Introducción

En éste apartado, se abordarán las anualidades opuestas a las que acabamos de revisar, las anualidades decrecientes, las cuales como su nombre lo indica su principal característica es que conforme avanza el tiempo van disminuyendo. Su uso se presenta en los casos en los que se otorga un préstamo, un crédito, en el que el bien adquirido con el paso del tiempo se va deteriorando, es decir, cuando están nuevos y recién adquiridos requieren un mantenimiento mínimo, sin embargo con el paso del tiempo y el uso, van necesitando cada vez mantenimientos más costosos, y si a ello se le agrega que aún no se terminan de pagar, pues este tipo de anualidad se amolda muy bien a ésta situación, en la que el deudor le conviene bastante que en el momento en el que se requieran servicios más costosos, se pague cada vez menos a la deuda adquirida, sin que por ello se omita o incumpla alguna obligación. Todo este acuerdo, se pacta desde un inicio entre las partes involucradas.

Descripción y valor presente

Una anualidad decreciente, es aquella que conforme avanza el tiempo, los pagos que se van realizando cada vez son menores, el objetivo de este tipo de anualidad es que la persona deudora este en las condiciones de poder cumplir cómodamente con sus obligaciones, al mismo tiempo que la institución que otorga el crédito o préstamo no vea afectado la recuperación de sus recursos ni asuma un riesgo mayor.

Éste tipo de anualidad, tiene como característica principal que cada pago realizado es igual al anterior menos una cierta cantidad. Otra característica importante es que comienza con un pago de cierto valor, llamémoslo $n$ y los pagos siguientes van a ir disminuyendo una cierta cantidad, hasta llegar al último pago con valor igual a un peso.

El valor presente de esta anualidad se denota por:

$${}_n\mathbf{(}\mathbf{DA}\mathbf{)}_i$$

donde:

• $D$ hace referencia a la palabra decreasing (decreciente).
• $n$ es el número de pagos que se van a realizar.
• $i$ continúa representando la tasa de interés efectiva por periodo.

Para obtener el valor presente de dicha anualidad, se partirá de la siguiente expresión:

$${}_n\mathbf{(}\mathbf{DA}\mathbf{)}_i=(n){}_n\mathbf{A}_i+(-1)\left(\frac{{}_n\mathbf{A}_i-n{v}^n}{i}\right).$$

Luego:

$${}_n\mathbf{(}\mathbf{DA}\mathbf{)}_i=\frac{in{}_n\mathbf{A}_i-{}_n\mathbf{A}_i+n{v}^n}{i}.$$

Recordando, que ${}_n\mathbf{A}_i=\frac{1-v^n}{i}$, la expresión anterior se convierte en:

$${}_n\mathbf{(}\mathbf{DA}\mathbf{)}_i=\frac{in\left(\frac{1-v^n}{i}\right)-{}_n\mathbf{A}_i+n{v}^n}{i}.$$

Luego, cancelando las $i$ del numerador y multiplicando por $n$ la expresión que está entre paréntesis, se obtiene:

$${}_n\mathbf{(}\mathbf{DA}\mathbf{)}_i=\frac{n(1-v^n)-{}_n\mathbf{A}_i+n{v}^n}{i}=\frac{n-n{v}^n-{}_n\mathbf{A}_i+n{v}^n}{i}.$$

Por último, reducimos términos:

$${}_n\mathbf{(}\mathbf{DA}\mathbf{)}_i=\frac{n-{}_n\mathbf{A}_i}{i}.$$

Para generalizar la expresión, se toma como primer pago a $P$ y los pagos siguientes disminuyen una cantidad $Q$, pero se debe de tener cuidado con el último pago, $P-(n-1)Q$, sea positivo; esto es que $P$ debe ser mayor a $(n-1)Q.$

Entonces, la ecuación para calcular el valor presente seria:

$$V=P{}_n\mathbf{A}_i-Q\left(\frac{{}_n\mathbf{A}_i-n{v}^n}{i}\right).$$

Monto

El monto de una anualidad decreciente, con $n$ pagos que se aportarán durante $n$ periodos, fijando el primer pago $n$ y los pagos siguientes irán disminuyendo en una unidad, se calcula de forma similar a los crecientes, y es denotada por:

$${}_n\mathbf{SD}_i=\frac{n-{}_n\mathbf{A}_i}{i}(1+i{)}^n.$$

En este tipo de anualidad decreciente, el primer pago será $P$ mientras que los pagos siguientes serán disminuidos por una cantidad $-Q$, la expresión queda denotada por:

$$V=P{}_n\mathbf{A}_i(1+i{)}^n-Q\left(\frac{{}_n\mathbf{A}_i-n{v}^n}{i}\right)(1+i{)}^n.$$

Por último, el monto de una anualidad geométrica decreciente con razón $(1-K)$ es:

$$V=X(1-\frac{(1-k{)}^n}{(1+i{)}^n})\left(\frac{(1+i{)}^n}{1+k}\right).$$

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Una empresa de aeronaves, necesitan refacciones para sus aviones, sus socios desean adquirir un crédito para ello, y planean pagarlo con aportaciones decrecientes, las cuales están basadas en su experiencia de ingresos. Al hacer sus cálculos, llegan a la conclusión de que cada uno de sus socios pueden realizar aportaciones mensuales de forma vencida, comenzando con un adelanto de $6 mil pesos, disminuyendo los siguientes pagos en $250, hasta llegar a mensualidades de $2 mil. Pretenden, además, negociar, para que el banco les otorgue un plazo para pagar su crédito de 2 años, a una tasa de interés del 10.5% pagadero mensual el banco les otorga una plazo de año y medio. ¿Se necesita saber qué cantidad es la que el banco puede prestar a cada uno de sus socios?

Ejercicio. Una empresa de restaurantes, desea abrir una sucursal en el pueblito abc, para llevarlo a cabo ha considerado una inversión de $250 mil pesos. El dueño en base a su experiencia, aspira a tener ingresos de la siguiente forma:

• Considera poder hacerse de clientes durante los primeros 2 años, por lo que calcula tener ingresos en el primer mes de cada periodo de $3000 pesos, los cuales irán incrementando $800 pesos cada periodo durante los meses restantes (23 meses).
• Espera que las ventas se mantengan estables en los 2 años que siguen, ingresos de $6 mil
• En el último año considera tener ingresos de $7 mil pesos, con una posible caída de ventas de $200 pesos mensuales hasta el término de dicho año.

Si el dueño de ése restaurante, espera recuperar su inversión de $250 mil pesos valuados a la fecha de apertura, así como tener una ganancia de 25% anual. ¿Se necesita saber si con los datos que él dueño planeó, es suficiente para alcanzar sus metas, sobre todo si se propone tener ganancias netas del 35%.

Más adelante…

Se abordarán las anualidades pagaderas p veces al año, las cuales son de gran utilidad cuando se tiene casos en los que lo que se pretende es dar una expresión clara de cómo se puede ir pagando un crédito, conociendo la cantidad que se debe de pagar en cada periodo. Con este tema terminamos de adquirir las herramientas necesarias para poder evaluar proyectos de inversión.

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