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Cálculo Diferencial e Integral I: Derivadas de las funciones trigonométricas

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

En esta entrada estudiaremos la derivada de las funciones trigonométricas, para lo cual haremos uso de las propiedades revisadas al momento de definirlas, así como de las propiedades vistas al momento de estudiar sus límites. Por esta razón se recomienda repasar dichas entradas en caso de no tenerlas presentes.

Funciones trigonométricas

Daremos inicio probando que las funciones trigonométricas $sen(x)$, $cos(x)$ y $tan(x)$ son derivables en todo su dominio.

Teorema. La función $f(x) = sen(x)$ es derivable en $\RR$, más aún $f'(x) =cos(x)$.

Demostración.

En la entrada de funciones trigonométricas se revisó la siguiente identidad:

$$sen(\alpha+\beta) = cos(\alpha)sen(\beta) + cos(\beta)sen(\alpha).$$

De la cual haremos uso para demostrar el límite:

\begin{align*} 
f'(x) & = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \\
& = \lim_{h \to 0} \frac{sen(x+h)-sen(x)}{h} \\ \\ 
& = \lim_{ h \to 0} \frac{cos(x)sen(h)+cos(h)sen(x)-sen(x)}{h} \\ \\
& = \lim_{h \to 0} \frac{cos(x)sen(h)+sen(x) (cos(h)-1)}{h} \\ \\
& = \lim_{h \to 0} \left( \frac{sen(h)}{h}cos(x) + \frac{cos(h)-1}{h}sen(x) \right) \\ \\
& = \lim_{h \to 0} \frac{sen(h)}{h}cos(x) + \lim_{h \to 0} \frac{cos(h)-1}{h}sen(x) \\ \\
& = cos(x) \lim_{h \to 0} \frac{sen(h)}{h} + sen(x) \lim_{h \to 0} \frac{cos(h)-1}{h} \\ \\
& = cos(x) \cdot 1 + sen(x) \cdot 0 \\ \\
& = cos(x).
\end{align*}

$$\therefore f'(x)=cos(x).$$

$\square$

Teorema. La función $f(x) = cos(x)$ es derivable en $\RR$, más aún $f'(x) =-sen(x).$

Demostración.

Haremos uso de la siguiente identidad (revisada anteriormente):

$$cos(\alpha+\beta) = cos(\alpha)cos(\beta) – sen(\alpha)sen(\beta).$$

Así, tenemos lo siguiente

\begin{align*} 
f'(x) & = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \\
& = \lim_{h \to 0} \frac{cos(x+h)-cos(x)}{h} \\ \\ 
& = \lim_{ h \to 0} \frac{cos(x)cos(h)-sen(x)sen(h)-cos(x)}{h} \\ \\
& = \lim_{h \to 0} \frac{-cos(x)(1-cos(h))-sen(x) sen(h)}{h} \\ \\
& = \lim_{h \to 0} \left( -\frac{1-cos(h)}{h}cos(x) – \frac{sen(h)}{h}sen(x) \right) \\ \\
& = -\lim_{h \to 0} \frac{1-cos(h)}{h}cos(x) – \lim_{h \to 0} \frac{sen(h)}{h}sen(x) \\ \\
& = -cos(x) \lim_{h \to 0} \frac{1-cos(h)}{h} – sen(x) \lim_{h \to 0} \frac{sen(h)}{h} \\ \\
& = -cos(x) \cdot 0 – sen(x) \cdot 1 \\ \\
& = -sen(x).
\end{align*}

$$\therefore f'(x)=-sen(x).$$

$\square$

Teorema. La función $f(x) = tan(x)$ es derivable en todo su dominio, más aún $f'(x) = sec^2(x).$

Demostración.

\begin{align*}
f'(x) & = (tan(x))’ \\ \\
& = \left( \frac{sen(x)}{cos(x)} \right)’ \\ \\
& = \frac{(sen(x))’cos(x)-sen(x) (cos(x))’}{cos^2(x)} \\ \\
& = \frac{cos^2(x)+sen^2(x)}{cos^2(x)} \\ \\
& = \frac{1}{cos^2(x)} \\ \\
& = sec^2(x).
\end{align*}

$$\therefore f'(x) = sec^2(x).$$

$\square$

Como corolario, se tiene que estas tres funciones revisadas también son continuas.

Funciones trigonométricas inversas

Revisaremos qué sucede para el caso de las funciones inversas de $sen(x)$ y $tan(x)$.

Teorema. Sea $f^{-1}(x) = arcsen(x)$, entonces $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ para $x \in (-1,1).$

Demostración

Sea $b \in (-1,1)$. Existe un único real $a \in (- \pi/2, \pi/2)$ tal que $f(a) = sen(a) = b$, es decir, $a = arcsen(b)$. Por el teorema de la derivada de la función inversa, tenemos que

\begin{align*}
(f^{-1})'(b) & = (arcsen(b))’ \\
& = \frac{1}{f'(a)} \\
& = \frac{1}{(sen(a)’)} \\ 
& = \frac{1}{cos(a)}.
\end{align*}

Como $sen^2(a)+cos^2(a) = 1$ y $cos(a)>0$ pues $a \in (- \pi/2, \pi/2)$, entonces se sigue que $cos(a)=\sqrt{1-sen^2(a)}$. Es decir $$(arcsen(x))’=\frac{1}{\sqrt{1-b^2}}.$$

$\square$

Teorema. Sea $f^{-1}(x)=arctan(x)$, entonces $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{1+x^2}$ para $x \in (-\pi/2, \pi/2).$

Demostración.

Sea $b \in (-\pi/2,\pi/2)$. Existe un único real $a \in (-\pi/2, \pi/2)$ tal que $f(a) = tan(a) = b$. Nuevamente, por el teorema de la derivada de la función inversa, tenemos que

\begin{align*}
(f^{-1})'(b) & = (arctan(b))’ \\
& = \frac{1}{f'(a)} \\
& = \frac{1}{(tan(a))’} \\ 
& = \frac{1}{sec^2(a)}.
\end{align*}

Como $sec^2(a)-tan^2(a) = 1$, se tiene que $sec^2(a) = 1+tan^2(a)$. Así, de la expresión anterior se sigue que $$(arctan(b))’ = \frac{1}{1+b^2}.$$

$\square$

Ejemplos

Ejemplo 1. Encuentra la derivada de la función $f(x) = sen(e^x)cos(x)$.

\begin{align*}
f'(x) & = (sen(e^x)cos(x))’ \\
& = sen(e^x)(cos(x))’+(sen(e^x))’cos(x) \\
& = -sen(e^x)sen(x)+cos(e^x)(e^x)’cos(x) \\
& = -sen(e^x)sen(x)+e^xcos(e^x)cos(x).
\end{align*}

$$\therefore f'(x) =-sen(e^x)sen(x)+e^xcos(e^x)cos(x).$$

Ejemplo 2. Encuentra la derivada de $f(x) = arcsen(x^2)$.

\begin{align*}
f'(x) & = (arcsen(x^2))’ \\ \\
& = \frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2} } \cdot (x^2)’ \\ \\
& = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}.
\end{align*}

$$\therefore f'(x) = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}.$$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Prueba las siguientes derivadas en sus respectivos dominios:
    • $cot'(x) = -csc^2(x).$
    • $sec'(x) = tan(x) sec(x).$
    • $csc'(x) = -cot(x)csc(x).$
  • Prueba que
    • $(arccos(x))’ = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, con $x \in (-1,1).$
    • $(arccot(x))’ = -\frac{1}{1+x^2}$, con $x \in (-\infty, \infty).$
  • Encuentra la derivada de las siguientes funciones
    • $f(x) = \frac{1}{1+sen(x)}.$$f(x) = cos(2x) tan(2x).$
    • $f(x)=arcsen(\frac{x}{4}).$
    • $f(x)=arccos(\sqrt{1-x^2}).$

Más adelante…

En la siguiente entrada estudiaremos dos nuevos conceptos: las derivadas implícitas y las derivadas de orden superior. Éstas nos permitirán extender los casos en los cuales podemos aplicar la derivada.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»