Introducción

Teorema de la Función Inversa $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

Teorema 1. Sea $f:A\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida sobre el abierto $A\subset \mathbb{R}$ y sea $x_0\in A$.
(1) Supóngase que f tiene derivada continua y que $f^{\prime }(x_0)\ne 0$.
(2) Entonces existe un intervalo abierto $I$ que contiene al punto $x_0$ y un intervalo abierto $j$ que contiene a $f(x_0)$, tal que la función $f:I\to J$ es uno a uno y sobre.
(3) Además, la función inversa $f^{-1}:J\to I$ también tiene derivada continua y para un punto $y\in J$, si $x\in I$ es tal que $f(x)=y$, entonces
$${\left(f^{-1}\right)}^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$$

Ejercicio. Obtener la tesis del teorema de la función inversa como aplicación del teorema de la función implícita

Solución. Sea $y=f(x)$ una función real de variable real con derivada continua sobre un conjunto abierto A y sea $x_0$ un punto de A donde $f^{\prime }(x_0)\ne 0$.

Considere la función $F(x,y)=y-f(x)$ y calculemos sus derivadas parciales. Así
$$\frac{\partial F}{\partial x}=-f^{\prime }(x)y\frac{\partial F}{\partial y}=1$$ Nótese que $F,{\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y}}$ son continuas sobre el conjunto
$$B=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x\in A\}$$

Considere ahora como solución inicial el punto $(x_0,y_0)$ donde $y_0=f(x_0)$. Tenemos que
$$F(x_0,y_0)=0y\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0)\ne 0$$ De manera que se cumplen las hipótesis del Teorema de la Función Implicita. Luego entonces cerca del punto $(x_0,y_0)$ la variable x puede representarse en términos de la variable y. Estos expresado formalmente nos dice que existe una única función implicita $x=g(y)$ con dominio un intervalo $J=(y_0-k,y_0+k)$ y con rango $I=(x_0-h,x_0+h)$ tal que $$g(y_0)=x_0$$ y, para toda y, en el intervalo J $$F(g(y),y)=0y\frac{\partial F}{\partial x}(g(y),y)\ne 0$$
ademas, g y su derivada $g^{\prime }$ son continuas sobre J, y
$$g^{\prime }(y)=-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}(g(y),y)}{\frac{\partial F}{\partial x}(g(y),y)}=-\frac{1}{-f^{\prime }(g(y))}=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$$La función g que ha sido determinada no es otra que la función inversa

Ejemplo. Sea f la función definida por la regla de correspondencia $f(x)=-x^5-x$. Si calculamos su derivada, tenemos $f^{\prime }(x)=-5x^4-1$. Observese que $f^{\prime }(x)<0$ para toda x en los reales, por lo que f es decreciente sobre toda la recta real y a su vez es uno a uno.\Concluimos así que la inversa de f está definida sobre toda la recta real y que su gráfica es decreciente. Sin embargo, no se puede obtener la regla de correspondencia para la inversa. Sin embargo, podemos calcular su derivada. Sea y cualquier número real y supóngase que x es tal que $f^{-1}(y)=x$. Así
$${\left(f^{-1}\right)}^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(y))}=\frac{1}{f^{\prime }(x)}=-\frac{1}{5x^4+1}$$

Teorema de la Función Inversa (sistema $f_i:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$)

Sea $U\subset {\mathbb{R}}^n$ un abierto y sean
$$\begin{array}{c}{f}_1:U\to \mathbb{R}\\ ⋮\\ f_n:U\to \mathbb{R}\end{array}$$
con derivadas parciales continuas. Considerar las ecuaciones

$f_1(x_1,x_2,\dots ,x_n)=y_1$
$f_2(x_1,x_2,\dots ,x_n)=y_2$
$⋮$
$f_n(x_1,x_2,\dots ,x_n)=y_n$
Tratamos de resolver las n-ecuaciones para $x_1,x_2,\dots x_n$como funciones de $y_1,y_2,\dots y_n$

La condición de existencia para la solución en una vecindad del punto $x_0$ es que el determinante de la matriz $Df(x_0)$ y $f=(f_i,f_2,\dots f_n)$ sean distintos de cero. Explícitamente:

${\displaystyle \frac{\partial (f_1,f_2,\dots ,f_n)}{\partial (x_1,x_2,\dots ,x_n)}{|}_{x=x_0}=J(f)(x_0)=\left|\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x_0)}& \dots & {\displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x_0)}\\ ⋮& & ⋮\\ {\displaystyle \frac{\partial f_n}{\partial x_1}(x_0)}& \dots & {\displaystyle \frac{\partial f_n}{\partial x_n}(x_0)}\end{array}\right|\ne 0}$

entonces el sistema anterior se puede resolver de manera ‘unica como $x=g(y)$ para $x$ cerca de $x_0$ y y cerca de $y_0$

Nota: La cuestión de existencia se responde por medio del teorema general de la función implícita aplicado a las funciones $y_i-f_i(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ con las incognitas $x_1,x_2,\dots ,x_n$.

Solución. Aquí las funciones son
$$u(x,y)=f_1(x,y)=\frac{x^4+y^4}{x},yv(x,y)=f_2(x,y)=senx+\cos y$$
De acuerdo al teorema de la función inversa
$$\frac{\partial (f_1,f_2)}{\partial (x,y)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial f_1}{\partial x}& \frac{\partial f_1}{\partial y}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x}& \frac{\partial f_2}{\partial y}\end{array}\right|$$
$$=\left|\begin{array}{cc}\frac{3x^4-y^4}{x^2}& \frac{4y^3}{x}\\ \cos x& -seny\end{array}\right|=\frac{seny}{x^2}(y^4-3x^4)-\frac{4y^3}{x}\cos x$$
por lo tanto, en los puntos donde la expresión anterior no se anula, se puede resolver para $x$,$y$ en términos de $u$ y $v$.

Mas aún, si consideramos las expresiones:
$G(x,y,u,v)=x-f(u,v)=0$
$H(x,y,u,v)=y-g(u,v)=0$

Lo que pretendemos es «despejar» de ella a $u$ y $v$ en términos de $x$ e $y$ y poder establecer así las funciones $u=\phi (x,y),v=\psi (x,y)$. Entonces el T.F.Im. (tercera versión) nos da las condiciones para que podamos hacer esto. Sea $P(x,y,u,v)ϵ{\mathbb{R}}^4$ un punto tal que $G(p)=H(p)=0$. Supongamos que en una bola de centro en P las derivadas parciales de $G$ y $H$ son continuas. Si el jacobiano.

$${\displaystyle \frac{\partial (G,H)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial G}{\partial u}& \frac{\partial G}{\partial v}\\ \frac{\partial H}{\partial u}& \frac{\partial H}{\partial v}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}-\frac{\partial f}{\partial u}& -\frac{\partial f}{\partial v}\\ -\frac{\partial g}{\partial u}& -\frac{\partial g}{\partial v}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial f}{\partial u}& \frac{\partial f}{\partial v}\\ \frac{\partial g}{\partial u}& \frac{\partial g}{\partial v}\end{array}\right|\ne 0}$$

en $P$, entonces es posible «despejar» de ellas a $u$ y $v$ en terminos de $x$ e $y$, y establecer así funciones $u=\phi (x,y),v=\phi (x,y)$ definidas en una vecindad $V$ de $(x,y)=F(u,v)$, las cuales tienen derivadas parciales continuas en $V$ que se pueden calcular como

${\displaystyle \frac{\partial G}{\partial u}=-{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u},{\displaystyle \frac{\partial G}{\partial v}=-{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v},{\displaystyle \frac{\partial H}{\partial u}=-{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u},{\displaystyle \frac{\partial H}{\partial v}=-{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial v}}}}}}}}}$

$${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=-{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial (G,H)}{\partial ((x,v)}}}{{\displaystyle \frac{\partial (G,H)}{\partial (u,v)}}}=-{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)}}}det\left|\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial G}{\partial x}}& {\displaystyle \frac{\partial G}{\partial v}}\\ {\displaystyle \frac{\partial H}{\partial x}}& {\displaystyle \frac{\partial H}{\partial v}}\end{array}\right|=-{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)}}}det\left|\begin{array}{cc}1& -{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}}\\ 0& -{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial v}}\end{array}\right|={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial v}}}{{\displaystyle \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)}}}}}}}}$$

Por lo tanto: ${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial v}}}{{\displaystyle \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)}}}}}$

$${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=-{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial (G,H)}{\partial ((y,v)}}}{{\displaystyle \frac{\partial (G,H)}{\partial (u,v)}}}=-{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)}}}det\left|\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial G}{\partial y}}& {\displaystyle \frac{\partial G}{\partial v}}\\ {\displaystyle \frac{\partial H}{\partial y}}& {\displaystyle \frac{\partial H}{\partial v}}\end{array}\right|=-{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)}}}det\left|\begin{array}{cc}0& -{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}}\\ 1& -{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial v}}\end{array}\right|=-{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}}}{{\displaystyle \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)}}}}}}}}$$

Por lo tanto: ${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=-{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}}}{{\displaystyle \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)}}}}}$

$${\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}=-{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial (G,H)}{\partial ((u,x)}}}{{\displaystyle \frac{\partial (G,H)}{\partial (u,v)}}}=-{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)}}}det\left|\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial G}{\partial u}}& {\displaystyle \frac{\partial G}{\partial x}}\\ {\displaystyle \frac{\partial H}{\partial u}}& {\displaystyle \frac{\partial H}{\partial x}}\end{array}\right|=-{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)}}}det\left|\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}}& 1\\ -{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u}}& 0\end{array}\right|=-{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u}}}{{\displaystyle \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)}}}}}}}}$$

$${\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}=-{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial (G,H)}{\partial ((u,y)}}}{{\displaystyle \frac{\partial (G,H)}{\partial (u,v)}}}=-{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)}}}det\left|\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial G}{\partial u}}& {\displaystyle \frac{\partial G}{\partial y}}\\ {\displaystyle \frac{\partial H}{\partial u}}& {\displaystyle \frac{\partial H}{\partial y}}\end{array}\right|=-{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)}}}det\left|\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}}& 0\\ -{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u}}& 1\end{array}\right|={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}}}{{\displaystyle \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)}}}}}}}}$$

En resumen tenemos: Sean $f,g:U\subseteq {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ funciones definidas en el conjunto abierto $U$ de ${\mathbb{R}}^2$. Sean $x=f(u,v)$, $y=g(u,v)$.

Suponga que alguna bola $B$ de ${\mathbb{R}}^2$ con centro $(u,v)$, las derivadas parciales ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}}$, ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}}$, ${\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u}}$, ${\displaystyle \frac{\partial g}{\partial v}}$ son continuas.

Si el jacobiano ${\displaystyle \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)}}$ es no nulo en $(u,v)$ entonces $\mathrm{\exists }$ una vecindad $V$ de $\overline{x},\overline{y}$ donde podemos definir «funciones inversas» $u=\phi (x,y),v=\psi (x,y)$ es decir tales que $$u=\phi (x,y),v=\psi (x,y)\$,y\$f(\phi (x,y),\psi (x,y))=x,g(\phi (x,y),\psi (x,y))=y$$

para $(x,y)ϵV$ las cuales tienen derivadas parciales continuas en $V$ que se calculan como

$${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial v}}}{{\displaystyle \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)}}},{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=-{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}}}{{\displaystyle \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)}}},{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}=-{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u}}}{{\displaystyle \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)}}},{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}}}{{\displaystyle \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)}}}\ast }}}}}}}}$$

Ahora bien con las funciones $u=\phi (x,y),v=\psi (x,y)$. Podemos formar el sistema
$$\begin{array}{c}G(x,y,u,v)=u-\phi (x,y)\\ H(x,y,u,v)=v-\psi (x,y)\end{array}$$
se tiene entonces que

$$\frac{\partial (G,H)}{\partial (x,y)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial G}{\partial x}& \frac{\partial G}{\partial y}\\ \frac{\partial H}{\partial x}& \frac{\partial H}{\partial y}\end{array}\right|$$

$$=\left|\begin{array}{cc}-\frac{\partial \phi }{\partial x}& -\frac{\partial \phi }{\partial y}\\ -\frac{\partial \psi }{\partial x}& -\frac{\partial \psi }{\partial y}\end{array}\right|$$
$$=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial y}\end{array}\right|$$
$$J{F}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}& {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}}\\ {\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}& {\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}}\end{array}\right]$$

El resultado anterior $\ast$ nos dice como calcular las derivadas parciales ${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}$, ${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}}$, ${\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}$, ${\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}}$ en una vecindad $V$ de $(x,y)$ al sustituir las fórmulas correspondientes en $J{F}^{-1}$, recordando que ${\displaystyle \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)}=det(JF)}$.

$$J{F}^{-1}=\left|\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial v}}}{det(JF)}}& -{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u}}}{det(JF)}}\\ -{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}}}{det(JF)}}& {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial U}}}{det(JF)}}\end{array}\right|={\displaystyle \frac{1}{det(JF)}\left|\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial v}}& -{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}}\\ -{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u}}& {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}}\end{array}\right|}$$

Multipliquemos $JF$ y $J{F}^{-1}$, se obtiene

$$(JF)(J{F}^{-1})=\left|\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}}& {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}}\\ {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u}}& {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial v}}\end{array}\right|{\displaystyle \frac{1}{det(JF)}\left[\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial v}}& -{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}}\\ -{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u}}& {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}}\end{array}\right]={\displaystyle \frac{1}{det(JF)}\left|\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}}& {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}}\\ {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u}}& {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial v}}\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial v}}& -{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}}\\ -{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u}}& {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}}\end{array}\right|}}$$

$$={\displaystyle \frac{1}{det(JF)}\left|\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial v}–{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u}}}}}& 0\\ 0& -{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}+{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial v}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}}}}}\end{array}\right|={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial v}–{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u}}}}}}{det(JF)}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]}}$$

Así concluimos que la matriz jacobiana de la función inversa de F es justamente la inversa de la matriz jacobiana de F. Es decir se tiene
$$J{F}^{-1}=(JF{)}^{-1}$$

Ejemplo. Considere las ecuaciones dadas por $x=u^2+v^3,y=u^2+uv$. Se tiene
que en $p=(1,2)$ $x=9,y=3$.\
Las derivadas parciales de las funciones
$x=f(u,v)=u^3+v^3$ , $y=g(u,v)=u^2+uv$ son
$${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}=3u^2,{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}=3v^2,{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u}=2u+v,{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial v}=u}}}}$$

La matriz jacobiana de f es
$$JF=\left|\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}}& {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}}\\ {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u}}& {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial v}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}3u^2& 3v^{2}2u+v& u\end{array}\right|$$
la cual en el punto $(1,2)$ es invertible pues
$$detJF(1,2)=\left|\begin{array}{ccc}3& 124& 1\end{array}\right|=-45\ne 0$$

Así podemos concluir que en una bola $B^{\prime }$ de $(9,3)$ se da la inversa $F^{-1}$ de $F$ o bien, que podemos despejar de $x=u^3+v^3,y=u^2+uv$ a $u,v$ como funciones de $x$ e $y$, la cual es de clase $C^1$ en $B^{\prime }$ y que su derivada es
$$J{F}^{-1}(x,y)=[JF(u,v){]}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{detJF}\left[\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial v}}& -{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}}\\ -{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u}}& {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}}\end{array}\right]={\displaystyle \frac{1}{3u^3-6u{v}^2-3v^3}\left|\begin{array}{ccc}u& -3v^2-(2u+v)& 3u^2\end{array}\right|}}$$
donde $x=u^3+v^3,y=u^2+uv$. Es decir

$${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}(u^3+v^3,u^2+uv)={\displaystyle \frac{u}{3u^3-6u{v}^2-3v^3}}}$$
$${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}(u^3+v^3,u^2+uv)={\displaystyle \frac{-3v^2}{3u^3-6u{v}^2-3v^3}}}$$
$${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}(u^3+v^3,u^2+uv)={\displaystyle \frac{-2u+v}{3u^3-6u{v}^2-3v^3}}}$$
$${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}(u^3+v^3,u^2+uv)={\displaystyle \frac{3u^2}{3u^3-6u{v}^2-3v^3}}}$$

Considere las ecuaciones
$$x=u+v+e^w$$
$$y=u+w+e^{2v}$$
$$x=v+w+e^{3u}$$
para $p=(u,v,w)=(0,0,0)$ se tiene que $q=(x,y,z)=(1,1,1)$ el
determinante de la matriz jacobiana de la función $F(u,v,w))(x,y,z)$
es:

$$detJF=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}& \frac{\partial x}{\partial w}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}& \frac{\partial y}{\partial w}\\ \frac{\partial z}{\partial u}& \frac{\partial z}{\partial v}& \frac{\partial z}{\partial w}\end{array}\right|={\left|\begin{array}{ccc}1& 1& e^w\\ 1& 2e^{2v}& 1\\ 3e^{3u}& 1& 1\end{array}\right|}_{(0,0,0)}=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 3& 1& 1\end{array}\right|$$

Si calculamos su determinante obtenemos

$$=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 3& 1& 1\end{array}\right|=1\times \left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right|-1\times \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 1\end{array}\right|+1\times \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 11\end{array}\right|=1\times (2-1)-1\times (1-3)+1\times (1-6)=1+2-5=-2\ne 0$$

$\therefore$ Podemos localmente invertir la función $F$, entorno al punto $q$, donde podemos definir funciones de clase

$c^1$ $u(x,y,z),v(x,y,z)$ y $w(x,y,z)$. Ahora bien como $$J{F}^{-1}(q)={[JF(p)]}^{-1}={\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 3& 1& 1\end{array}\right|}^{-1}\underset{\ast }{\underbrace{=}}\left|\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ -1& 1& 0\\ \frac{5}{2}& -1& -\frac{1}{2}\end{array}\right|$$

• Vamos a calcular la inversa usando la matriz de cofactores de la matriz $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 3& 1& 1\end{array}\right)$

$$\left(\begin{array}{ccc}(-1{)}^{1+1}\times \left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right|& (-1{)}^{1+2}\times \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 1\end{array}\right|& (-1{)}^{1+3}\times \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 11\end{array}\right|\\ (-1{)}^{2+1}\times \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right|& (1{)}^{2+2}\times \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 1\end{array}\right|& (-1{)}^{2+3}\times \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 1\end{array}\right|\\ (-1{)}^{3+1}\times \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right|& (-1{)}^{3+2}\times \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right|& (1{)}^{3+3}\times \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -5\\ 0& -2& 2\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$$

Transponiendo la ultima matriz tenemos
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& -2& 0\\ -5& 2& 1\end{array}\right)$$
$\therefore$

$${\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 3& 1& 1\end{array}\right|}^{-1}=\frac{1}{-2}\times \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& -2& 0\\ -5& 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ -1& 1& 0\\ \frac{5}{2}& -1& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$ $\therefore$ las parciales son:
$$\frac{\partial u}{\partial x}(q)=-\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial y}(q)=0\frac{\partial u}{\partial z}(q)=\frac{1}{2}$$
$$\frac{\partial v}{\partial x}(q)=-1\frac{\partial v}{\partial y}(q)=1\frac{\partial v}{\partial z}(q)=0$$
$$\frac{\partial w}{\partial x}(q)=\frac{5}{2}\frac{\partial w}{\partial y}(q)=-1\frac{\partial w}{\partial z}(q)=-\frac{1}{2}$$