El blog de Leo

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El blog de Leo comenzó siendo un proyecto personal, pero ahora es una página con decenas de autores que escriben notas para aprender matemáticas a nivel universitario. Puedes consultar el material navegando el menú superior o los siguientes enlaces. Para conocer más de este sitio, puedes ir a la sección Acerca de.

Entradas recientes

  • Geometría Moderna II: Teorema de Pascal, Brianchon y Pappus
    Introducción Tres teoremas importantes en la razón cruzada son el Teorema de Pascal, Brianchon y Pappus. Con estos se muestran propiedades de colinealidad y concurrencia. Teorema de Pascal Sea un hexágono inscrito en una circunferencia, los puntos de intersección de sus lados opuestos son colineales. Demostración. Sea el hexágono inscrito $ABCDEF$ en la circunferencia $O$,… Leer más: Geometría Moderna II: Teorema de Pascal, Brianchon y Pappus
  • Mutiplicadores de Lagrange
    $\textcolor{Red}{\textbf{Extremos Restringidos (Multiplicadores de Lagrange)}}$ Supongase que se quieren hallar los valores extremos (máximo ó mínimo) de una función $f(x,y)$ sujeta a la restircción $x^2+y^2=1$; esto es, que $(x,y)$ está en el circulo unitario. Con mayor generalidad, podemos necesitar maximizar o minimizar $f(x,y)$ sujeta a la condición adicional de que $(x,y)$ también satisfaga una ecuación… Leer más: Mutiplicadores de Lagrange
  • Extremos Locales (parte 2)
    Extremos Locales parte 2 pequeño Para el caso de funciones $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}$ tenemos que recordando un poco de la expresión de taylor$$f(x,y)=f(x_{0},y_{0})+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right){p}(x-x_{0})+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right){p}(y-y_{0})+\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right){p}(z-z_{0})+$$ $$\textcolor{Red}{\frac{1}{2!}\left(\frac{\partial^{2}f}{\partialx^{2}}{p}(x-x_{0})^{2}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partialy}{p}(x-x_{0})(y-y_{0})+\frac{\partial^{2}f}{\partialy^{2}}{p}(y-y_{0})^{2}+2\frac{\partial^{2}f}{\partialx\partial z}{p}(z-z_{0})(x-x_{0})+2\frac{\partial^{2}f}{\partialy\partial z}{p}(z-z_{0})(y-y_{0})\right)}$$$$\textcolor{Red}{+\frac{\partial^{2}f}{\partialz^{2}}{p}(z-z_{0})}$$ Haciendo $x-x_{0}=h_{1},y-y_{0}=h_{2},z-z_{0}=h_{3}$ podemos escribir el término rojo de la siguiente manera$$\frac{1}{2!}\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}h_{1}^{2}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}h_{1}h_{2}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}h_{2}^{2}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial z}h_{3}h_{1}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial z}h_{3}h_{2}+\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}h_{3}^{2}\right)$$ y también se… Leer más: Extremos Locales (parte 2)
  • Extremos Locales
    Introducción Entre las caracteristicas geometricas básicas de la gráficas de una función estan sus puntos extremos, en los cuales la función alcanza sus valores mayor y menor. Definición 1. Si $f:u\subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es una función escalar, dado un punto $x_0 \in u$ se llama mínimo local de $f$ si existe una vecindad $v$… Leer más: Extremos Locales
  • Operaciones, Gráficas, Límites y Continuidad
    Funciones de $\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ (parte dos) Ejemplo. Encontrar el dominio y la imagen de la región $\displaystyle{R=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}~|~0\leq x\leq1,~0\leq y\leq1\right\}}$ para la función $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ dada por $$\displaystyle{f(x,y)=\left(x^{2}-y^{2},2xy\right)}$$ Solución. En este caso $$f_{1}=\left(x^{2}-y^{2}\right)~\Rightarrow~Dom_{f_{1}}=\mathbb{R}^{2}$$$$f_{2}=\left(2xy\right)~\Rightarrow~Dom_{f_{2}}=\mathbb{R}^{2}$$por lo tanto$$Dom_{f}=Dom_{f_{1}}\bigcap Dom_{f_{}}=\mathbb{R}^{2}\bigcap \mathbb{R}^{2}=\mathbb{R}^{2}$$Para la imagen de la región $\displaystyle{R=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}~|~0\leq x\leq1,~0\leq y\leq1\right\}}$ procedemos de la siguiente manera:Definimos los siguientes conjuntos que limitan… Leer más: Operaciones, Gráficas, Límites y Continuidad
  • Teorema de la Función Inversa
    Teorema de la Función Inversa (sistema $f_{i}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$) Teorema 1. Sea $U\subset\mathbb{R}^{n}$ un abierto y sean$$\begin{matrix}f_{1}:U\rightarrow\mathbb{R} \\\vdots \\f_{n}:U\rightarrow\mathbb{R}\end{matrix}$$con derivadas parciales continuas. Considerar las ecuaciones $$\begin{array}{c}f_1(x_1,x_2,…,x_n)= y_1\\f_2(x_1,x_2,…,x_n)= y_2\\\vdots\\f_n(x_1,x_2,…,x_n)= y_n\end{array}$$ Tratamos de resolver las n-ecuaciones para $x_1,x_2,… x_n$como funciones de $y_1,y_2,… y_n$.La condición de existencia para la solución en una vecindad del punto $x_0$ es que el determinante… Leer más: Teorema de la Función Inversa
  • Diferenciación
    Diferenciación de funciones $f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ Definición. Considere la función $f:A\subset\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ definida en un conjunto abierto A de $\mathbb{R}^{n}$ y sea $x_{0}\in A$. Se dice que esta función es diferenciable si $$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot h+r(h)$$cumple$$\lim_{h\rightarrow0}\frac{r(h)}{|h|}=\hat{0}$$ Ejemplo. Compruebe que la función $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{3}$ definida por$$f(x,y)=\left(e^{xy},x^{2}+y,2x^{3}y^{2}\right)$$ es diferenciable en $(1,3)$$\textbf{Solución}$ En este caso$$\lim_{h\rightarrow0}\frac{r(h)}{|h|}=$$$$\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{f(1+h_{1},3+h_{2})-f(1,3)-\left((3e^{3},e^{3})\cdot\binom{h_{1}}{h_{2}},(2,1)\cdot\binom{h_{1}}{h_{2}},(54,12)\cdot\binom{h_{1}}{h_{2}}\right)}{|(h_{1},h_{2})|}$$$$=\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{\left(e^{(1+h_{1})(3+h_{2})},(1+h_{1})^{2}+(3+h_{2}),2(1+h_{1})^{3}(3+h_{2})^{2}\right)-\left(e^{3},4,18\right)}{|(h_{1},h_{2})|}$$$$\frac{-\left((3e^{3},e^{3})\cdot\binom{h_{1}}{h_{2}},(2,1)\cdot\binom{h_{1}}{h_{2}},(54,12)\cdot\binom{h_{1}}{h_{2}}\right)}{|(h_{1},h_{2})|}$$$$=\left(\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{e^{(1+h_{1})(3+h_{2})}-e^{3}-3e^{3}h_{1}-e^{3}h_{2}}{|(h_{1},h_{2})|},\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{(1+h_{1})^{2}+(3+h_{2})-4-2h_{1}-h_{2}}{|(h_{1},h_{2})|},\right.$$$$\left.\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{2(1+h_{1})^{3}(3+h_{2})^{2}-18-54h_{1}-12h_{2}}{|(h_{1},h_{2})|}\right)$$$$=(0,0,0)$$por lo que la función es diferenciable. En el… Leer más: Diferenciación
  • Convergencia e integración
    Introducción Así como ya hicimos comparaciones de continuidad o diferenciabilidad del límite de una sucesión de funciones a partir de sus términos, en esta ocasión lo haremos con funciones integrables. Partimos de una sucesión de funciones donde para cada $n \in \mathbb{N}, \, f_n:[a,b] \to \mathbb{R}, \, a,b \in \mathbb{R}.$ Supón además que $(f_n)_{n \in… Leer más: Convergencia e integración
  • Contracciones
    Introducción Cuando los puntos de un espacio métrico son enviados al mismo espacio a través de una función, conviene saber si habrá algún punto que se envíe a sí mismo, es decir, que se conserve fijo. Las próximas entradas nos mostrarán cuándo esa situación ocurre y resultados interesantes derivados de ello. Comencemos con la primera:… Leer más: Contracciones
  • Álgebra Moderna I: Teorema de Jordan-Hölder
    El Teorema de Jordan-Hölder nos dice que para cada par de series de composición de un grupo $G$ siempre son del mismo tamaño e isomoforfas entre sí. De nuevo, es un teorema que nos describe cómo es un grupo y los subgrupos que lo conforma.

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