Introducción

Para este momento, se definió la integral definida, la integral indefinida y rememoramos de forma práctica las reglas de derivación.

Adicionalmente, en algunas de las entradas anteriores se ha mencionado la relación entre la diferencial y la integral, y esta relación se hace explícita en los teoremas fundamentales del cálculo.

Para poder ver y demostrar íntegramente estos teoremas que sustentan esta relación, es importante ilustrar de forma intuitiva la motivación, así como algunos posibles uso de ellos.

Intuición a los teoremas

Los teoremas fundamentales del cálculo mencionan la relación entre la integración y la diferenciación y, hasta cierto nivel, se puede observar que la integración es la función inversa una de la otra.

Entonces, para empezar a mencionar y observar la relación entre estos procesos podemos enumerar ejemplos de cada uno de ellos y comparar sus resultados.

Si definimos a $D$ como la función diferencial que se aplica a una función $f$ y que, al momento de aplicar la diferenciación a $f$ genera una nueva función $D(f)$, por ejemplo,

\begin{align*}
D(x^4)= 4x^3; \\
D(sen(x)) = cos(x).
\end{align*}

Por otro lado, si se define la operación $\int \limits_a$ como la función integral.

En otras palabras, el símbolo $\int \limits_a$ es la representación del operador integral, así como los símbolos $+, \ – \ , \times , \div $ son los correspondientes a la operación suma, resta, multiplicación y división.

Entonces, se define $G= \int \limits_a f$ donde $G$ es la función con regla de correspondencia $G(x) = \int \limits_a^x f$.

De esta forma, el dominio de $G$ queda definido por el conjunto de todas las $x$ para las cuales la integral queda definida, en otras palabras, el dominio de $G$ es el conjunto de todas las $x$ tales que $f$ es integrable sobre $[a,x]$ teniendo que $a < x$ o sobre $[x,a]$ si $x < a$.

Podemos ver los siguientes ejemplos sobre la aplicación de la integral en funciones:

\begin{align*}
\int \limits_0^x c \ dt =cx, \\
\int \limits_0^x t \ dt = \frac{x^2}{2}, \\
\int \limits_0^x 4t^3 \ dt = x^4 .
\end{align*}

Es decir, utilizando únicamente el operador sin límites de integración o siendo una integral indefinida:

\begin{align*}
\int \limits_0 c \ dt =c \ I + C, \\
\int \limits_0 t \ dt = \frac{I^2}{2} + C, \\
\int \limits_0 4t^3 \ dt = I^4 + C .
\end{align*}

No olvidemos que en integrales indefinidas, se tiene la constante de integración.

En los ejemplos presentado podemos observar que existe uno con su contraparte en las funciones, el primero y el tercero correspondiente, esto da pie en ver la relación entre estos operadores.

\begin{align*}
D(x^4)= 4x^3; \\
\int \limits_0^x 4t^3 \ dt = x^4 .
\end{align*}

En este ejemplo se ve claramente que, al momento de integrar el resultado del valor de la integral, recuperamos la función original, previo a realizar la derivación.

Pero son funciones y procesos independientes, así que también aplica la observación de forma inversa.

Esto es que, al momento de derivar el resultado del proceso de integración, de igual forma se obtiene la función original.

Existen dos teoremas que demuestran esta relación, los cuales se desarrollarán en las siguientes entradas.

La derivada de la integral

Recordemos la notación de la integral indefinida que vimos al inicio de este capítulo. Se definió de la siguiente manera, utilizando el símbolo integral.

$$ \phi (x) =\int \limits_{\alpha}^{x} f(u) ~ du.$$

Lo que se verá en el primer teorema fundamental es que, si tenemos una función originada por una integral indefinida $ \phi (x) $ de una función continua $f(x)$, siempre existe la derivada $ \phi’ (x) $ y, además.

$$ \phi’ (x) = f(x).$$

Si se sustituyen los símbolos por la notación completa de la derivada y de la integral, se tiene lo siguiente.

$$\frac{d}{dx} \int \limits_a^x f(u)~du = f(x).$$

Aquí se puede observar que las operaciones son inversas, siempre y cuando se estén cumpliendo las hipótesis del teorema. Esto se puede demostrar utilizando el teorema del valor medio para la integral, ya que es una consecuencia de este teorema.

Demostración:

Recordando el Teorema del Valor Medio para la Integral, tenemos la siguiente afirmación.

Para cualesquiera valores de $x$ y $x + h$, siendo dominio de la función $f$, se obtiene lo siguiente.

$$\int \limits_x^{x+h} f(u) \ du = \phi(x+h) \ – \ \phi(x) = (x +h \ – \ x) \ f(\xi) = h \ f(\xi).$$

Donde $\xi$ es un punto dentro del intervalo.

Ahora, si tomamos la diferencia de la integral indefinida valuada en los puntos extremos del intervalo y la dividimos por $h$, se ve de la siguiente manera.

$$\frac{\phi(x+h) \ – \ \phi(x)}{h} = \ f(\xi).$$

Y ahora, tomemos el límite haciendo que $h$ se vaya a $0$.

$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\phi(x+h) \ – \ \phi(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} f(\xi).$$

Si somos observadores, el lado izquierdo es la definición de la derivada, ya que, por hipótesis, la función $f$ es continua.

Ahora, uno pensaría que el límite en lado derecho no tiene sentido, ya que $\xi$ es un punto y $f$ solo está valuada en $\xi$ y no depende de $h$. Pero recordemos que la forma en identificar este punto $\xi$ es porque está dentro del intervalo $[x, x+h]$, de forma tal que, al considerar un limite haciendo que $h$ se vaya a $0$, el intervalo se reduce y colapsa en el punto $x$. Entonces el límite sí tiene sentido.

Y como ya vimos que el lado izquierdo es la definición de derivada y el derecho se colapsa el intervalo en $x$, lo anterior queda de la siguiente manera.

$$\phi'(x) = f(x).$$

$\square$

La función primitiva

El teorema muestra que la integral indefinida $ \phi (x) $, que es la integral de una función $f(u)$, cuyo límite superior depende de $x$ es una solución para el siguiente problema: Dada $f(x)$, determina una función $F(x)$ tal que.

$$F'(x) = f(x).$$

Para resolver este problema es necesario realizar el proceso contrario de la derivación. Con ello, se define como función primitiva de $f(x)$ o solamente primitiva de $f(x)$ a cualquier función $F(x)$ tal que $F'(x) = f(x)$.

Entonces, ocupamos la función $F(x)$ como la función primitiva de $f(x)$ y el proceso para determinar $f(x)$ es derivando la primitiva.

De forma que, tenemos la siguiente afirmación:

Toda integral indefinida $\phi(x)$ de la función $f(x)$ es una primitiva de $f(x)$.

Algo que hay que ponerle atención en la afirmación anterior es que dice «una«. Entonces se puede pensar que hay más de una función primitiva que al momento de derivar se encuentra la misma función para las diversas que hay.

Y aunque esto pueda parecer muy complicado, recordemos que la derivada de una constante se hace cero. Entonces, al momento de integrar cualquier función, se le puede adicionar la constante de integración de forma que ajuste con la información extra que nos dé el problema (esta idea se profundizará más adelante). De forma que, cada vez que se deriva una función de la misma forma excepto por una constante, se obtiene la misma función. Por poner un ejemplo:

$A_1 = x^2 + 3x + 4.$

$A_2 = x^2 + 3x \ – \ 5.$

Si nos damos cuenta, las funciones son diferentes salvo por la constante. Entonces, al momento de derivar se tiene lo siguiente.

$A’_1 = 2x +3.$

$A’_2 = 2x +3.$

Se obtiene la misma función. Entonces, si tomamos $f(x) = 2x+3$ y queremos encontrar su primitiva, esta sería:

$\phi(x) = x^2 + 3x + C.$

Pero teníamos 2 funciones, entonces.

$\phi_1(x) = x^2 + 3x + C_1.$

$\phi_2(x) = x^2 + 3x + C_2$

Por lo tanto, tenemos la siguiente afirmación.

La diferencia de dos funciones primitivas $F_1(x)$ y $F_2(x)$ de la misma función $f(x)$ siempre es una constante.

$$F_1(x) \ – \ F_2(x) = C_1 \ – \ C_2 = C.$$

Por lo tanto, si se tiene la función primitiva de una función $f(x)$, se pueden encontrar todas las demás a partir de la siguiente forma.

$$F(x) \ + \ C.$$

Por esto se dice que no hay una única forma función primitiva, con esta forma, se tienen una infinidad.

Más adelante…

Acabamos de ilustrar de forma sencilla, con ejemplos prácticos que se han visto, lo que implican los teoremas fundamentales.

En las entradas siguientes mostraremos a detalle cada uno de ellos y las aplicaciones que estos tienen.

Vale la pena mencionar que, por lo mismo que son fundamentales, su remembranza en diferentes asignaturas y áreas es basta por la importancia de los teoremas, así que escucharas de ellos un buen rato en tu carrera académica.

Tarea moral

1. P1
2. P2
3. P3
4. P4
5. P5

Entradas relacionadas

• Página del curso: Cálculo Diferencial e Integral II
• Entrada anterior: Recordatorio de derivadas
• Entrada siguiente: El primer teorema fundamental del cálculo