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Cálculo Diferencial e Integral III: Polinomio de Taylor para campos escalares

Por Alejandro Antonio Estrada Franco

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Introducción

Una intuición que se obtiene de un primer curso de cálculo diferencial e integral es que las funciones que tienen muchas derivadas «se parecen mucho a polinomios», en el sentido de que podemos aproximarlas apropiadamente con este tipo de expresiones. Esta intuición nos las da el teorema del polinomio de Taylor. En muchas aplicaciones, es conveniente estudiar polinomios en vez de funciones en general, así que sería ideal tener una versión de este mismo resultado para cálculo de varias variables. En esta entrada recordaremos un poco del caso unidimensional y luego enunciaremos la teoría correspondiente para el polinomio de Taylor.

Recordatorio de polinomio de Taylor en $\mathbb{R}$

Recordemos qué es lo que dice el teorema del polinomio de Taylor para el caso unidimensional. Esto nos ayudará pues lo usaremos posteriormente para enunciar una versión para varias variables.

Teorema. Sea $f:S\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función y $a\in int(S)$ de tal manera que existen $f^{\prime}(a),\dots ,f^{(k)}(a)$. Sea $$a_{\ell}=\frac{f^{(\ell)}(a)}{\ell!}$$ con $0\leq \ell \leq k$ y definamos a partir de esto $$T_{k,a}(x)=a_{0}+a_{1}(x-a)+\dots +a_{k}(x-a)^k,$$

al que llamamos el polinomio de Taylor de $f$ de grado $k$ alrededor de $a$.

Entonces $$\lim_{x \to a}\frac{f(x)-T_{k,a}(x)}{(x-a)^k}=0.$$

La demostración de este teorema la puedes encontrar en la entrada El Polinomio de Taylor (Parte 1) del curso de Cálculo I. Es recomendable que consultes esta entrada para recordar todo lo referente a este tema en una variable real.

Pidiendo un poco más de regularidad, se puede estudiar el residuo $$R_{k,a}(x):=f(x)-T_{k,a}(x).$$

Por ejemplo, se puede demostrar el siguiente teorema.

Teorema. Sea $f:S\subseteq \mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Supongamos que $f^{\prime},\dots ,f^{(k+1)}$ están definidas sobre $[a,x]$. Entonces, se puede expresar el residuo del teorema de Taylor como

\begin{equation}
\label{eq:residuo}
R_{k,a}(x)=\frac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!}(x-a)^{k+1}.
\end{equation}

para algún $\xi\in[a,x]$.

Para la demostración de este teorema y otras expresiones del residuo (por ejemplo, una expresión en términos de integrales), puedes visitar el curso de Cálculo II, en particular la entrada Series de Taylor y de Maclaurin.

Pensemos de momento que $f$ tiene derivadas parciales de todos los órdenes (es decir, que es $C^\infty$). En este caso, $f$ tiene polinomios de Taylor de todos los grados. De entrada, no tendría por qué suceder que $\lim_{k\to \infty} T_{k,a}(x)=f(x)$, y de hecho hay contraejemplos para ello. Pero si además tenemos que se tiene $\lim_{k \to \infty}R_{k,a}(x)=0$, entonces la igualdad anterior sí se cumple. En este caso, verdaderamente $f$ se puede expresar como un polinomio infinito (una serie de potencias) alrededor de $a$ de la siguiente manera:

\begin{equation}\label{eq:taylor-inf}f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^{i}.\end{equation}

Ejemplo. Calculemos en $0$ el polinomio de Taylor de $f(x)=e^x$. Para cada entero positivo $k$ se tiene:

$$\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}=\frac{e^0}{k!}x^{k}=\frac{x^{k}}{k!}.$$

De aquí, por la forma que toma el residuo, existe $\xi\in [0,x]$ para el cual

$$R_{k,0}(x)=\frac{e^\xi}{(k+1)!}x^{k+1}.$$

aquí $e^\xi$ está acotado y el cociente $\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}$ se va a cero conforme $k\to \infty$. De este modo, tenemos la igualdad

$$e^x=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\dots.$$

$\triangle$

Preliminares para polinomio de Taylor para campos escalares

La manera en la cual generalizaremos el teorema del polinomio de Taylor será a través de evaluar nuestro campo escalar sobre un segmento, muy parecido a como generalizamos el teorema del valor medio. Pongamos la situación en contexto.

Tomemos un abierto $S\subseteq \mathbb{R}^n$ y un campo escalar $f:S\to \mathbb{R}$. Tomemos vectores
\begin{align*}
\bar{a}=(a_1,\ldots,a_n)\\
\bar{v}=(v_1,\ldots,v_n),
\end{align*}

y $t$ en el intervalo $[0,1]$. Supondremos además que para todo dicho $t$ se cumple $\bar{a}+t\bar{v}\in S$.

Podemos recorrer el segmento de $\bar{a}$ a $\bar{a}+\bar{v}$ mediante la trayectoria $\gamma : [0,1] \to \mathbb{R}^{n}$ dada por $\gamma (t)=\bar{a}+t\bar{v}$. Si componemos a esta trayectoria con la función $f$, obtenemos una función $G: [0,1] \to \mathbb{R}$ dada por $$G(t)=(f\circ \gamma )(t)=f(\bar{a}+t\bar{v}).$$

Por la hipótesis de diferenciabilidad de $f$, es una función derivable de una variable real. Por la regla de la cadena su derivada está dada por la siguiente expresión:

\begin{align*}
G^{\prime}(t)&=v_{1}\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(\bar{a}+t\bar{v})+\dots +v_n\frac{\partial f}{\partial x_n}(\bar{a}+t\bar{v})
\end{align*}

Vamos a introducir una notación muy usada y útil para el desarrollo que estamos haciendo. Definiremos un operador con la expresión anterior simplemente como

\[ G^{\prime}(t)=(\bar{v}\cdot \triangledown )f(\bar{a}+t\bar{v}).\]

Esta expresión no se sigue de manera tan formal de cosas que hemos hecho antes, pero observa que tiene sentido. En la expresión $\bar{v}\cdot \triangledown$ estamos haciendo algo así como un «producto punto de operadores». En el fondo, este operador manda a cada función diferenciable $f$ a su derivada direccional en la dirección de $\bar{v}$.

Para poder hablar de Taylor, necesitamos derivar iteradamente. Podemos entonces tomar ahora $G’$ y derivarla nuevamente, de donde obtendríamos

\begin{align*}
G^{\prime \prime} (t) &= (\bar{v}\cdot \triangledown) G'(\bar{a}+t\bar{v})\\
&=(\bar{v}\cdot \triangledown)\left((\bar{v}\cdot \triangledown)f(\bar{a}+t\bar{v})\right)\\
&=\left((\bar{v}\cdot \triangledown)(\bar{v}\cdot \triangledown)\right) f(\bar{a}+t\bar{v}).
\end{align*}

Es importante que medites en por qué se da la redistribución de paréntesis que hicimos en la última igualdad. Simplificaremos la expresión $(\bar{v}\cdot \triangledown)(\bar{v}\cdot \triangledown )$ como $(\bar{v}\cdot \triangledown)^2$, y de manera similar definimos $(\bar{v}\cdot \triangledown)^k$ como componer el operador $k$ veces. Continuando como arriba, bajo las hipótesis adecuadas de diferenciabilidad llegamos al siguiente resultado.

Proposición. Sea $k$ un entero positivo y $f:S\subseteq \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ con $S$ abierto y derivadas parciales continuas de orden $1,2,\ldots,k$. Sea $\bar{a}\in S$, y $\bar{v}$ un vector tal que $\bar{a}+t\bar{v}\in S$ para todo $t\in [0,1]$. Entonces:

\begin{equation}\label{eq:iteradas}\left( \frac{d}{dt} \right)^{k}f(\bar{a}+t\bar{v})=(\bar{v}\cdot \triangledown )^{k}f(\bar{a}+t\bar{v}).\end{equation}

Demostración. Queda como tarea moral. Se sugiere hacerlo por inducción.

$\square$

Algo sorprendente y curioso que sucede con las expresiones del estilo $(\bar{v}\cdot \triangle)^k$ es que «se vale el binomio de Newton» para ellas, o en general, cualquier fórmula para elevar a la $k$-ésima potencia. Esto se ve muy claro en el caso de $f:S\subset \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ y derivadas de orden $2$. Si tenemos $\bar{v}=(v_1,v_2)$, entonces $\bar{v}\cdot \triangledown=v_1\frac{\partial}{\partial x} + v_2\frac{\partial}{\partial y}$. Se puede demostrar, por ejemplo, que si las $k$-ésimas parciales son continuas entonces

\[ \left( v_1\frac{\partial}{\partial x}+v_2\frac{\partial}{\partial y}\right)^{k}=\sum_{i
=0}^{k}\binom{k}{i}v_1^iv_2^{k-i}\frac{\partial ^{i}}{\partial x^{i}}\frac{\partial^{k-i}}{\partial y^{k-i}}.\]

Un caso particular sería el de $n=2$ y $k=2$, en el que se obtiene que:

\begin{equation} \label{eq:binomio} \left( v_1\frac{\partial}{\partial x}+v_2\frac{\partial}{\partial y} \right)^{2}=v_1^{2}\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}+2{v_1}{v_2}\frac{\partial ^{2}}{\partial x\partial y}+v_2^{2}\frac{\partial ^{2}}{\partial y^{2}}.\end{equation}

En la práctica esto nos permitirá encontrar las expresiones que necesitamos para el polinomio de Taylor para campos escalares. Observa que estas expresiones son también las que nos confirman que la expresión que obtendremos será un polinomio en $v_1,v_2$ (en general, en las entradas de $\bar{v}$), pues tras aplicar el operador en $f$ y evaluar en un punto, finalmente \eqref{eq:binomio} quedará escrito para ciertas constantes $A,B,C$ como $$Av_1^2+2Bv_1v_2+Cv_2^2,$$ lo cual en efecto es un polinomio (en este caso de grado $2$ y dos variables).

Polinomio de Taylor para campos escalares

Con la notación que hemos introducido, ahora sí podemos enunciar apropiadamente el polinomio de Taylor. Pensemos en que $f$ es $k+1$ veces diferenciable y que todas esas derivadas son continuas. En la sección anterior vimos que $G=f\circ \gamma$ también sería $k+1$ veces diferenciable y dimos fórmulas para sus derivadas en términos de la notación $\bar{v}\cdot \triangledown$.

Aplicando el teorema de Taylor con la versión de residuo dada en la ecuación \eqref{eq:residuo}, para la función $G$, en los puntos $a=0$, $x=1$, tenemos que existe $\xi\in[0,1]$ tal que se satisface lo siguiente:

\[ G(1)=G(0)+G^{\prime}(0)+\frac{G^{(2)}(0)}{2!}+\dots +\frac{G^{(k)}(0)}{k!}+\frac{G^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!}.\]

Al usar las fórmulas dadas por la ecuación \eqref{eq:iteradas}, obtenemos que

\begin{align*}
G^{(s)}(0)&=(\bar{v}\cdot \triangledown )^{s}f(\bar{a}) & \text{para $s\leq k$}\\
G^{(k+1)}(\xi)&=(\bar{v}\cdot \triangledown )^{k+1}f(\bar{a}+\xi \bar{v}).
\end{align*}

Así, reescribiendo todo en términos de $f$ obtenemos que:

\begin{equation}\label{eq:prepoly}f(\bar{a}+\bar{v})=f(\bar{a})+\frac{(\bar{v}\cdot \triangledown )f(\bar{a})}{1!}+\dots +\frac{(\bar{v}\cdot \triangledown)^{k}f(\bar{a})}{k!}+\frac{(\bar{v}\cdot \triangledown )^{k+1}f(\bar{a}+\tau \bar{v})}{(k+1)!}.\end{equation}

Si de esta expresión quitamos el último término (el correspondiente al residuo) y hacemos la sustitución $\bar{w}=\bar{a}+\bar{v}$, obtenemos la siguiente expresión:

\begin{equation} \label{eq:poltaylor}T_{k,\bar{a}}(\bar{w}):=f(\bar{a})+\frac{((\bar{w}-\bar{a})\cdot \triangledown )f(\bar{a})}{1!}+\dots +\frac{((\bar{w}-\bar{a})\cdot \triangledown)^{k}f(\bar{a})}{k!}\end{equation}

le llamamos el polinomio de Taylor de $f$ de grado $k$ alrededor de $\bar{a}$ y converge a $f(\bar{a})$ conforme $\bar{w}\to \bar{a}$.

Ejemplo de polinomio de Taylor para campos escalares

Ejemplo. Determinemos el polinomio de Taylor de grado 3 de la expresión $f(x,y)=e^{5x+3y}$ alrededor del punto $(0,0)$. Para ello, usaremos la expresión de la fórmula \eqref{eq:prepoly} quitando el residuo y fórmulas tipo «binomio de Newton» como la de la ecuación \eqref{eq:binomio}.

Comencemos con el término de grado $1$. Está dado por el operador

$$\left(v_1\frac{\partial}{\partial x}+v_2\frac{\partial}{\partial y}\right)$$

que aplicado a nuestra función es

$$((v_1,v_2)\cdot \triangledown)f(x,y)=5v_1e^{5x+3y}+3v_2e^{5x+3y}.$$

Necesitaremos su evaluación en $(x,y)=(0,0)$, que es $5v_1+3v_2$.

Para pasar al término de segundo grado, necesitamos

\[\left( v_1\frac{\partial}{\partial x}+v_2\frac{\partial}{\partial y} \right)^{2}=v_1^{2}\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}+2{v_1}{v_2}\frac{\partial ^{2}}{\partial x\partial y}+v_2^{2}\frac{\partial ^{2}}{\partial y^{2}}.\]

Al aplicar este operador en nuestra $f$, se obtiene:

$$((v_1,v_2)\cdot \triangledown)^2f(x,y)=25v_1^2e^{5x+3y}+30{v_1}{v_2}e^{5x+3y}+9v_2^2 e^{5x+3y}$$

Lo necesitaremos evaluado en $(0,0)$, que es $25v_1^2+30v_1v_2+9v_2^2$.

Finalmente, también requeriremos del término de orden $3$, para el cual es necesario calcular el siguiente operador

\[ \left( v_1\frac{\partial}{\partial x}+v_2\frac{\partial}{\partial y} \right)^{3}=v_1^{3} \frac{\partial}{\partial x^3}+3v_1^{2}{v_2}\frac{\partial}{\partial x^{2}\partial y}+3v_1v_2^{2}\frac{\partial}{\partial x \partial y^2}+v_2^3\frac{\partial}{\partial y^3},\]

y aplicarlo a nuestra $f$ para obtener

$$((v_1,v_2)\cdot \triangledown)^3f(x,y)=125v_1^3e^{5x+3y}+225v_1^2v_2e^{5x+3y}+135v_1v_2^2 e^{5x+3y}+27v_2^3e^{5x+3y}.$$

Una vez más, requerimos la evaluación en $(0,0)$, la cual es $125v_1^3+225v_1^2v_2+135v_1v_2^2+27v_2^3$.

Juntando todo esto, obtenemos que

\begin{align*}
f(v_1,v_2)&=f(0,0)+\frac{((x,y)\cdot \triangledown )f(0,0)}{1!}+\frac{((x,y)\cdot \triangledown )^{2}f(0,0)}{2!}+\frac{((x,y)\cdot \triangledown)^{3}f((0,0))}{3!}\\
&=1+5v_1+3v_2+\frac{25v_1^2+30v_1v_2+9v_2^2}{2}+\frac{125v_1^3+225v_1^2v_2+135v_1v_2^2+27v_2^3}{6}.
\end{align*}

$\square$

Observa que, en efecto, obtenemos un polinomio en dos variables y de grado tres.

Los casos especiales para grado $1$ y grado $2$

Las presentaciones más clásicas del polinomio de Taylor para campos escalares de varias variables son las versiones de primero y segundo grado. Para el polinomio de primer grado, tenemos la siguiente expresión:

$$T_{1,\bar{a}}(\bar{a}+\bar{v})=f(\bar{a})+\sum_{i=1}^{n}(v_i)\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\bar{a}).$$

En el caso de la presentación clásica para la fórmula de segundo orden tenemos

$$\frac{(\bar{v}\cdot \triangledown)^{2}f}{2!}(\bar{a})=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nv_{i}v_{j}\frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}(\bar{a})$$

Donde

$$T_{2,\bar{a}}(\bar{a}+\bar{v})=f(\bar{a})+\sum_{i=1}^{n}v_{i}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\bar{a})+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{n}v_{i}v_{j}\frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}(\bar{a}).$$

Esta suma tendrá utilidad especial hacia el final del curso, cuando hablemos de optimización. La expresión también puede ponerse en términos de otro objeto matemático que se llama la matriz Hessiana, la cual definiremos más adelante una vez que hayamos hecho un repaso de álgebra lineal, matrices y formas cuadráticas.

Mas adelante…

Con lo que hemos trabajado hasta ahora hemos desarrollado un muy buen entendimiento de las curvas y de los campos escalares, que respectivamente son funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^m$ y $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$. Sin embargo, nos gustaría ahora poder hablar con mucha mayor generalidad y entender a las funciones del estilo $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$. Ya entendimos un poco de cómo son en términos de continuidad, cuando hablamos de la topología de $\mathbb{R}^n$. Sin embargo, para poder hablar de su diferenciabilidad y de otros resultados teóricos será necesario hacer un repaso de algunos conceptos adicionales de álgebra lineal. Por esta razón, en la siguiente unidad hablaremos de temas como transformaciones lineales, matrices, sistemas de ecuaciones, formas lineales y bilineales.

Tarea moral

  1. Encuentra el polinomio de Taylor de primer grado para las siguientes funciones:
    • $f(x,y)=e^(x+y)$
    • $f(x,y)=e^{sen(x+y)}$
    • $f(x,y)=x^2y^2+x+y$
  2. Calcula el polinomio de Taylor de segundo grado para los siguientes campos escalares en el punto dado:
    • $f(x,y)=x^2+xy$ en el punto $(1,1)$.
    • $f(x,y,z)=xsen(yz)$ alrededor del punto $(\pi ,\pi ,\pi)$.
  3. Demuestra por inducción la fórmula \[\left( \frac{d}{dt} \right)^{k}f(\bar{a}+t\bar{v})=(\bar{v}\cdot \triangledown )^{k}f(\bar{a}+t\bar{v}).\]
  4. Demuestra por inducción \[ \left( x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}\right)^{k}=\sum_{i=1}^{k}\binom{k}{i}x^{i}y^{k-i}\frac{\partial ^{i}}{\partial x^{i}}\frac{\partial^{k-i}}{\partial y^{k-i}}.\]
  5. En esta entrada sólo discutimos con detalle lo que pasa con el polinomio de Taylor «hasta cierto grado $k$». Sin embargo, no dimos una versión que generalice el polinomio de Taylor para cuando usamos todos los términos posibles (como en la ecuación \eqref{eq:taylor-inf}). Observa que en el recordatorio de una variable real sí pusimos el resultado para la serie de Taylor. Enuncia y demuestra una versión para campos escalares.

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