Introducción

Una vez que se realiza un experimento y se conoce un resultado particular de nuestro espacio muestral, una variable aleatoria toma algún valor numérico. En general, es más probable que este valor numérico se encuentre en ciertos subconjuntos de los números reales. La naturaleza de estos subconjuntos es de lo que depende el cálculo de las probabilidades asociadas a cada variable aleatoria.

En este video estudiaremos aquellas variables aleatorias que toman sus posibles valores de un subconjunto a lo más numerable de números reales.

Variables aleatorias discretas

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

• Demuestra que si $X$ y $Y$ son variables aleatorias tal que $Y=g\left ( x\right )$, entonces $Y$ tiene función de masa de probabilidad igual a $\displaystyle \sum_{x:g\left ( x\right ) =y} {f_X(x)}$.

• Para que valores de la constante $k$ ,las siguientes definen funciones de masa de probabilidad sobre el conjunto de los números naturales? $$\begin{array}{ll} i) & f\left ( x\right ) =k2^{-x} \\ ii) & f\left ( x\right ) =\frac{k2^x} {x!} \end{array}$$

• Si $X$ y $Y$ son variables aleatorias con función de masa de probabilidad igual a la dada en el ejercicio anterior, inciso $i$ y $ii$ respectivamente, encuentra: $$\begin{array}{ll} I) & P\left ( X>1\right ) \\ & P\left ( Y>1\right ) \\ II) & La\ probabilidad\ de\ que\ X\ sea\ par. \\ & La\ probabilidad\ de\ que\ Y\ sea\ par. \end{array}$$

• Si la función de distribución de $X$ está dada por $$F\left ( x\right ) = \left \{ \begin{array}{ll} 0 & para\ x<0 \\ \frac{1} {16} & para\ 0\le x<1 \\ \frac{5} {16} & para\ 1\le x<2 \\ \frac{11} {16} & para\ 2\le x<1 \\ \frac{15} {16} & para\ 3\le x<4 \\ 1 & para\ x\geq 4 \end{array} \right.$$ encuentra la distribución de probabilidad de $X$.

• Si la función de distribución de $X$ está dada por $$F\left ( x\right ) = \left \{ \begin{array}{ll} 0 & para\ x<1 \\ \frac{1} {3} & para\ 1\le x<4 \\ \frac{1} {2} & para\ 4\le x<6 \\ \frac{5} {6} & para\ 6\le x<10 \ 1 & para\ x\geq 1 \end{array} \right.$$ encuentra: $$\begin{array}{ll} i) & P\left ( 2<X\le 6\right ) \\ ii) & P\left ( X=4\right ) \end{array}$$

Más adelante…

Es importante ahora estudiar algunos casos particulares de distribuciones de probabilidad, para variables aleatorias discretas que surgen de tipos comunes de experimentos, pues el conocimiento de estas, elimina la necesidad de resolver los mismos problemas de probabilidad una y otra vez.

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