$\textcolor{Red}{\textbf{Funciones de $\mathbb{R}^{n}$ en $\mathbb{R}$}}$

$\textbf{Definición 1.}$ Una función $f:A\subset\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es una función $f(x_{1},x_{2},…,x_{n})$ que asocia a cada n-ada ordenada $(x_{1},x_{2},…,x_{n})$ de $\mathbb{R}^{n}$ un número real $f(x_{1},x_{2},…,x_{n})$

$\textbf{Ejemplo}$ La función $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ asocia a dada pareja $(x,y)\in \mathbb{R}^{^{2}}$ el número real $x^{2}+y^{2}$.

$\textbf{Ejemplo}$ La función $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x,y,z)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$ asocia a dada terna $(x,y,z)\in \mathbb{R}^{^{3}}$ el número real $\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

$\textbf{Definición 2.}$ El $\textcolor{Red}{dominio}$ de una función $f:A\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es el conjunto
$$Dom_{f}\left\{(x_{1},x_{2},…,x_{n})\in\mathbb{R}^{n}~|~f(x_{1},x_{2},…,x_{n})\in\mathbb{R}\right\}$$

$\textbf{Ejemplo}$ La función $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x,y,z)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$ asocia a dada terna $(x,y,z)\in \mathbb{R}^{^{3}}$ el número real $\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$ tiene como dominio el conjunto

$$Dom_{f}=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}~|~1-x^{2}-y^{2}-z^{2}\geq0 \right\}=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}~|~1\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}\right\}$$

$\textbf{Ejemplo}$ La función $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ asocia a dada pareja $(x,y)\in \mathbb{R}^{^{2}}$ el número real $x^{2}+y^{2}$ en este caso el dominio es $\mathbb{R}^{2}$

$\textbf{Definición 3.}$ El $\textcolor{Red}{rango}$ de una función $f:A\subset\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es el conjunto
$$Ran_{f}= \left\{f(x_{1},x_{2},…,x_{n})\in\mathbb{R}~|~(x_{1},x_{2},…,x_{n})\in\mathbb{R}^{n} \right\}$$

$\textbf{Ejemplo}$ La función $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ asocia a dada pareja $(x,y)\in \mathbb{R}^{^{2}}$ el número real $\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ en este caso el rango de la función es el conjunto
$$\left\{z\in\mathbb{R}~|~0\leq z\leq1 \right\}$$

$\textbf{Definición 4.}$ La $\textcolor{Red}{gráfica}$ de una función $f:A\subset\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es el conjunto
$$Gra_{f}=\left\{(x_{1},x_{2},…,x_{n},f(x_{1},x_{2},…,x_{n}))\in\mathbb{R}^{n+1}~|~(x_{1},x_{2},…,x_{n})\in\mathbb{R}^{n}\right\}$$

$\textbf{Ejemplo}$ La gráfica de la función $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ es un paraboloide cuyo aspecto es

$\textbf{Ejemplo}$ La gráfica de la función $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^{2}-y^{2}$ es un paraboloide hiperbolico (silla de montar) cuyo aspecto es

$\textcolor{Red}{\textbf{Conjuntos de Nivel}}$

$\textbf{Definición 5.}$ Sea $f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$ y sea $c\in\mathbb{R}$. El conjunto de nivel del valor c se define como:
$$C_{N}=\left\{x\in\mathbb{R}^{n}~|~f(x)=c\right\}$$

$\textbf{Ejemplo}$ Describir el conjunto de nivel de la función $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$

$Solución$ En este caso el conjnuto de nivel es$$C_{N}=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~x^{2}+y^{2}=c\right\}$$
geometricamente son circunferencias con centro el origen y radio $c$.

$\textbf{Ejemplo}$ Describir el conjunto de nivel de la función $f(x,y)=x^{2}-y^{2}$

$Solución$ En este caso el conjnuto de nivel es$$C_{N}={(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~x^{2}-y^{2}=c}$$
geometricamente son circunferencias con centro el origen y radio c

$\textbf{Ejemplo}$ La función $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ tiene como gráfica el paraboloide de revolución $z=x^{2}+y^{2}$

Las curvas de nivel son: el vacio para $a<0$, y para $a>0$ es el conjunto $$\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}|x^{2}+y^{2}=a\right\}$$, es decir un círculo de radio $\sqrt{a}$ con centro en el origen

$\textbf{Ejemplo}$ La función $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^{2}-y^{2}$ tiene como gráfica el paraboloide hiperbolico $z=x^{2}-y^{2}$

Las curvas de nivel son: para $a=0\Rightarrow x^2-y^2=0$ par de rectas que se cortan en el origen, y para $a=1\Rightarrow x^2-y^2 =1$ es una hiperbola paralela al eje X que lo corta en $(\pm 1,0)$, para $a=-1\Rightarrow x^2-y^2=-1$ es una hiperbola paralela al eje Y y que lo corta en $(0,\pm 1)$

$\textbf{Ejemplo}$ La función $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^2}$ tiene el siguiente conjunto de nivel
$${(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}|\sqrt{x^2+y^2+z^2}=a}$$

Las superficies de nivel son: para $a=0\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2+z^2}=0$ el origen, y para $a=1\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2+z^2}=1$ es una esfera, $a=2\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2+z^2}=2$ es una esfera

La función $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x,y,z)=x^{2}-y^{2}+z^2$ tiene el siguiente conjunto de nivel
$$\left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}|x^2-y^2+z^2=a\right\}$$

Las superficies de nivel son: para $a=0\Rightarrow x^2-y^2+z^2=1$ es un hiperboloide de un manto, y para $a=1\Rightarrow x^2-y^2+z^2=1$ es un hiperboloide de un manto, $a=2\Rightarrow \sqrt{x^2-y^2+z^2}=2$ es un hiperboloide de un manto

$\textcolor{Red}{\textbf{Límite de Funciones de $\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$}}$

Sea $f:\Omega\subset\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$, y sea $x_{0}$ un punto de acumulación de $\Omega$. Se dice que $L\in\mathbb{R}$ es el límite de $f$ en
$x_{0}$, y se denota por: $$\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=L$$ Si dado $\varepsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tal que $|f(x)-b|<\varepsilon$ cuando $x \in \Omega$, $0<|x-x_{0}|<\delta$

$\small{Observación:}$ Es necesarío que $x_{0}$ sea punto de acumulacion de $\Omega$.Usando la definición de límite, demostrar que:
$$\displaystyle\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\frac{x^{4}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=0$$
Por demostrar, para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta >
0$ tal que $0 < |(x,y) – (0,0)| < \delta$ entonces $\displaystyle\left| \frac{x^{4}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \right| < \varepsilon$ como $x^{2} \leq x^{2}+y^{2}$ entonces $x^{4} \leq (x^{2}+y^{2})^{2}$ entonces $\displaystyle\frac{1}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \underset{(*)}{\leq} \displaystyle\frac{1}{x^{4}}$

$\therefore$ $\displaystyle\left|\frac{x^{4}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\right| \underset{(*)}{\leq}
\displaystyle\left|\frac{x^{4}y^{2}}{x^{4}}\right| \leq |y^{2}|=y^{2}\leq (\sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2} <
\delta^{2}$

$\therefore$ Si $\delta^{2}=\varepsilon$ entonces $\delta=\sqrt{\varepsilon}$