Introducción
En la entrada anterior vimos como calcular la longitud de arco de una curva. Otra aplicación de las integrales es calcular el volumen de sólidos de revolución, por lo que en esta entrada se aprenderá a calcular el volumen de un sólido
Superficies de revolución
Antes de comenzar a estudiar el método de los discos, definiremos lo que es una superficie de revolución.
Una superficie de revolución es una figura sólida que se obtiene al girar una curva plana alrededor de un eje que se encuentra en el mismo plano, a este eje se le conoce como eje de revolución. Veamos unos ejemplos.
En la figura
En la siguiente figura
A estas figuras «creadas» se les conoce como superficies de revolución, a continuación veremos como calcular su volumen por el método de los discos.
Método de los discos
Supongamos que tenemos una función
Al hacer girar esta función alrededor del eje
Para calcular el volumen de esta superficie de revolución la «rebanamos»
Volumen de la superficie de revolución
Recordemos que el volumen de un cilindro está dado como
Si tomamos el límite cuando
Por lo que definimos el volumen de una superficie de revolución alrededor del eje
Análogamente, se puede deducir lo mismo para una superficie de revolución generado por una curva plana alrededor del eje
Observación: Para el método de los discos el corte siempre debe ser perpendicular al eje de rotación.
Método de las arandelas
Si la región que se hace girar para generar el sólido de revolución no se acerca al eje de rotación, ni está en él, tendremos que al girarlo sobre el eje se obtendrá un agujero en su centro, es decir, un sólido de revolución con un agujero alrededor del eje de rotación. Si utilizamos el mismo método visto anteriormente para calcular su volumen, en vez de discos, tendremos que las secciones transversales perpendiculares al eje de rotación son arandelas, el área de la arandela está dada como:
Donde

Por consecuencia, el volumen lo podemos calcular como:
Veamos un ejemplo.
Ejemplos
- Calcula el volumen del sólido de revolución formado al hacer girar la región acotada por la grafica
, alrededor del eje y acotadas por las rectas y .
En este caso obtenemos la siguiente figura

Utilizamos la relación
- Determinar el volumen del sólido de revolución generado alrededor de
por la función y las rectas y (figura ).

Al girar la función
Observamos que:
Por ende, utilizamos la relación
- Determina el volumen del sólido de revolución acotada por las curvas
y la recta alrededor del eje .
Para saber en qué intervalo vamos a integrar, igualamos las funciones:
Por lo que integramos desde
Del eje de rotación, sea el radio menor

Para calcular el volumen de este sólido, utilizamos la relación
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
- Determine el volumen del solido resultante al hacer girar la región comprendida entre el eje
y la curva , donde , alrededor del eje y. - Encuentre el volumen del solido generado al giran la región acotada por las graficas
, en torno al eje x. - Encuentre el volumen del solido generado al giran la región acotada por las graficas
, , y en torno al eje y. - La circunferencia
se hace girar alrededor del eje y, calcular su volumen. - Un fabricante diseña un objeto en forma de esfera con un radio de 5 pulgadas y con un orificio cilíndrico en su interior. El hueco tiene un radio de 3 pulgadas ¿Cuál es el volumen del objeto resultante?
Más adelante…
En esta entrada deducimos las relaciones para calcular el volumen de un sólido generado por rotación alrededor de un eje por el método del disco y también deducimos la relación para calcular el volumen de un sólido generado por rotación entre dos curvas dadas por el método del anillo, en la siguiente entrada veremos otro método para calcular el volumen de un sólido generado llamado el método de las capas cilíndricas.
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