Introducción

En el tema anterior, se logró obtener las herramientas necesarias para estar en condiciones, de poder evaluar un proyecto de inversión. Para poder estudiar este tipo de anualidades, se hará uso de algunas herramientas de cálculo diferencial e integral, ya que se pretende abordar dicho tema, desde un enfoque infinitesimal con la finalidad de poder calcular las tasas instantáneas de interés (fuerza de interés).

Descripción y valor presente

Este tipo de anualidades, sólo se usan para mostrar el comportamiento de un crédito en cada instante, ya que como se ha mostrado en las anualidades que hasta este momento se han estudiado, mantiene tiene su relación con el concepto de amortización el cual va ligado con cierta periodicidad. Cabe hacer mención que, como su nombre lo indica, este tipo de anualidad se caracteriza por realizar los pagos a cada «instante», motivo por el cual este tipo de anualidad no tienen aplicación en la vida real.

En la imagen anterior, se muestra gráficamente el comportamiento que tiene una anualidad continua, en la que se observa los pagos que la caracterizan, ya que por ser una línea recta, ésta cuenta con una infinidad de puntos, que a su vez representan un número infinito de pagos que serán efectuados cuando haya transcurrido un cierto lapso de tiempo. De cierta forma, éste tipo de anualidad tiene similitud con el tema anterior (anualidades pagaderas p veces al año), ya que ésta se calcularía igual, con la diferencia que sería pagadera un número infinito de veces al año. Bajo ésta idea, es como se va a desarrollar el modelo para representar una anualidad continua.

El valor presente de ésta anualidad queda denotado por la siguiente expresión:

$$\prescript{}{n(\infty)}{\mathbf{A}}_i=\int_0^n v^t dt.$$

Ahora si multiplicamos por un uno especial, es decir, multiplicamos por:

$$\prescript{}{n(\infty)}{\mathbf{A}}_i=\int_0^n \frac{ln v}{ln v} v^t dt=\frac{1}{ln v}\int_0^n (ln v) (v^t) dt.$$

Recordemos que: $$d ln U=\frac{dU}{U}$$

luego: $$\int_0^n d ln U U=\int_0^n dU=U|_0^n.$$

Entonces, la ecuación en la que se estaba trabajando antes del recordatorio queda de la siguiente forma:

$$\prescript{}{n(\infty)}{\mathbf{A}}_i=\frac{1}{ln v}v^t\Big\rvert_0^n=\frac{1}{ln v}(v^n-v^0)=\frac{v^n-1}{ln v}.$$

Haciendo otro recordatorio; a partir de la triple igualdad se tiene $v^t=e^{-\delta t}$, despejando a $\delta$ para obtener $ln v=-\delta$. Luego sustituyendo éste valor en la ecuación y multiplicando por menos uno nos queda la ecuación que se venía trabajando en:

$$\prescript{}{n(\infty)}{\mathbf{A}}_i=\frac{1-v^n}{\delta}$$

ahora multiplicando $i$ ésta ecuación, se tiene:

$$\prescript{}{n(\infty)}{\mathbf{A}}_i=\frac{i}{i}\frac{1-v^n}{\delta}=\frac{i}{\delta}\frac{1-v^n}{i}.$$

Por otra parte, es necesario recordar: $$\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i=\frac{1-v^n}{i}$$

entonces: $$\prescript{}{n(\infty)}{\mathbf{A}}_i=\frac{i}{\delta}\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i.$$

De ésta ecuación, se va a calcular el valor presente para una anualidad continua a $n$ año, con un capital de un peso pagadero anualmente un número infinito de veces. Una observación que es importante resaltar, es que tiene mucha similitud con la anualidad pagadera $p$ veces al año, con una tasa de interés efectiva anual:

$$\prescript{}{n(p)}{\mathbf{A}}_i=\frac{i}{i^{(p)}}\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i.$$

Esta ocurre, porque el valor de una tasa nominal tiende a $\delta$ cuando $m$ tiende a $\infty$, ahora, si la anualidad cambiamos el capital de un peso por un capital con valor $X$, entonces la expresión para obtener el valor presente queda expresada como:

$$V=X\prescript{}{n(\infty)}{\mathbf{A}}_i=\frac{Xi}{\delta}\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i.$$

Monto

Para calcular el monto de una anualidad continua, se seguirá calculando en primera instancia con un peso como capital, a fin de simplificar los cálculos.

Partiendo de la siguiente ecuación:

$$\prescript{}{n(\infty)}{\mathbf{A}}_i=\frac{i}{\delta}\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i.$$

Se tiene que el monto de una anualidad continua, con un capital de un peso anual convertible infinitamente al año, durante $n$ años, a una tasa efectiva anual, queda denotado por la expresión:

$$\prescript{}{n(\infty)}{\mathbf{S}}_i=\frac{i}{\delta}\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i(1+i)^n.$$

Cambiando dicha expresión, obtenido con un peso, a un capital $X$, la expresión queda como sigue:

$$M=X\prescript{}{n(\infty)}{\mathbf{S}}_i=\frac{Xi}{\delta}\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i(1+i)^n.$$

Aunque las anualidades continuas, no tienen aplicación o uso en la vida real, es importante señalar que; en la anualidad continúa el pago se hace un número infinito de veces, esto no quiere decir que el monto acumulado después de un tiempo será infinito, porque el pago anual se va a dividir entre infinito para poder obtener dichos pagos, luego entonces, una cualquier cantidad dividida, entre infinito, el resultado es una cantidad que prácticamente sea cero. Por ésa razón este tipo de anualidad será omitido el calificativo de pagadera un número infinito de veces al año, ya que no es posible calcular dichos pagos, sólo se puede calcular las anualidades con capital de un peso o capital $X$, así como sólo se puede calcular su monto y su valor presente.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Calcular el valor presente de la siguiente anualidad continua a 5 años, de un peso, con una tasa de interés del 5% anual.

Ejercicio. Calcule el monto de una anualidad continua a 5 años, con un capital de \$3 mil pesos, con una tasa del 4% anual

Más adelante…

Hasta este momento, ya se cuenta con herramientas suficiente para poder hacer operaciones más complejas, como lo es evaluar un proyecto de inversión, tema que será estudiado un poco más adelante, antes se abordaran algunos temas como el de amortización que nos permitirá facilitar ciertas operaciones que son muy útiles en la práctica.

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