~0\leq x\leq1,~0\leq y\leq1\right\}}$ procedemos de la siguiente manera:Definimos los siguientes conjuntos que limitan… Leer más: Operaciones, Gráficas, Límites y Continuidad
• Teorema de la Función Inversa
  por Angélica Amellali Mercado Aguilar
  Teorema de la Función Inversa (sistema $f_{i}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$) Teorema 1. Sea $U\subset\mathbb{R}^{n}$ un abierto y sean$$\begin{matrix}f_{1}:U\rightarrow\mathbb{R} \\\vdots \\f_{n}:U\rightarrow\mathbb{R}\end{matrix}$$con derivadas parciales continuas. Considerar las ecuaciones $$\begin{array}{c}f_1(x_1,x_2,…,x_n)= y_1\\f_2(x_1,x_2,…,x_n)= y_2\\\vdots\\f_n(x_1,x_2,…,x_n)= y_n\end{array}$$ Tratamos de resolver las n-ecuaciones para $x_1,x_2,… x_n$como funciones de $y_1,y_2,… y_n$.La condición de existencia para la solución en una vecindad del punto $x_0$ es que el determinante… Leer más: Teorema de la Función Inversa
• Diferenciación
  por Angélica Amellali Mercado Aguilar
  Diferenciación de funciones $f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ Definición. Considere la función $f:A\subset\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ definida en un conjunto abierto A de $\mathbb{R}^{n}$ y sea $x_{0}\in A$. Se dice que esta función es diferenciable si $$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot h+r(h)$$cumple$$\lim_{h\rightarrow0}\frac{r(h)}{|h|}=\hat{0}$$ Ejemplo. Compruebe que la función $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{3}$ definida por$$f(x,y)=\left(e^{xy},x^{2}+y,2x^{3}y^{2}\right)$$ es diferenciable en $(1,3)$$\textbf{Solución}$ En este caso$$\lim_{h\rightarrow0}\frac{r(h)}{|h|}=$$$$\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{f(1+h_{1},3+h_{2})-f(1,3)-\left((3e^{3},e^{3})\cdot\binom{h_{1}}{h_{2}},(2,1)\cdot\binom{h_{1}}{h_{2}},(54,12)\cdot\binom{h_{1}}{h_{2}}\right)}{|(h_{1},h_{2})|}$$$$=\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{\left(e^{(1+h_{1})(3+h_{2})},(1+h_{1})^{2}+(3+h_{2}),2(1+h_{1})^{3}(3+h_{2})^{2}\right)-\left(e^{3},4,18\right)}{|(h_{1},h_{2})|}$$$$\frac{-\left((3e^{3},e^{3})\cdot\binom{h_{1}}{h_{2}},(2,1)\cdot\binom{h_{1}}{h_{2}},(54,12)\cdot\binom{h_{1}}{h_{2}}\right)}{|(h_{1},h_{2})|}$$$$=\left(\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{e^{(1+h_{1})(3+h_{2})}-e^{3}-3e^{3}h_{1}-e^{3}h_{2}}{|(h_{1},h_{2})|},\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{(1+h_{1})^{2}+(3+h_{2})-4-2h_{1}-h_{2}}{|(h_{1},h_{2})|},\right.$$$$\left.\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{2(1+h_{1})^{3}(3+h_{2})^{2}-18-54h_{1}-12h_{2}}{|(h_{1},h_{2})|}\right)$$$$=(0,0,0)$$por lo que la función es diferenciable. En el… Leer más: Diferenciación
• Convergencia e integración
  por Lizbeth Fernández Villegas
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• Contracciones
  por Lizbeth Fernández Villegas
  Introducción Cuando los puntos de un espacio métrico son enviados al mismo espacio a través de una función, conviene saber si habrá algún punto que se envíe a sí mismo, es decir, que se conserve fijo. Las próximas entradas nos mostrarán cuándo esa situación ocurre y resultados interesantes derivados de ello. Comencemos con la primera:… Leer más: Contracciones
• Álgebra Moderna I: Teorema de Jordan-Hölder
  por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos
  El Teorema de Jordan-Hölder nos dice que para cada par de series de composición de un grupo $G$ siempre son del mismo tamaño e isomoforfas entre sí. De nuevo, es un teorema que nos describe cómo es un grupo y los subgrupos que lo conforma.

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