Es de vital importancia conocer el modelo de interés compuesto, así como su fenómeno de acumulación que es el que lo caracteriza, pero también es igual de importante poder conocer la forma en que se puede calcular el valor de hoy, el valor presente de una obligación futura, saber cuánto se deberá pagar en un futuro cierta deuda adquirida el día de hoy, nos permite conocer cuánto se debe de ahorrar el día de hoy para garantizar el pago de dicha obligación. Por ejemplo, si una persona desea adquirir algún bien, una casa, por ejemplo, o una empresa si desea después de cierto tiempo hacer cambio de su mobiliario o de su maquinaria, o de su equipo de cómputo. Todo lo anterior son ejemplo de la utilidad que tiene el saber calcular el valor presente, que como se observa a simple vista, permite encontrar una solución ante todas éstas situaciones.
Valor Presente
Aunque anteriormente ya se había hecho uso, el modelo que describe el fenómeno de valor presente, es el siguiente:
$K=\frac{M}{(1+i)^t}=M(1+i)^{-t}.$ Lo anterior se puede expresar de esa forma porque, recordando una de las leyes de los exponentes $\frac{1}{a^x}=a^{-x}.$ Por lo tanto, el modelo que se va a estudiar es:
$$K=M(1+i)^{-t}.$$
Es una ecuación que ya había sido deducida directamente del modelo de interés compuesto, en el tema anterior, y al ser parte de dicho modelo, las reglas que rigen a la fórmula de interés compuesto, rigen de igual forma a ésta expresión. Es importante señalar que la expresión que se acaba de presentar como Valor Presente, es fundamental en muchos cálculos que se estarán obteniendo, es por ésa razón que a continuación se va a establecer una forma más simplificada de expresarla, la cual es la siguiente:
$$v_1=\frac{1}{1+i}$$
esto es una expresión cuando $t=1.$
Ahora cuando expresamos $t$ de forma general, la expresión queda: $v_i^t=\frac{1}{(1+i)^t}=(1+i)^{-t}.$
Por último, sustituyendo dicha expresión en el modelo de valor presente: $$K=Mv_i^{t}.$$
El motivo de usar una $v.$
Fig. 1.7 Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, Fundamentos y Aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 36
De acuerdo con la imagen, el valor presente es la función inversa del proceso de acumulación de capital, de manera tal que, mantienen una relación que consiste en, que a mayor tasa de interés corresponde una mayor disminución del valor presente del monto. Además, la imagen anterior muestra el proceso de acumulación en comparación al del valor presente, cada una con sus respectivas expresiones algebraicas que los definen.
Tabla de equivalencias entre periodos
A lo largo de estos temas, se puede hacer notar que cada uno de los negocios, convenios, pactos, préstamos, inversiones, etc. tienen en común que tienen una fecha de vencimiento, una fecha de pago, una fecha de cobro, etc. Entre otras cosas, también aparecen las condiciones en las que se realizará sea cual sea la operación, que como ya se ha visto son: tasa de interés, monto inicial, periodo de tiempo, cada cuando se realizaran los pagos. Debido a lo anterior, es necesario establecer ciertos «convenios» en lo que se refiere a la periodicidad de los pagos, con la finalidad de hacer los cálculos de la forma consistente y que sea aplicable a la realidad que describe el fenómeno que se está estudiando. Con base a lo ya dicho, se presenta a continuación, la siguiente tabla:
Tabla 1.1 Establece la equivalencia en tiempo, con el que se va a estar usando la periodicidad, para fines prácticos. Elaboración propia, basada en Cánovas T. Matemáticas Financieras, Fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 38.
En la tabla anterior, se establece de forma general el tiempo, para dar a conocer la forma en que se van a estar usando con fines prácticos, sin embargo; es pertinente señalar que cuando se trate de inversiones, por ejemplo, las que manejan los bancos, es necesario hacer uso del total de días que tiene el mes, esto es, 30 o 31 días en algunos meses, ó 28 o 29 en el caso del mes de febrero, esto debido a que los tipos de inversión consideran el pago de intereses el último día de cada mes.
También, es necesario establecer el número de decimales con el cual se estará realizando los cálculos, estos son al menos 5 decimales, con éste último redondeado. Y el resultado final se deberá ser presentado sólo con dos decimales.
Ejercicios resueltos
Ejercicio. Calcular el valor presente o traer a valor presente, a la fecha de hoy, la cantidad de \$2000 que deberán pagarse dentro de un año a una tasa de interés efectiva semestral del 7%.
Solución
Haciendo uso del modelo de valor presente: $v_i^{t}$, Sustituyendo los datos, se tiene: $X=(2000)\frac{1}{(1+.07)^2}$ lo que también es equivalente a escribir:
$X=2000(1+0.07)^{-2}$ Lo que resulta \$1746.8774, una cantidad que es menor a \$2000, esto se debe a que está representando su valor presente, pero de igual forma, si invertimos la cantidad de \$1746.8774 durante un año, justamente se obtendrá el valor de \$2000. Es pertinente hacer mención que no necesariamente el valor presente se debe calcular a la fecha del día de hoy, éste puede ser calculado en cualquier fecha siempre y cuando sea antes de la fecha de vencimiento o del pago de la obligación.
Ejercicio. Para este ejemplo, se va a suponer que el día de hoy es 2 de octubre, y una empresa de ropa tiene contemplado saldar la deuda de un pagaré con un valor de \$85000, con fecha de vencimiento 30 de mayo, del siguiente año. En dicha deuda se acordó una tasa efectiva del 10% anual. Dicha empresa se propone saldar su deuda, aprovechando la temporada decembrina que tiene ventas e ingresos extras, para el día 30 de diciembre.
Solución
Fig. 1.8 Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, Fundamentos y Aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 37
Suponemos también que no existe ningún tipo de penalización por liquidar la deuda de forma anticipada, en tal caso la ecuación queda: \begin{align*} X&=85000(v_{0.10}^{\frac{5}{12}})\\ X&=85000(1+0.10)^{-\frac{5}{12}}\\ X&=81690.5788\\ \end{align*} Por lo tanto, para liquidar la deuda, se tiene que hacer un pago de \$81690.5788 el 30 de diciembre.
Es importante hacer mención que si no ha transcurrido tiempo en alguna operación, el monto y el valor presente del dinero no sufre cambios, cuando se quiere a traer a valor presente en la misma fecha que debe ser pagado, es decir; Si el día de hoy 26 de septiembre de 2005 (por ejemplo), nos prestan \$10 pesos, y calculamos el valor presente en ésa misma fecha, el resultado será igual \$10.
Ejercicio. Se quiere calcular el monto de una cantidad $X$ durante un tiempo cero, $t=0$ con una tasa de interés $i.$
Solución
Aplicando el modelo de interés compuesto se tiene: $M=X(1+i)^0.$ Recordamos que cualquier potencia elevada a cero nos da un resultado igual a 1, esto es: $a^0=1$, o lo que aplica a nuestro modelo: $(1+i)^0$ Lo cual implica que: $M=X(1+i)^0=X(1)$ $$M=X.$$
Lo anterior, se sigue cumpliendo si ahora queremos calcular el valor presente con los mismos supuestos de un tiempo cero. Esto es: $Xv_i^{t=0}=X(1+i)^0=X(1)=X.$
Más adelante…
A lo largo de estos temas se ha estudiado cómo el dinero modifica su valor con el paso del tiempo, en particular los dos casos que acaban se ser abordados, proceso de acumulación y valor presente. Se ha visto el comportamiento de las tasas efectivas de interés, dentro del modelo de interés simple como de interés compuesto. Un aspecto importante que no se debe de restar importancia, es al fenómeno en el que queremos calcular el valor presente en un tiempo cero, esto es, el mismo día que se emite el préstamo, fecha en la que cual el monto y el valor presente son el mismo. Lo anterior adquiere mucha importancia sobre todo, cuando se construya una ecuación de valor, tema que pronto será abordado.
Ya se ha visto que en una hilera armónica se tienen cuatro puntos colineales $A,B,C,D$, donde el segmento $AB$ está dividido por $C$ y $D$ en razones cuya razón es: $\hspace{15em} \frac{AC}{CB} / \frac{AD}{DB} = -1$ En este caso $A$ y $B$ están separados armónicamente por $C$ y $D$, pero que pasaría si estos cuatro puntos estuvieran en posiciones cualesquiera en la recta que se encuentran, es aquí donde entra la definición de razón cruzada.
Definición (Razón Cruzada)
Dados cuatro puntos colineales distintos $A,B,C,D$ en una recta, diremos que la razón cruzada es:
2) $\{ ABCB \} =0$ esto ya que $\{ ABCB \} =\frac{AC}{CB} / \frac{AB}{BB} = \frac{AC * BB}{CB * AB} =0$.
3) $\{ ABCA \} =\infty $ esto ya que $\{ ABCA \} =\frac{AC}{CB} / \frac{AA}{AB} = \frac{AC * AB}{CB * AA} =\infty $.
Por lo cual se puede demostrar que si la razón cruzada de cuatro puntos tiene uno de los valores $1,0, \infty $ entonces dos de los puntos coinciden.
Teorema (Razón Cruzada)
Si se tienen cuatro puntos distintos $A,B,C,D$ en una recta y $O$ un punto (no está en la recta) entonces:
$\{ ABCD \} =O \{ ABCD \} $
Demostración
Para demostrar el teorema se usará lo siguiente, si dos puntos finitos $A$ y $B$ distintos en una recta, sea $P$ otro punto de la misma recta y $C$ un punto que no está en la recta, entonces
$\frac{AP}{PB}=\frac{CA*sen (ACP)}{CB*sen (PCB)}$
Entonces usando lo anterior:
$\frac{AC}{CB}=\frac{OA*sen (AOC)}{OB*sen (COB)}$ y $\frac{AD}{DB}=\frac{OA*sen( AOD)}{OB*sen (DOB)}$
1) Sean dos rectas transversales a cuatro líneas de un haz, de las cuales ninguna pasa por el vértice, cortan a estas líneas en $A,B,C,D$ y $A’,B’,C’,D’$ respectivamente, entonces $\{ ABCD \} = \{ A’B’C’D’ \} $.
3) Sean $l$ y $l’$ dos rectas en posición cualquiera y sean $A,B,C,D \in l$ y $A’,B’,C’,D’ \in l’$. Si $\{ ABCD \} = \{ A’B’C’D’ \} $ y $O$ y $O’$ son colineales con $A$ y $A’$, entonces las intersecciones $OB$ y $O’B’$, $OC$ y $O’C’$, $OD$ y $O’D’$ son colineales.
Demostración
Sea $l’$$’$ la recta que contiene a $B’$$’$ y $C’$$’$, y sean $A’$$’=l’$$’ \cap OO’$, $D’$$’=OD \cap O’D’$ y sea $D^*=l’$$’ \cap O’D’$. Tenemos que $\{ ABCD \} = \{ A’B’C’D’ \} $ entonces $\{ A’B’C’D’ \} = \{ A’$$’B’$$’C’$$’D^* \} $. $\Rightarrow $ $\{ ABCD \} = \{ A’$$’B’$$’C’$$’D^* \} $ $\Rightarrow $ $O\{ ABCD \} = \{ A’$$’B’$$’C’$$’D^* \} $ $\Rightarrow $ $D’$$’=D^*$ $_\blacksquare$
Más adelante…
Se seguirá abordando unas propiedades de la razón cruzada y además se construirá un cuarto elemento dada una razón.
Una vez visto el tema de Polos y Polares y todos los subtemas que conlleva este, es hora de realizar unos ejercicios que se dejaran a continuación, todo con el objetivo de practicar y fortalecer el tema visto.
Ejercicios
1.- Demuestre que cualquier punto en la circunferencia es conjugado a todos los puntos de la tangente en ese punto.
2.- Dados P y Q los polos de dos rectas conjugadas p y q respectivamente, entonces demostrar que el polo de la recta PQ es el punto donde intersecan p y q.
3.- Sean tres puntos no colineales, construir la polar de un cuarto punto con respecto a la circunferencia determinada por los tres puntos dados, sin dibujar la circunferencia o cualquier arco de ella.
4.- Encontrar el lugar geométrico de un punto cuyas polares con respecto a dos circunferencias dadas forman un ángulo fijo entre ellas.
5.- Dados tres puntos colineales A, B y D se deberá encontrar el punto C tal que {ABCD} = -1 usando polos y polares.
6.- Demuestre que dadas dos rectas conjugadas que se intersecan en el exterior de una circunferencia, una es secante y la otra no.
7.- Dado un triángulo con circunferencia polar, el inverso de uno de sus lados con respecto a la circunferencia polar, es la circunferencia cuyo diámetro es la recta que une el vértice opuesto con el ortocentro.
8.- Dado un triángulo autopolar uno de sus vértices está dentro de la circunferencia y los otros dos fuera de esta, demostrarlo.
9.- Resolver el problema 7 de los 10 problemas de Apolonio.
10.- Resolver el Problema 10 de Apolonio usando polos y polares.
Siguiendo una estructura análoga a la anterior, procederemos a desarrollar la ecuación que describe la característica central del modelo de interés compuesto: la capacidad de generar intereses adicionales. Además, sentaremos las bases para abordar la aplicación de tasas de interés y establecer relaciones entre ellas, con el propósito de calcular tasas equivalentes.
El interés compuesto representa la segunda modalidad de pago de intereses. Su rasgo distintivo es la generación de nuevos intereses a medida que transcurre el tiempo o cada período específico. Estos intereses recién generados se suman al capital original, que luego comienza a generar intereses por sí mismo, repitiendo este proceso según lo establecido. Similar al modelo de interés simple, los intervalos de tiempo pueden ser mensuales, anuales, trimestrales, semanales, entre otros.
Interés compuesto
El modelo de interés compuesto es ampliamente empleado en contratos comerciales y operaciones financieras en todo el mundo, e incluso está respaldado por la legislación vigente en nuestro país, como lo establece la Ley Federal de Protección al Consumidor.
Para comenzar con su construcción, se propone el siguiente ejemplo:
A una persona les prestan \$100, con una tasa de interés efectiva mensual del 10%, dicho monto al término del primer mes estaría generando \$10 por concepto de interés más los \$100 pesos originales. La parte interesante comienza a ocurrir a partir del segundo mes, en el que los intereses que ya se habían generado durante el primer mes comienzan a generar nuevos intereses invertidos a la misma tasa, esto es:
Monto del periodo anterior $=\$110$
Intereses del segundo periodo $=(\$110)(0.10)=\$11$
Lo que nos da un monto total al final del segundo periodo de \$121. Es importante hacer mención que el $1 que aparece en nuestro último resultado, representa los intereses generados por los nuevos intereses. En la siguiente gráfica se representa con detalle este proceso.
Fig. 1.4 Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, Fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 24
Ahora bien, se va a construir el modelo general de Interés compuesto:
Fig. 1.5 Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, Fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag, 25
El primer periodo comienza con un capital $K$, con una tasa de interés $i$, de tal manera que al final del primer periodo tenemos el capital inicial más los intereses generados durante ése periodo, y nos quedaría una expresión como la siguiente: $M=K+Ki$.
Por consiguiente, el monto del segundo periodo queda como el capital inicial más los intereses obtenidos en el 1er y 2do periodo.
Es importante recalcar que los intereses se calculan multiplicando el capital por la tasa de interés. Si los intereses generados en el 1er periodo fueron $Ki$, entonces los intereses generados en el segundo periodo se calcularon a partir de la expresión $Kii$. De esta forma, el monto obtenido al final del segundo periodo se representa con la expresión: $M=K+Ki+Ki+Kii$, la cual se reduce a la expresión señalada en la figura 1.5> $M=K(1+i)^2$.
Generalizando la fórmula queda lo siguiente: $M=K(1+i)^t$. En ésta expresión la variable $t$, es la que va a estar representando el número de periodos, el cual va a estar ligados siempre con el «apellido» de la tasa de interés, este es mensual, semanal, diario, etc. como ya en algunos párrafos anteriores se ha hecho mención.
Las reglas para aplicar correctamente este modelo son semejantes a la del modelo de interés simple, con algunas variantes, pero para no dejar ambigüedad alguna se enuncian a continuación:
El valor de las variables $K$ y $M$ se escriben en unidades monetarias, siendo la primera que representa el capital inicial ($K$), mientras que la segunda representa el monto ($M$).
$i$ es la tasa de interés efectiva por periodo, expresada en %, y al realizar cálculos usada al tanto por uno, es decir ya dividida entre 100.
La periodicidad de la tasa determina la unidad de tiempo con la que se va a utilizar la variable $t$, esto es, en años, meses, bimestres, durante el lapso de tiempo acordado que dure la operación.
Siguiendo una lógica similar al modelo de interés simple, en el caso del modelo de interés compuesto, tenemos la capacidad de expresar cualquier variable en función de las otras tres. Es decir, podemos despejar y expresar cualquier variable en términos de las demás.
Por lo anterior podemos establecer que, partiendo del modelo de interés compuesto, $K$ se puede calcular a partir de la siguiente expresión:
$$K=M\frac{1}{(1+i)^t}=M(1+i)^{-t}.$$
Para obtener $i$, se divide entre $K$ la ecuación de interés compuesto, luego se eleva a la potencia $\frac{1}{t}$ y por último se le resta uno, con lo que se llega a:
$$i=\frac{(M)}{(K)}^{\frac{1}{t}}-1.$$
Finalmente, para expresar $t$ es necesario usar algunas propiedades de los logaritmos, como se observa a continuación:
$$t=\frac{\log M-\log K}{\log(1+i)}.$$
Es fundamental destacar una diferencia significativa en comparación con el modelo de interés simple, que, como ya hemos visto, exhibe un comportamiento lineal. Por otro lado, el modelo de interés compuesto muestra un comportamiento geométrico, como se puede apreciar en el siguiente gráfico:
Figura 1.6 Comportamiento del Modelo de Interés Compuesto, Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, Fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, Pag. 27
En la figura 1.6, se muestra un ejemplo de cómo se comporta el modelo de interés compuesto, bajo una inversión de un capital de \$1700 invertido durante 3 años, a una tasa mensual del $12\%$.
Ejercicios resueltos
Ejercicio. ¿Cuál es el monto que se genera, con un capital inicial de \$2500 y lo queremos invertir con las siguientes tasas de interés, durante los periodos que se indican:
A una tasa del 6.5% anual, durante tres años y 6 meses.
2.4% mensual, luego de haber transcurrido dos años y 8 meses.
5.8% semestral, después de un periodo de 10 meses.
0.04% diario, después de un año con 23 días.
Solución
El monto inicial ($K$), que se va a utilizar es el mismo, el cual es de \$2500, y de igual forma, en todos los casos queremos saber el monto ($M$). Una vez aclarado ese punto, el modelo que vamos a estar usando es el de interés compuesto dado por: $M=K(1+i)^t$. Se sabe que la tasa es una tasa efectiva anual del 6.5%, motivo por el cual la variable $t$ será expresada en años, así mismo, el tiempo que se tiene considerado que dure la operación, es de 3 años con 6 meses. Ahora bien, sustituyendo cada uno de los valores en nuestra ecuación de interés compuesto: \begin{align*} M&=2500(1+0.065)^{3\frac{1}{2}}\\ &=2500(1+0.065)^{3.5}\\ &=3116.47 \end{align*}. Es importante señalar, que el número 3 corresponde a los años completos que dura el acuerdo, mientras que el $\frac{1}{2}$, es por los 6 meses que hacen falta, el cual expresado en años sería un medio. De manera tal que $t=3\frac{1}{2}=3.5$.
Se tiene una tasa efectiva mensual ($i$) de 2.4%, lo cual implica que el tiempo ($t$) que asciende a 2 años 4 meses debe ser expresado en meses, entonces aplicando el modelo: $$M=2500(1+0.024)^{28}=4856.67$$
Análogamente, si la tasa es del 5.8% semestral, el tiempo debe ser expresado en semestres, motivo por el cual $t= 1 semestre + \frac{4}{6} semestre=1+\frac{4}{6}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}=1.67$, y aplicando el modelo se obtiene: \begin{align*} M&=2500(1+0.058)^{1\frac{4}{6}}\\ &=2500(1+0.058)^{1.67}\\ &=2746.31 \end{align*}
De forma parecida a los incisos anteriores, la tasa efectiva diaria 0.04% ($i$), esto causa que se mida en días la variable $t$, y se va a considerar que en un año se tiene 365 días, lo cual implica: $t=365 +23 días=386 días$, luego entonces nos da el siguiente resultado al aplicar el modelo de interés compuesto $$M=2500(1+0.0004)^{365+23}=2500(1+0.0004)^{386}$$
Ejercicio. Calcula la tasa de interés anual, que se necesita calcular para los siguientes incisos:
Monto inicial de \$1 500, durante un año genera un monto de \$1 800.
Monto inicial de \$27 500, que durante un lapso de un año y cinco meses genera \$30500.
Monto inicial de \$22 000, durante un lapso de 7 semestres con 5 meses, genera un monto total de \$25 000.
Solución
A partir del modelo de interés compuesto, con el que se ha estado trabajando, se sabe que contamos con el valor de las variables $K$, $M$ y $t$. Por lo anterior, se va a hacer uso de la siguiente expresión que anteriormente ya se había deducido: $$i=\frac{(M)}{(K)}^{\frac{1}{t}}-1$$
Sustituyendo cada uno de los valores de la expresión anterior, se tiene: $i=(\frac{1800}{1500})^1-1=0.2$ lo cual implica que la tasa de interés es $i=20\%$
Análogamente al ejercicio anterior, se tiene: \begin{align*} i&=\left(\frac{30500}{27500}\right)^{1+\frac{5}{12}}-1\\ &=\left(\frac{30500}{27500}\right)^{\frac{17}{12}}-1\\ &=\left(\frac{30500}{27500}\right)^{1.416}-1\\ &=0.15 \end{align*} Por lo tanto, el valor de la tasa de interés es: $i=15\%$
En este caso se debe observar que un año tiene 2 semestres, por lo que la cantidad de 7 semestres, tiene 3.5 años. Luego se debe agregar a éste resultado 5 meses que es el equivalente a \frac{5}{12}. Por lo anterior ahora sí sustituimos los valores de cada una de las variables, lo cual nos da: \begin{align*} i&=\left(\frac{25000}{22000}\right)^{\frac{7}{2}+\frac{5}{12}}-1\\ &=\left(\frac{25000}{22000}\right)^{\frac{47}{12}}-1\\ &=0.64 \end{align*} Por lo tanto, el valor de la tasa de interés es: $i=64 \%$
Ejercicio. Dado un capital inicial de \$1200 pesos, un monto total de \$3500, con una tasa efectiva trimestral de 3.77%, calcular $t$.
Solución
La ecuación que se aplicará para este caso es la siguiente: $$t=\frac{\log M-\log K}{\log(1+i)}$$ Sustituyendo cada una de las variables que se conocen, nos queda: \begin{align*} t&=\frac{\log 3500-\log 1200}{\log(1+0.0377)}\\ &=\frac{0.464886}{0.016071}\\ &=28.92554 \end{align*}
Es importante señalar que el resultado está dado en trimestres, puesto que la tasa con la que se están realizando los cálculos es efectiva trimestral. Por otra parte cada año tiene 4 trimestres, entonces cuando el resultado excede a 4, entonces la cifra expresada en años, se obtiene del resultado de $t=28.92554$ el cual, se divide entre 4, entonces se tiene $\frac{28.92554}{4}=7.231385$ de donde se obtienen los 7 años. Ahora como no se suele expresar 0.231385 meses, lo que se va a hacer es multiplicar por 12(porque el año tiene 12 meses), esto es: $(0.231385)(12)=2.77662$ que es de dónde se obtienen los 2 meses. Por último para saber los días, multiplicamos la cifra de (77662)(30) por que un mes tiene 30 días, hacemos uso de la cifra de $(0.77662)(30)=23.2986$, resultado a partir del cual se obtiene el dato de los 23 días. Por lo tanto, el resultado obtenido se interpreta como 7 años, 2 meses y 23 días.
Más adelante…
En este tema, se abordó el modelo de Interés compuesto, mediante el cual se observa el fenómeno mediante el cual, una cantidad de dinero invertida, prestada o depositada en alguna institución bancaria, nos genera intereses con el paso del tiempo, y no sólo eso, sino que, en el caso particular del interés compuesto, los intereses generan más intereses. Éste proceso que se acaba de estudiar de forma implícita es conocido también como acumulación. Con éste modelo nos da una herramienta muy importante para poder tomar mejores decisiones respecto al uso de los recursos que se tienen de manera personal, comercial, social, etc. porque nos sirve para saber cuánto se puede llegar a ahorrar en el caso de querer adquirir un bien o servicio, o unas vacaciones, o comprar un vehículo. En otro caso, cuánto se va a tener que pagar por un cierto préstamo, o incluso cuánto se requiere tener para llevar a cabo un proyecto que requiere cierto financiamiento (es un tipo de préstamo que permite tener recursos, por ejemplo, inversionistas) para conocer cuánto es lo que se va a deber en el futuro.
En el siguiente capítulo, se abordará el proceso inverso que acabamos de estudiar, esto es, describir la metodología que nos permita conocer el valor que al día de hoy tiene una obligación futura, fenómeno que dentro de las Matemáticas Financieras se le conoce como Valor Presente.
La Topología es un área de las matemáticas que se interesa por conceptos como proximidad, continuidad, conexidad, compacidad, y muchos otros mas. Para abordarlos, es necesario establecer un cierto tipo de conjuntos (que en Topología se les conoce como los conjuntos abiertos). $\fbox{Bola abierta}$ La bola abierta con centro en $\bar{x}_0$ y radio $r>0$, es el conjunto: $$B(\bar{x}_0,r)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^n~|~\|\bar{x}-\bar{x}_0\|<r\}$$ $\fbox{Bola Cerrada}$ La bola cerrada con centro $\bar{x}_0$ y radio $r\geq 0$ es el conjunto: $$\bar{B}(\bar{x}_0,r)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^n~|~\|\bar{x}-\bar{x}_0\|\leq r\}$$ $\fbox{Esfera}$ La esfera con centro $\bar{x}_0$ y radio $r\geq 0$ es el conjunto: $$S(\bar{x}_0,r)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^n~|~\|\bar{x}-\bar{x}_0\|=r\}$$ Observemos que para la bola abierta $r>0$ estrictamente, mientras que la bola cerrada y la esfera pueden tener radio cero. En este último caso ambas se reducen a un punto:
\[ \bar{B}(\bar{x}_0,0)={\bar{x}_0} \]
\[ S(\bar{x}_0,0)={\bar{x}_0}~~ \blacksquare \] Los conjuntos $B(\overline{x}_0,r)$, $\bar{B}(\overline{x}_0,r)$ y $S(\bar{x}_0,r)$ son subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ y su aspecto geométrico depende de la métrica con la cual se midan las distancias. Ejemplo. \begin{align*} \overline{B}_2(0,1)&=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^2\ |\ \|\bar{x}\|_2\leq1\} \\ &=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^2|\sqrt{x^2+y^2}\ \leq1\} \\ &=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ x^2+y^2\leq1\} \end{align*} Geométricamente
La periferia de este disco es el circulo que tiene por ecuación $x^2+y^2=1$, que corresponde a la esfera $S_2(0,1)=\{\bar{x}\in \mathbb{R}^2\ |\ \|\bar{x}\|_2=1\}$.$~ \blacksquare$
Ejemplo. Sea ahora la bola cerrada \begin{align*} \bar{B}_2(0,1)&=\{\overline{x}\in\mathbb{R}^{2}~|~\|\bar{x}\|\leq1\} \\ &=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ |x|+|y|\leq1\} \end{align*} Geométricamente
Para $S_1(0,1)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^2\ |\ |\bar{x}|=1\}$
Para $\overline{B}_{\infty}(0,1)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^2\ |\ \|\bar{x}\|_{\infty}\leq1\}$ = $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ \max\{|x|,|y|\}\leq1\}$
tenemos entonces que
Las figuras anteriores muestran la situación geométrica, entre las bolas cerradas $\overline{B}_{1}(\overline{0},1),~\overline{B}_{2}(\overline{0},1),~\overline{B}_{\infty}(\overline{0},1)$ en forma explicita se escriben: \[ \max\{|x_1|,\cdots,|x_n|\}\leq \sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}\ \leq |x_1|+\cdots+|x_n| \] Las contenciones tanto para las bolas abiertas, como para las bolas cerradas se siguen de las desigualdades
\[ \|\bar{x}-x_0\|_{\infty}\leq \|\bar{x}-\bar{x}_0\|_2\leq \|\bar{x}-x_0\|_1 \] Pues por ejemplo si $\bar{x}\in B_2(\bar{x}0,r)$ entonces $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|_2<r$ luego $\|\bar{x}-\overline{x}_0\|_{\infty}<r$
$\therefore~~~\|\bar{x}-\bar{x}_0\|_{\infty}<r$ es decir $\overline{x}\subset B_{\infty}(x_0,r)$ $\therefore$ $B_2(\bar{x}0,r)\subset B_{\infty}(\bar{x}_0,r)$
Si $\overline{x}\in B_1(\bar{x}_0,r)$ entonces $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|_1<r$ luego $\|x-\bar{x}_0\|_2\leq \|\bar{x}-\bar{x}_0\|_1<r$ $\therefore$ $\|\overline{x}-\bar{x}_0\|_2<r$ $\therefore$ $\overline{x}\in B_2(x_0,r)$ $\therefore$ $B_1(\bar{x}_0,r)\subset B_2(x_0,r)$ Para las esferas no hay alguna relación similar, lo que se puede deducir de las desigualdades anteriores son las relaciones siguientes: \[S_1(\bar{x}_0,r)\subset \overline{B}_{2}(\bar{x}_0,r)\subset\overline{B}_{\infty}(\bar{x}_0,r)\] \[S_2(\bar{x}_0,r)\subset B_{\infty}(\bar{x}0,r)\hspace{1.7cm}\] \[S_{\infty}(\bar{x}0,r)\subset \overline{B}_{\infty}(\bar{x}_0,r)\hspace{1.8cm} \]
Conjuntos Abiertos y Conjuntos Cerrados
Un concepto importante en la topología de $\mathbb{R}^{n}$ es el de conjunto abierto. Junto con el de conjunto cerrado. Conjunto abierto y conjunto cerrado dos conceptos duales, en un sentido que trataremos de explicar. Por ahora solamente veremos la definición de cada uno de ellos y alguna de sus propiedades más importantes. Definición. Un conjunto $V\subset\mathbb{R}^n$ se dice que es $\textbf{abierto}$ si para cada $\bar{x}\in V$ existe una bola abierta $B(\bar{x},r)$ contenida en $V$. Es decir si para cada $\bar{x}\in V$ existe $r>0$ tal que $B(\bar{x},r)\subset V$.
Ejemplo. El espacio $\mathbb{R}^n$ es un conjunto abierto, pues dado cualquier $\bar{x}\in \mathbb{R}^n$, toda bola abierta $B(\bar{x},r)$ esta contenida en $\mathbb{R}^n$.$~~\blacksquare$
Ejemplo .Mostraremos que el $\emptyset$ es abierto. Suponemos que el $\emptyset$ no es abierto $\therefore$ $\exists$ $x\in \emptyset$ para el cual no es posible hallar una bola abierta $B(\bar{x},r)$ contenida en $\emptyset$. Pero esto no es posible ya que el $\emptyset$ no tiene elementos. Entonces debemos suponer que el $\emptyset$ no es abierto ${\large\textbf{!}}$ $~~~\therefore~~~\emptyset$ es abierto.$~~\blacksquare$
Proposición. Toda bola abierta en $\mathbb{R}^n$ es un conjunto abierto. Demostración. Sea $\bar{x}_0\in\mathbb{R}^n$ y $r>0$. Mostraremos que $B(\bar{x}_0,r)$ es un conjunto abierto. Debemos probar que para cada $\bar{x}\in B(\bar{x}_0,r)$, existe una bola abierta $B(\bar{x},r)$ contenida a su vez en la bola abierta $B(\bar{x}_0,r)$. Sea pues $\bar{x}\in B(\bar{x}_0,r)$ y consideremos $R=r-\|\bar{x}-\bar{x}_0\|$. Como $\bar{x}\in B(\bar{x}_0,r)$ se tiene entonces que $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|<r$ $\therefore$ $R>0$. Mostraremos que la bola abierta $B(\bar{x},R)$ esta contenida en $B(\bar{x}_0,r)$.
esto prueba que $\bar{y}\in B(\bar{x}_0,r)$.$~~\blacksquare$
Ejemplo.Mostraremos que en $\mathbb{R}^2$, el semiplano superior $$V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2~|~y>0\}$$ es un conjunto abierto respecto a la norma $\|\overline{x}\|_1$ Solución.
Sea $\overline{v}_{0}=(x_{0},y_{0})\in V$. Se tiene entonces que $y_{0}>0$ consideremos $r=y_{0}$ y consideremos la bola $B_{1}(\bar{v}_0,y_0)$ y sea $\bar{v}=(x,y)\in B_1(\bar{v}_0,y_0)$ se tiene que $\|\bar{v}-\overline{v}_0\|_1<y_0$, es decir, $|x-x_0|+|y-y_0|<y_0$. Debemos probar que $y>0$. (1) $y$ no puede ser cero pues si $y=0$ $|x-x_0|+|y-y_0|<y_0$ $\Rightarrow$ $|x-x_0|+|y_0|<y_0$ ${\large\textbf{!}}$ (Falso) es decir no puede ocurrir que $|x-x_0|+|y_0|$ sea menor que $y_{0}$. (2) $y$ no puede ser negativa pues $|x-x_0|+|y-y_0|=|x-x_0|+\underset{*}{\underbrace{|y|+y_0}}>y_0$ ${\large\textbf{!}}$ (Falso) * $y<y_0$ $\Rightarrow$ $|y-y_0|=-y+y_0=|y|+|y_0|$ $\therefore$ $y$ tiene que ser $y>0$ $\therefore$ $B_1(\bar{v}_0,y_0)$ esta en el semiplano superior.$~~ \blacksquare$ Definición. Un conjunto $F\subset\mathbb{R}^n$ se dice que es $\textbf{cerrado}$ si su complemento $F^c=\mathbb{R}^n-F$ es un conjunto abierto.
Ejemplo. Los conjuntos $\mathbb{R}^n$ y $\emptyset$ son cerrados. En efecto $\mathbb{R}^n$ es cerrado pues su complemento $\emptyset$ es abierto. Similarmente $\emptyset$ es cerrado pues su complemento $\mathbb{R}^n$ es abierto.$~\blacksquare$
Ejemplo. Un conjunto con un solo punto ${\bar{0}}$ es cerrado ya que $\mathbb{R}^n-{\bar{0}}$ es abierto.$~~\blacksquare$
Proposición. Toda bola cerrada en $\mathbb{R}^n$ es un conjunto cerrado. Demostración. Sea $\bar{x}_0\in \mathbb{R}^n$ y $r\geq0$. Probaremos que la bola cerrada $\bar{B}(x_0,r)$ es un conjunto cerrado, es decir, que su complemento $\mathbb{R}^n-\bar{B}(x_0,r)$ es un conjunto abierto. Sea pues $\bar{x}\in\mathbb{R}^n-\bar{B}(x_0,r)$. Mostraremos que existe una bola abierta $B(\bar{x},R)$ contenida en $\mathbb{R}^n-\bar{B}(x_0,r)$. Como $\bar{x}$ no está en la bola cerrada $\bar{B}(x_0,r)$, se tiene entonces que $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|>r$. Definamos $R=\|\bar{x}-\bar{x}_0\|-r>0$, esto equivale a $r=\|\bar{x}-\bar{x}_0\|-R$. Veamos que $B(\bar{x},R)\subset\mathbb{R}^n-\bar{B}(x_0,r)$
luego $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|<R+\|\bar{y}-\bar{x}_0\|$ $\therefore$ $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|-R<\|\bar{y}-\bar{x}_0\|$, es decir, $r<\|\bar{y}-\bar{x}_0\|$. Esto significa que $\bar{y}\not\in \bar{B}(\bar{x}_0,r)$, es decir, $\bar{y}\in\mathbb{R}^n-\bar{B}(\bar{x}_0,R)$.$~~\blacksquare$
Ejemplo. Muestre que el conjunto $$V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~x\leq y\}$$ es un conjunto cerrado. Solución. Sea $V^{c}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~x>y\}$. mostraremos que $V^{c}$ es un conjunto abierto
Sea $\overline{v}_{0}=(x_{0},y_{0})\in V^{c}$ entonces $x_{0}>y_{0}$. Definimos $r=x_{0}-y_{0}>0$ ahora consideramos $B(\overline{v}_{0},r)$ vamos probar que $B(\overline{v}_{0},r)\subset V^{c}$ Sea $\overline{v}_{1}=(x,y)\in B(\overline{v}_{0},r)$ con la norma $\|\overline{x}\|_{1}$ se tiene $$\|\overline{v}_{1}-\overline{v}_{0}\|_{1}<r~\Rightarrow~|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<r~\Rightarrow~|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<x_{0}-y_{0}$$ por lo tanto $$x-y=x-x_{0}+y_{0}-y+x_{0}-y_{0}=x_{0}-y_{0}+x-x_{0}+y_{0}-y\geq x_{0}-y_{0}-\left(|x-x_{0}|+|y-y_{0}|\right)>0$$ la última desigualdad se obtiene de la propiedad $-|x-x_{0}|\leq x-x_{0}\leq |x-x_{0}|$. De esta manera $x-y>0~\Rightarrow~x>y$ y en consecuencia $v_{1}\in V^{c}$ por lo que $V^{c}$ es un conjunto abierto y por lo tanto V es un conjunto cerrado.$~\blacksquare$ Ejemplo. Sea $V={(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~x+y>0}$. Demuestre que V es un conjunto abierto
Solución. Sea $\bar{v}_{0}=(x_{0},y_{0})\in V$ entonces $x_{0}+y_{0}>0$. Definimos $r=x_{0}+y_{0}>0$ ahora consideramos $B(\bar{v},r)$ vamos probar que $B(\bar{v},r)\subset V$ Sea $\bar{v}_{1}=(x,y)\in B(\bar{v},r)$ con la norma $\|.\|_{1}$ se tiene $$\|\bar{v}-\bar{v}_{0}\|_{1}=|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<r$$ por lo tanto $$x+y=x-x_{0}-y_{0}+y+x_{0}+y_{0}=x_{0}+y_{0}+x-x_{0}-y_{0}+y\geq x_{0}-y_{0}-\left(|x-x_{0}|+|y-y_{0}|\right)>0$$
de esta manera $x+y>0$ y en consecuencia $\bar{v}_{1}\in V$ por lo que V es un conjunto abierto.$~~\blacksquare$
Ejemplo Sea $V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~y>x^{2}\}$. Demuestre que V es un conjunto abierto
Solución. Sea $\bar{v}_{0}=(x_{0},y_{0})\in V$ entonces $y_{0}>x^{2}{0}$. Definimos $r=y_{0}+x^{2}{0}>0$ y ahora consideramos $B(\bar{v},r)=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=\epsilon^{2}$
vamos probar que $B(\bar{v},r)\subset V$. Sea $\bar{v}_{1}=(x,y)\in B(\bar{v},r)$ cada punto en $B(\bar{v},r)$ cumple $$|x-x_{0}|<\epsilon~~~|y-y_{0}|<\epsilon$$ y usando la identidad algebraica $$x_{0}^{2}=x^{2}-2(x-x_{0})x_{0}-(x-x_{0})^{2}$$ tenemos que $$y>y_{0}-\epsilon=x_{0}^{2}+y_{0}-x_{0}^{2}-\epsilon=x^{2}-2(x-x_{0})x_{0}-(x-x_{0})^{2}+y_{0}-x_{0}^{2}-\epsilon>x^{2}-2\epsilon x_{0}-\epsilon^{2}+y_{0}-x_{0}^{2}-\epsilon$$ Por lo tanto $$y>x^{2}-2\epsilon x_{0}-\epsilon^{2}+y_{0}-x_{0}^{2}-\epsilon>x^{2}se~cumple~para~\epsilon=\min\left\{1,\frac{y-x_{0}^{2}}{2|x_{0}|+2}\right\}$$ de esta manera $y>x^{2}$ y en consecuencia $\bar{v}_{1}\in V$ por lo que V es un conjunto abierto.$~~\blacksquare$
Ejemplo. Sea $V={x\in\mathbb{R}~|~f(x)>0}$. Demuestre que V es un conjunto abierto
Solución. Sea $y\in V$ entonces $f(y)>0$. Definimos $\epsilon=f(y)$ y como f es continua $$si~~0<|x-y|<\delta~\Rightarrow~|f(x)-f(y)|<\epsilon=f(y)~\Rightarrow~-f(y)<f(x)-f(y)<f(y)~\Rightarrow~0<f(x)$$ por lo tanto $$\forall~x\in B(x,\delta)~se~tiene~f(x)>0$$de esta manera $B(y,\delta)\subset V$ por lo que V es un conjunto abierto.$~~\blacksquare$
Ejemplo. Sea $V={(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~a<x<b~,~c<y<d}$. Demuestre que V es un conjunto abierto.
Solución. Sea $X=(x_{1},y_{1})\in V$ entonces $a<x_{1}<b$ y $c<y_{1}<d$. Definimos $\epsilon=\min\{x_{1}-a,b-x_{1},y_{1}-c,d-y_{1}\}$ por tanto si $(x,y)\in B(X,\epsilon)$
debe ocurrir $$a<x_{1}-\epsilon<x<x_{1}+\epsilon<b~~y~~c<y_{1}-\epsilon<y<y_{1}+\epsilon<d$$ por lo tanto $$(x,y)\in V~\therefore~B(X,\epsilon)\subset V$$y en consecuencia V es un conjunto abierto.$~~\blacksquare$
Propiedades de los conjuntos abiertos y cerrados
Proposición:Si A y B son subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^{n}$, entonces $A\bigcup B$ es un conjunto abierto de $\mathbb{R}^{n}$. Demostración. Sea $\overline{x}\in A\cup B$. Se tiene entonces que $\overline{x}\in A$ ó $\overline{x}\in B$. Si $\overline{x}\in A$, entonces, puesto que A es abierto existe $r>0$ tal que $B_{r}(\overline{x})\subset A$, luego $B_{r}(\overline{x})\subset A\cup B$ Si $\overline{x}\in B$, entonces, puesto que B es abierto existe $r>0$ tal que $B_{r}(\overline{x})\subset B$, luego $B_{r}(\overline{x})\subset A\cup B$. En cualquiera de los casos, existe una bola abierta $B_{r}$ contenida en $A\cup B$. $\therefore$ $A\cup B$ es abierto.$~~\blacksquare$
Proposición. Si A y B son subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^{n}$, entonces $A\bigcap B$ es un conjunto abierto de $\mathbb{R}^{n}$.}$ Demostración. Sea $\overline{x}\in A\cup B$. Se tiene entonces que $\overline{x}\in A$ y $\overline{x}\in B$. Puesto que A es abierto $\exists~r_{1}>0$ tal que $B(\overline{x},r_{1})\subset A$. Puesto que b es abierto $\exists~r_{2}>0$ tal que $B(\overline{x},r_{2})\subset B$.\Sea $r=\min{r_{1},r_{2}}$, entonces se tiene que \begin{align*} B(\overline{x},r) & \subset B(\overline{x},r_{1}) \\ B(\overline{x},r) & \subset B(\overline{x},r_{2}) \end{align*} Por lo tanto $B(\overline{x},r)\subset A$ y $B(\overline{x},r)\subset B$, o sea $B(\overline{x},r)\subset A\cap B$.$~~\blacksquare$
Proposición. Si A y B son subconjuntos cerrados de $\mathbb{R}^{n}$, entonces $A\bigcup B$ es un conjunto cerrado de $\mathbb{R}^{n}$.}$ Demostración. Para mostrar que $A\bigcup B$ es un conjunto cerrado, tenemos que mostrar que $(A\bigcup B)^{c}$ es un conjunto abierto, al ser A, B conjuntos cerrados entonces $A^{c},~B^{c}$ son conjuntos abiertos y por leyes de D’morgan $$(A\bigcup B)^{c}=A^{c}\bigcap B^{c}$$ ahora bien por el resultado anterior se tiene que la intersección de conjuntos abiertos es un conjunto abierto, esto prueba que $(A\bigcup B)^{c}$ es un conjunto abierto, por lo tanto $A\bigcup B$ es un conjunto cerrado.$~~\blacksquare$
Proposición. Si A y B son subconjuntos cerrados de $\mathbb{R}^{n}$, entonces $A\bigcap B$ es un conjunto cerrado de $\mathbb{R}^{n}$.}$ Demostración. Para mostrar que $A\bigcap B$ es un conjunto cerrado, tenemos que mostrar que $(A\bigcap B)^{c}$ es un conjunto abierto, al ser A, B conjuntos cerrados entonces $A^{c},~B^{c}$ son conjuntos abiertos y por leyes de D’morgan $$(A\bigcap B)^{c}=A^{c}\bigcup B^{c}$$ ahora bien por el resultado anterior se tiene que la unión de conjuntos abiertos es un conjunto abierto, esto prueba que $(A\bigcap B)^{c}$ es un conjunto abierto, por lo tanto $A\bigcap B$ es un conjunto cerrado.$~~\blacksquare$
Generalizaciones de la proposiciones anteriores de la familias de conjuntos.
Proposición. La unión arbitraria de conjuntos abiertos en $\mathbb{R}^{n}$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^{n}$}$ Demostración. Sea ${A_{\alpha}}$ una colección de subconjuntos de $\mathbb{R}^{n}$ tal que $A_{\alpha}$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^{n}$. Sea $\displaystyle{A=\bigcup A_{\alpha}}$. Sea $\overline{x}_{0}\in A$. Entonces existe $\alpha$ tal que $\overline{x}_{0}\in A_{\alpha}$ y como $A_{\alpha}$ es un conjunto abierto, existe $r>0$ tal que $$B(\overline{x}_{0},r)\subset A{\alpha}\subset \bigcup A_{\alpha}=A$$ Por lo tanto A es abierto.$~~\blacksquare$
Propposición. La intersección finita de conjuntos abiertos en $\mathbb{R}^{n}$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^{n}$}$ Demostración. Sean $A_{1},A_{2},…,A_{k}$ subconjutos abiertos de $\mathbb{R}^{n}$. Sea $\displaystyle{B=\bigcap_{i=1}^{k}A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap …\cap A_{k}}$. Sea $\overline{x}_{0}\in B$. Entonces $\overline{x}_{0}\in A_{i}$ para toda $1\leq i\leq k$. Cada $A_{i}$ es un conjunto abierto. Por lo tanto existe $r_{i}>0$ tal que $B(\overline{x}_{0},r{i})\subset A_{i}$ para toda $1\leq i\leq k$. Sea $r=\min{r_{1},r_{2},…,r_{n}}>0$. Entonces $$B(\overline{x}_{0},r)\subset B(\overline{x}_{0},r_{i})\subset A_{i}~~\forall~i=1,…,n$$ Por lo tanto $$B(\overline{x}_{0},r)\subset \bigcap_{i=1}^{k}A_{i}=B$$ y por lo tanto B es un conjunto abierto.$~~\blacksquare$
Proposición. La unión finita de conjuntos cerrados en $\mathbb{R}^{n}$ es un conjunto cerrado en $\mathbb{R}^{n}$}$ Demostración. Sean $A_{1},…,A_{k}\subset \mathbb{R}^{n}$ conjuntos cerrados y sea $\displaystyle{B=\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}}$. Entonces $$B^{c}=\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right)^{c}=\bigcap_{i=1}^{n}A^{c}_{i}$$ el cual es un conjunto abierto de $\mathbb{R}^{n}$. Por lo tanto B es un conjunto cerrado de $\mathbb{R}^{n}$.$~~\blacksquare$
Proposición. La intersección finita de conjuntos cerrados en $\mathbb{R}^{n}$ es un conjunto cerrado en $\mathbb{R}^{n}$}$ Demostración. Sea ${A_{\alpha}}$ una colección de subconjuntos de $\mathbb{R}^{n}$ tales que cada $A_{\alpha}$ es cerrado en $\mathbb{R}^{n}$. Por lo tanto para cada $\alpha$, $A^{c}{\alpha}$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^{n}$. Sea $\displaystyle{A=\bigcap{\alpha}A_{\alpha}}$ tal que $$A^{c}=\left(\bigcap_{\alpha}A_{\alpha}\right)^{c}=\bigcup_{\alpha}A^{c}_{\alpha}$$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^{n}$. Por lo tanto A es un conjunto cerrado en $\mathbb{R}^{n}$.$~~\blacksquare$
Definición. Un elemento $\bar{x}\in A$ se dice que es un $\textbf{punto interior}$ de $A$, si existe una bola abierta con centro en $\bar{x}$ contenida en $A$ es decir si $\exists$ $r>0$ tal que $B(\bar{a},r)\subset A$. Denotamos por $int(A)$ al conjunto formado por todos estos puntos, es decir $$int(A)=\{\overline{x}\in\mathbb{R}^{n}~|~\overline{x}~es~punto~interior~de~A\}$$ y diremos que este conjunto es el interior de A.
Ejemplo. Determinar el $int(A),~~Fr(A),~~ext(A)$ con \[ A=\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\cap\left(\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\right)=\left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}~\big{|}~(x,y)\in\mathbb{Q}~~y~~0\leq x\leq1~~0\leq y\leq1\right\} . \]
Solución. Primero analicemos la figura, ¿qué pasa si tomamos un $(x,y)$ en $A$ y un $r>0$?, ¿qué podemos observar?. Si recordamos la densidad de los irracionales sabemos que podemos encontrar un $x’$ irracional entre $x$ y $x+r$, entonces si tomamos el punto $(x’,y)$ podemos ver que esta dentro de $B_{r}(x,y)$, pero $(x’,y)$ no es un punto de $A$. Esto pasa para toda $r>0$ y todo $(x,y)$ en $A$. Entonces, podemos afirmar que el $int(A)=\emptyset$. Ademas, podemos decir que para todo $(x,y)$ en $A$ y todo $r>0$ se tiene que $B_{r}(x,y)\cap A^{c}\neq\emptyset$. Usando el mismo argumento, pero ahora para los racionales, podemos decir que para cualquier $(x,y)$ y $r>0$ se tiene que $B_{r}(x,y)\cap A\neq\emptyset$. Todo esto dentro del cuadrado $\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]$. Entonces, podemos afirmar que $Fr(A)=\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]$.
¿Que podemos decir del exterior? De lo anterior podemos deducir que $ext(A)=\mathbb{R}{{}^2}-\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]$. Entonces, demostremos la siguiente afirmación:
Afirmación:$ $int(A)=\emptyset$ Demostración. Sean $(x,y)\in A$ y $r>0$. Mostraremos que $B_{r}(x,y)\cap A^{c}\neq\emptyset$, es decir, que para cualquier punto $(x,y)$ de $A$ y cualquier radio $r>0$, la bola $B_{r}(x,y)$ siempre contiene puntos de $A^{c}$, es decir, que $A$ no tiene puntos interiores. Como $(x,y)\in A$, entonces $x\in\mathbb{Q}$ y por la densidad de los irracionales sabemos que siempre existe un $x’\notin\mathbb{Q}$ tal que $x<x'<x+r$……$\bigstar$ Tomemos el punto $(x’,y)$ y calculemos su distancia con $(x,y)$: \[ \| (x,y)-(x’,y)\|=\| (x-x’,0)\|=\sqrt{(x-x’)^{2}}=\underset{**}{\underbrace{\left|x-x’\right|<r}}\text{ esta ultima desigualdad se cumple por }\bigstar \] Veamos por que se cumple $**$. De $\bigstar$ tenemos que $x<x'<x+r$, restando $x$ tenemos $x-x<x’-x<x+r-x$ $\Longrightarrow0<x’-x<r$ como esto es positivo, le podemos sacar el valor absouto y se mantiene la desigualdad $0<|x’-x|<r$ y sabemos que $|a-b|=|b-a|$. Por lo tanto, $|x-x’|<r$. Entonces, como $\left\Vert (x,y)-(x’,y)\right\Vert <r$, tenemos que $(x’,y)\in B_{r}(x,y)$, pero como $x’\notin\mathbb{Q}$ esto implica que $(x’,y)\notin\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$. Por lo tanto, $B_{r}(x,y)\cap\left(\mathbb{R}^{2}-\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\right)\neq\emptyset$. Podemos observar que $A\subset\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ $\Longrightarrow$ $B_{r}(x,y)\cap\left(\mathbb{R}^{2}-A\right)=B_{r}(x,y)\cap A^{c}\neq\emptyset$, es decir, que para todo $r>0$ se tiene que $B_{r}(x,y)$ siempre interseca a $A^{c}$. Por lo tanto, $int(A)=\emptyset$.$~~\blacksquare$
Afirmación: $Fr(A)=\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]$}$ Demostración. Primero mostraremos que $\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\subset Fr(A)$. Sea $(x,y)\in\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]$ y $r>0$. Ya probamos que $B_{r}(x’,y’)\cap A^{c}\neq\emptyset$, falta probar que $B_{r}(x,y)\cap A\neq\emptyset$. (Para que se cumpla la definición de frontera). Tenemos varios casos para $x$ y $y$: $(1)$ Supongamos que $0\leq x<1$ y $0\leq y<1$. Por la densidad de los números racionales, sabemos que existen $x’,y’\in\mathbb{Q}$ tal que: \[ x<x'<min\left\{1,x+\frac{r}{\sqrt{2}}\right\},\text{y }y<y'<min\left\{1,y+\frac{r}{\sqrt{2}}\right\}…………………\clubsuit \] Entonces, $\underset{\spadesuit}{\underbrace{(x’,y’)\in A}}$ y además $\displaystyle{|x-x’|<\frac{r}{\sqrt{2}}}$ y $\displaystyle{|y-y’|<\frac{r}{\sqrt{2}}}$. Así podemos ver lo siguiente: \[ ||(x,y)-(x’,y’)||=\sqrt{(x-x’)+(y-y’)}<\sqrt{\left(\frac{r}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\left(\frac{r}{\sqrt{2}}\right)^{2}}=r, \] lo que nos dice que el punto $(x’,y’)\in B_{r}(x,y)$, y por $\spadesuit$ tenemos que $B_{r}(x,y)\cap A\neq\emptyset$. $(2)$ En este caso juntaremos los casos que faltan. Escogiendo a $x’,y’$ como en $\clubsuit$, tenemos lo siguiente: (a) Si $x=1$ y $y<1$ nos fijamos en la pareja $(1,y’)$, (b) Si $x<1$ y $y=1$ nos fijamos en la pareja $(x’,1)$, y (c) Si $x=1$ y $y=1$nos fijamos en la pareja $(1,1)$. Podemos observar que estos puntos están en $A$, pues sus entradas pertenecen a los racionales. Por lo tanto, $B_{r}(x,y)\cap A\neq\emptyset$. Por lo tanto, $\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\subset Fr(A)$.
Afirmación: $ext(A)=\mathbb{R}^{2}-\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]$}$ Demostración. Primero mostremos que $\mathbb{R}^{2}-\{\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\}\subset ext(A)$. Sea $(x,y)\in\mathbb{R}^{2}-\{\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\}$ y supongamos que $x<0$ ó $1<x$, (la otra posibilidad es que $y<0$ ó $y>1$, pero se hace de manera análoga). (1) Si $x<0$, entonces tomamos $r=|x|>0$. Vamos a mostrar que $B_{r}(x,y)\subset\mathbb{R}^{2}-\{\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\}$. Observemos que $\mathbb{R}^{2}\{\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\}\subset A^{c}…………..\spadesuit$. Sea $(x’,y’)\in B_{r}(x,y)$, sabemos que \[ |x-x|\leq\left\Vert (x,y)-(x’,y’)\right\Vert <r \] pero $|x|=r$, entonces \[ |x-x’|<|x|=-x\text{ pues }x<0 \] entonces \[ x<x-x'<-x\Longrightarrow-x+x<-x+x-x'<-x-x\Longrightarrow0<-x'<-2x \] multiplicando por $(-1)$, tenemos que $x'<0$, lo cual implica que $(x’,y’)\notin\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]$. Así tenemos que $(x’,y’)\in\mathbb{R}^{n}-\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]$. Entonces, $B_{r}(x,y)\subset\mathbb{R}^{n}-\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]$. Por lo tanto, por $\spadesuit$, $B_{r}(x,y)\subset A^{c}$, lo cual implica que $(x,y)\in ext(A)$. (2) Si $x>1$, entonces tomamos $r=x-1>0$. Vamos a mostrar que $B_{r}(x,y)\subset\mathbb{R}^{2}-\{\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\}$. Observemos que $\mathbb{R}^{2}\{\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\}\subset A^{c}…………..\spadesuit$. Sea $(x’,y’)\in B_{r}(x,y)$, sabemos que
Vamos a mostrar que $B_{r}(x,y)\subset\mathbb{R}{{}^2}-\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]$. Observemos que $\mathbb{R}{{}^2}\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\subset A^{c}…………..\spadesuit$.\ Sea $(x’,y’)\in B_{r}(x,y)$, sabemos que \[ |x-x’|\leq\left\Vert (x,y)-(x’,y’)\right\Vert <r=x-1 \]
entonces tenemos que $x’>1$, lo cual nos dice que $(x’,y’)\notin\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]$. Así tenemos que $(x’,y’)\in\mathbb{R}^{n}-\{\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\}$. Entonces, $B_{r}(x,y)\subset\mathbb{R}^{n}-\{\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\}$. Por lo tanto, por $\spadesuit$, $B_{r}(x,y)\subset A^{c}$, lo cual implica que $(x,y)\in ext(A)$. Por lo tanto, $\mathbb{R}^{2}-\{\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\}\subset ext(A)$. De la proposición tenemos que $\mathbb{R}^{n}=int(A)\cup ext(A)\cup Fr(A)$, en nuestro caso obtuvimos que $int(A)=\emptyset$. Entonces,
\[ \mathbb{R}{{}^2}=ext(A)\cup Fr(A) \] y de esto obtenemos las siguientes igualdades \[ \mathbb{R}{{}^2}-ext(A)=Fr(A)………\clubsuit\text{ y }\mathbb{R}{{}^2}-Fr(A)=ext(A)………\clubsuit\clubsuit. \] De $\clubsuit$ tenemos $Fr(A)\subset\mathbb{R}{{}^2}-ext(A)$ y de $(2)$ tenemos $\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\subset Fr(A)$, entonces $\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\subset Fr(A)\subset\mathbb{R}{{}^2}-ext(A)………….\maltese$ De $(3)$ tenemos $\mathbb{R}^{2}-\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\subset ext(A)$, entonces
entonces \[ \mathbb{R}^{2}\subset ext(A)\cup\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\Longrightarrow\mathbb{R}^{2}-ext(A)\subset\left(ext(A)\cup\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\right)-ext(A) \]
así tenemos \[ \mathbb{R}^{2}-ext(A)\subset\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]…………..\maltese\maltese \]
Entonces, por $\maltese$ y $\maltese\maltese$ tenemos que $Fr(A)=\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]$. Y de esta igualdad y de $\clubsuit\clubsuit$ tenemos que $ext(A)=\mathbb{R}^{2}-\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]$.$~~\blacksquare$
Proposición: Si $A\subset\mathbb{R}^{n}$, entonces: (1) $int(A)\subset A$ (2) $ext(A)\subset A^{c}$ (3) (a) $int(A)\cap ext(A)=\emptyset$, (b) $int(A)\cap Fr(A)=\emptyset$ y (c) $Fr(A)\cap ext(A)=\emptyset$ (4) $\mathbb{R}^{n}=int(A)\cup ext(A)\cup Fr(A)$ (5) $int(A^{c})=ext(A)$ y $Fr(A)=Fr(A^{c})$.
Demostración. (1) Por demostrar que $int(A)\subset A$. Sea $\hat{x}\in int(A)$ $\Longrightarrow$ por definición que existe $r>0$ tal que $B_{r}(\hat{x})\subset A$. Como $\hat{x}\in B_{r}(\hat{x})$ (por definición de bola), entonces $\hat{x}\in A$. Por lo tanto, $int(A)\subset A$.
(2) Por demostrar que $ext(A)\subset A^{c}$. Sea $\hat{x}\in ext(A)$ $\Longrightarrow$ por definición que existe $r>0$ tal que $B_{r}(\hat{x})\subset A^{c}$. Como $\hat{x}\in B_{r}(\hat{x})$ (por definición de bola), entonces $\hat{x}\in A^{c}$. Por lo tanto, $ext(A)\subset A$.
3_aPor demostrar que $int(A)\cap ext(A)=\emptyset$. Supongamos por contadicción que $int(A)\cap ext(A)\neq\emptyset$, esto implica que existe $\hat{x}\in int(A)\cap ext(A)$ $\Longrightarrow$ $\hat{x}\in int(A)$ y $\hat{x}\in ext(A)$, esto implica por (1) y (2) que $\hat{x}\in A$ y $\hat{x}\in A^{c}$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $int(A)\cap ext(A)=\emptyset$.
3_b Por demostrar que $int(A)\cap Fr(A)=\emptyset$. Supongamos por contadicción que $int(A)\cap Fr(A)\neq\emptyset$, esto implica que existe $\hat{x}\in int(A)\cap Fr(A)$ $\Longrightarrow$ $\hat{x}\in int(A)$ y $\hat{x}\in Fr(A)$. Así, tenemos lo siguiente: $(a).$ Existe $r>0$ tal que $B_{r}(\hat{x})\subset A$, y $(b).$ Para todo $r’>0$ se tiene que $B_{r’}(\hat{x})\cap A\neq\emptyset$ y $B_{r’}(\hat{x})\cap A^{c}\neq\emptyset$. En particular, por $(a)$, para $r>0$ tenemos que $B_{r}(\hat{x})\cap A^{c}=\emptyset$, lo cual contradice la hipótesis $(b)$. Por lo tanto, $int(A)\cap Fr(A)=\emptyset$.
3_c Por demostrar que $Fr(A)\cap ext(A)=\emptyset$. Supongamos por contradicción que $Fr(A)\cap ext(A)\neq\emptyset$, esto implica que existe $\hat{x}\in Fr(A)\cap ext(A)$ $\Longrightarrow$ $\hat{x}\in Fr(A)$ y $\hat{x}\in ext(A)$. Así, tenemos lo siguiente: $(a).$ Para todo $r>0$ se tiene que $B_{r’}(\hat{x})\cap A\neq\emptyset$ y $B_{r’}(\hat{x})\cap A^{c}\neq\emptyset$, y $(b).$ Existe $r’>0$ tal que $B_{r’}(\hat{x})\subset A^{c}$. Así, por $(b)$tenemos que existe $r’>0$ tal que $B_{r’}(\hat{x})\cap A=\emptyset$, lo cual contradice la hipótesis $(a)$. Por lo tanto, $Fr(A)\cap ext(A)=\emptyset$.
(4) Por demostrar que $\mathbb{R}^{n}=int(A)\cup Fr(A)\cup ext(A)$. Como $A\subset\mathbb{R}^{n}$, se tiene que $int(A)\cup Fr(A)\cup ext(A)\subset\mathbb{R}^{n}$. Falta ver que $\mathbb{R}^{n}\subset int(A)\cup Fr(A)\cup ext(A)$. Sea $\hat{x}\in\mathbb{R}^{n}$, como $A\subset\mathbb{R}^{n}$entonces tenemos tres casos:
$(a)$ Existe $r>0$ tal que $B_{r}(\hat{x})\subset A$, entonces por definición tenemos que $\hat{x}\in int(A)$,
$(b)$ existe $r>0$ tal que $B_{r}(\hat{x})\subset A^{c}$, entonces por defición tenemos que $\hat{x}\in ext(A)$, o $(c)$ para todo $r>0$ se tiene que $B_{r}(\hat{x})\cap A^{c}\neq\emptyset$ y $B_{r}(\hat{x})\cap A\neq\emptyset$, entonces por definición $\hat{x}\in Fr(A)$. Así tenemos que, $\mathbb{R}^{n}\subset int(A)\cup Fr(A)\cup ext(A)$. Por lo tanto, $\mathbb{R}^{n}=int(A)\cup Fr(A)\cup ext(A)$.
$(5)$ (a) Por demostrar que $int(A^{c})=ext(A)$. $\subset\rfloor$ $int(A^{c})\subset ext(A)$ Sea $\hat{x}\in int(A^{c})$, por definición se tiene que existe $r>0$ tal que $B_{r}(\hat{x})\subset A^{c}$, pero esta es la definición de un punto exterior de $A$. Por lo tanto, $\hat{x}\in ext(A)$. $\supset\rfloor$ $ext(A)\subset int(A^{c})$. Sea $\hat{x}\in ext(A)$, por definición se tiene que existe $r>0$ tal que $B_{r}(\hat{x})\subset A^{c}$, pero esta es la definición de un punto interior de $A^{c}$. Por lo tanto, $\hat{x}\in int(A^{c})$. Por lo tanto, $int(A^{c})=ext(A)$.$~~\blacksquare$
Definición. Sea $A\subset \mathbb{R}^{n}$. Definimos la cerradura de A, que denotamos por $\overline{A}$, como $$\overline{A}=int(A)\cup Fr(A)$$
Proposición. Sea $A\subset \mathbb{R}^{n}$. Las siguientes afirmaciones son ciertas: (1) $Int(A)$ es un conjunto abierto (2) $Ext(A)$ es un conjunto abierto (3) $Fr(A)$ es un conjunto cerrado (4) $\overline{A}$ es un conjunto cerrado. Demostración. (1) Sea $\overline{x}\in Int(A)$, entonces existe $r>0$ tal que $B(\overline{x},r)\subset A$. Sea $\overline{y}\in B(\overline{x},r)$, existe $r’>0$ tal que $B(\overline{y},r’)\subset B(\overline{x},r)\subset A$ por lo que $\overline{y}\in Int(A)$ y por tanto $B(\overline{x},r)\subset Int(A)$. (2) Como $Ext(A)=Int(A^{c})$ y de acuerdo al inciso anterior este conjunto es abierto. (3) Tenemos que $$(Fr(A))^{c}=\mathbb{R}^{n}-Fr(A)=int(A)\cup Ext(A)$$ ambos conjuntos son conjuntos abiertos y la unión de conjuntos abiertos es abierta, entonces este conjunto es abierto y por tanto $Fr(A)$ es cerrado. (4) Se tiene que $$(\overline{A}^{c})=\mathbb{R}^{n}-(int(A)\cup Fr(A))=ext(A)$$ el cual es conjunto abierto, por lo tanto $\overline{A}$ es un conjunto cerrado.$~~\blacksquare$
Punto de Acumulación
Definición. Sea $A\subset\mathbb{R}^{n}$ y $\overline{x}\in\mathbb{R}^{n}$. Se dice que (1) $\overline{x}$ es un $\textit{$\textbf{punto de acumulación}$}$ de A, si toda bola abierta con centro en $\overline{x}$ contiene un punto de A distinto de $\overline{x}$ es decir $$\forall r>0, \quad \left(B(\overline{x},r)-{\overline{x}}\right)\cap A\neq \emptyset$$ Al conjunto de $\textbf{puntos de acumulación}$ de A se le denomina el $\textbf{conjunto derivado}$ de A y se le denota $A’$. (2) $\overline{x}\in A$ es un \textbf{punto aislado} de A si $\overline{x}$ no es un punto de acumulación de A, es decir, si existe $r>0$ tal que $$(B(\overline{x},r)-{\overline{x}})\cap A=\emptyset.$$
Ejemplo. Sea $$A={(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~x^{2}+y^{2}<1}$$ Muestre que $\displaystyle{\overline{x}_{0}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}$ es un punto de acumulación de A. Solución. Vamos a considerar el punto $\displaystyle{\overline{x}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}(r+1)},\frac{1}{\sqrt{2}(r+1)}\right)}$, para $r>0$. Tenemos entonces que
Tenemos entonces que $\displaystyle{\overline{x}\in B\left(\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right),r\right)}$. Por lo tanto $$\left[B\left(\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right),r\right)-\left\{\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right\}\right]\bigcap A\neq \emptyset$$ Por lo tanto $\displaystyle{\overline{x}_{0}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}$ es un punto de acumulación de A.$~~\blacksquare$
