(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la presente nota veremos el concepto de base de un espacio vectorial, veremos que es un conjunto de vectores linealmente independiente, cuyo generado nos da el espacio vectorial. Precisemos esto y demos la definición.

Definición

Sean $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$ y $\beta$ un subconjunto de $V$. Decimos que $\beta$ es una base de $V$ si genera a $V$ y es linealmente independiente. Decimos que $V$ es de dimensión finita si tiene una base finita.

Ejemplos

$1.$ En este ejemplo obtendremos la base para el espacio vectorial $\mathbb R^n$. Considera el vector cuyas entradas son todas cero excepto la $i$-ésima que es uno:

$e_i=(0,\dotsc,1,\dotsc,0).$

Veamos que $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ es $l.i.$ Sean $\lambda_1,\dotsc,\lambda_n\in \mathbb R^n$ tales que:

$\lambda_1 e_1+\dotsc +\lambda_n e_n =\bar{0}.$

Entonces tenemos

$\lambda_1 (1,0,\dotsc, 0) + \lambda_2 (0,1,\dotsc, 0)+ \cdots + \lambda_n (0,0,\dotsc,0,1)= (0,0,\dotsc, 0).$

Desarrollando resulta que

$(\lambda_1,\lambda_2,\dotsc,\lambda_n)=(0,0,\dotsc, 0)$

y comparando coordenada a coordenada concluimos que

$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0.$

Y por lo tanto $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ es $l.i.$

Veamos que $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ genera a $\mathbb R^n$. Sabemos que $\langle \mathscr C \rangle \subseteq \mathbb R^n$ ya que $e_1,\dotsc,e_n\in \mathbb R^n$, y por lo tanto toda combinación lineal de ellos es un vector en $\mathbb R^n $.

Ahora si $ (x_1,x_2,\dotsc, x_n)\in \mathbb R^n$

$(x_1,x_2,\dotsc,x_n)=x_1(1,0,\dotsc,0)+x_2(0,1,\dotsc,0)+\dotsc+x_n(0,0,\dotsc,1).$

Observa que $x_1(1,0,\dotsc,0)+x_2(0,1,\dotsc,0)+\dotsc+x_n(0,0,\dotsc,1)$ es una combinación lineal de los elementos de $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$, es decir $x_1(1,0,\dotsc,0)+x_2(0,1,\dotsc,0)+\dotsc+x_n(0,0,\dotsc,1)\in \langle \mathscr C \rangle$. Así, cualquier vector en $\mathbb R^n$ es un elemento en $ \langle \mathscr C \rangle$, es decir $\mathbb R^n \subseteq \langle \mathscr C \rangle$.

Concluimos que $\mathbb R^n = \langle \mathscr C \rangle$.

Como el conjunto $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ es linealmente independiente y genera a $\mathbb R^n$, es una base de $\mathbb R^n$, se le llama la base canónica de $\mathbb R^n$.

$2.$ Consideremos el subespacio de $\mathbb R^3$ dado por $W=\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x-y+2z=0}$. Busquemos una base de $W$.

Notemos que si $(x,y,z)\in W$, entonces $ x-y+2z=0$, o bien:

$x=y-2z.$

Así, $(x,y,z)=(y-2z,y,z)=y(1,1,0)+z(-2,0,1).$

Entonces

$W=\set{y(1,1,0)+z(-2,0,1)\mid y,z\in \mathbb R}=\langle (1,1,0), (-2,0,1) \rangle .$

Con ello hemos probado que el conjunto $S=\{(1,1,0),(-2,0,1)\}$ genera a $W$, así que sólo falta ver que es un conjunto linealmente independiente para verificar que es una base de $W$.

Para ver que $S$ es linealmente independiente veamos que la única manera de obtener al vector cero como combinación lineal de $(1,1,0),(-2,0,1)\in W$, es la trivial. Pero esto es cierto pues si $\lambda,\mu \in \mathbb R$ son tales que

$\lambda(1,1,0)+\mu(-2,0,1)=(0,0,0)$,

desarrollando tenemos que:

$(\lambda-2\mu,\lambda,\mu)=(0,0,0)$

y comparando coordenada a coordenada obtenemos que

$\begin{align} \lambda-2\mu &=0\\ \lambda &=0\\ \mu &=0.\\ \end{align}$

Por lo tanto $\lambda=\mu=0$.

Así $S=\set{(1,1,0),(-2,0,1)}$ es $l.i.$

Concluimos que $S$ es un conjunto de vectores $l.i$ y $\langle S \rangle=W$, entonces $S$ es una base de $W$. Así, $S=\set{(1,1,0),(-2,0,1)}$ es una base de $W$.

Entendamos un poco más quién es $W$. Observamos que de hecho $W$ es un plano que pasa por el origen, y tanto $(1,1,0)$ como $(-2,0,1)$ son vectores en dicho plano. $W$ es entonces el plano definido por estos dos vectores. Notemos que cualquier combinación lineal de $(1,1,0)$ y $(-2,0,1)$ será también un vector en el plano $W$ y todo vector en $W$ se puede obtener como una combinación lineal de dichos vectores. Además, como $(1,1,0)$ y $(-2,0,1)$ no son colineales, por el lema de la nota previa forman un conjunto linealmente independiente.

Observa en el siguiente recurso de geogebra cómo cualquier combinación lineal de los vectores $(1,1,0),(-2,0,1)$, es un elemento del plano que pasa por el origen y la punta de los dos vectores en color rosa. Este plano está en color azul, mientras que el plano en color gris es el plano $xy$.

Puedes mover los puntos $A$ y $B$ y ver que el generado de esos vectores, es un plano que pasa por el origen. Mueve $A$ y $B$ de manera que sean colineales y constata que el generado en ese caso se limita a una recta.

Nota

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Si $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ genera a $V$, todo conjunto $l.i$ de $V$ tiene a lo más $m$ elementos. En consecuencia todo conjunto $l.i$ de $\mathbb R^n$ tiene a lo más $n$ elementos.

Lema

Sea $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ un conjunto $l.i$ en $\mathbb R^n$. Si $w\in \mathbb R^n$ es tal que $w\notin \langle v_1,\dotsc,v_m \rangle$ entonces $\set{v_1,\dotsc,v_m,w}$ es $l.i.$

Demostración

Sean $\set{v_1,\dotsc,v_m}\subseteq \mathbb R^n$ un conjunto $l.i$ y $w\in \mathbb R^n$ con $w\notin \langle v_1,\dotsc,v_m \rangle$.

Sean $\lambda_1,\dotsc, \lambda_{m+1}\in \mathbb R$ tales que

$\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_m v_m+\lambda_{m+1} w=\bar{0}.$

Si $\lambda_{m+1}\neq 0$ tendríamos que

$w=-\frac{\lambda_1}{\lambda_{m+1}}v_1-\cdots-\frac{\lambda_m}{\lambda_{m+1}}v_m,$

entonces $w$ sería una combinación lineal de los elementos del conjunto $\set{v_1,\dotsc,v_m}$, y por lo tanto $w\in \langle v_1,\dotsc,v_m \rangle$. Pero esto es una contradicción a las hipoótesis, así $\lambda_{m+1}=0$, de donde $\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_m v_m=\bar{0}$ y como $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ es $l.i.$ tenemos que $\lambda_1=\lambda_1=\cdots=\lambda_m= \lambda_{m+1}=0$ y por lo tanto $\set{v_1,\dotsc,v_m,w}$ es $l.i.$

$\square$

Teorema

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Existe $\beta$ una base de $V$.

Demostración

Sea $V\leq \mathbb R^n$. Si $V=\set{\bar{0}}$, $\emptyset $ es $l.i$ y $\langle \emptyset \rangle =\set{\bar{0}}=V$.

Si $V\neq \set{\bar{0}}$ existe $v_1\in V$ tal que $v_1\neq \bar{0}.$

Puede suceder que $\langle v_1 \rangle=V$ en cuyo caso $\set{v_1}$ es una base de $V$.

Si $\langle v_1 \rangle\subsetneq V$, sea $v_2\in V\setminus \langle v_1 \rangle$. Por el lema antes probado $\set{v_1,v_2}$ es $l.i.$

Si $\set{v_1,v_2}$ genera a $V$, $\set{v_1,v_2}$ es una base de $V$.

Si $\langle v_1,v_2 \rangle\subsetneq V$, sea $v_3\in V\setminus \langle v_1,v_2 \rangle$. Por el lema antes probado $\set{v_1,v_2,v_3}$ es $l.i.$

Continuando de este modo obtenemos conjuntos $\set{v_1,\dotsc,v_t}\,\,\, l.i. $ en cada paso.

Por la nota $t\leq n$ así que el proceso es finito y en algún momento obtenemos que $\set{v_1,\dotsc,v_m}\subseteq V$ un conjunto $l.i$ que genera a $V$, por lo tanto es una base de $V$.

$\square$

Corolario

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Todo conjunto $l.i$ de $V$ se puede completar a una base de $V$.

Demostración

Esta demostración queda como tarea moral

Teorema

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Todo subconjunto $l.i$ de $V$ se puede completar a una base de $V$.

Demostración

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Todas las bases de $V$ son finitas y tienen el mismo número de elementos.

Demostración

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$, y sean $\beta,\beta’ $ bases de $V$.

Por la nota $\beta$ y $\beta’ $ son finitas y además:

$\beta $ es $l.i$ y $\beta’$ genera a $V$ entonces $\#\beta \leq \#\beta’$.

$\beta’ $ es $l.i$ y $\beta$ genera a $V$ entonces $\#\beta’ \leq \#\beta$.

Y por lo tanto $\#\beta =\#\beta’$.

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales y el subconjunto de $\mathbb R^3$ indicado en cada inciso. Encuentra una base de $\mathbb R^3$ que contenga a $S$:

$i)$ $S=\set{(1,0,1)}.$

$ii)$ $S=\set{(-2,1,5),(3,0,2)}.$

$2.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Encuentra al menos tres bases para el subespacio $W=\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x-3y+4z=0}$. ¿Cuántos elementos tienen estas bases?

$3.$ Encuentra bases para los siguientes subespacios del correspondiente $\mathbb R^n$ visto como espacio vectorial sobre los reales:

$i)$ $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid 3x-2y+5z=0}$

$ii)$ $\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid x=y+w}$

Más adelante

En la siguiente nota veremos el concepto de dimensión de un espacio vectorial.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 30. Dependencia e independencia lineal

Enlace a la nota siguiente. Nota 32. Dimensión de un $\mathbb R-$ espacio vectorial

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la siguiente nota veremos cuándo un conjunto de vectores en $\mathbb R^n$ es linealmente dependiente o linealmente independiente , veremos que esta idea está íntimamente relacionada a distinguir cuándo un conjunto de vectores tiene entre sus elementos algún vector que sea combinación lineal de los otros.

Definición

Sea $S=\set{v_1,\dotsc,v_m}\subseteq \mathbb R^n$ con $m$ vectores.

El conjunto es linealmente dependiente si existen $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$ no todos nulos tales que:

$\lambda_1 v_1+\dotsc +\lambda_m v_m=\bar{0}$

Decimos que es linealmente independiente si

$\lambda_1 v_1+\dotsc +\lambda_m v_m=\bar{0}$, entonces $\lambda_1=\cdots=\lambda_m=0$.

Es decir, la única manera de obtener una combinación lineal de esos vectores igual al vector cero, es si en ella todos los vectores están multiplicados por cero.

Abreviaremos $l.d$ o $l.i$ respectivamente.

Ejemplos

$1.$ Sean $v_1=(2,4),v_2=(-1,5),v_3=(-2,-4)$ vectores de $\mathbb R^2$.

Como $(0,0)=v_1+v_3=1 v_1+0 v_2+1 v_3+0 v_4$, el conjunto $\set{v_1,v_2,v_3,v_4}$ es $l.d.$

$2.$ Sean $v_1=(-1,2,4),v_2=(1,8,8),v_3=(1,3,2)$ vectores de $\mathbb R^3$.

Como $(0,0)=v_1-v_2+2 v_3 =1 v_1+(-1) v_2+2 v_3$, el conjunto $\set{v_1,v_2,v_3}$ es $l.d.$

$3.$ Sean $v_1=(-2,1,0,1),v_2=(1,0,-1,0),v_3=(0,1,3,2)$ vectores de $\mathbb R^4$. ¿Es $\set{v_1,v_2,v_3}$ linealmente independiente?

Sean $\lambda,\mu, \nu \in \mathbb R$ tales que:

$\lambda (-2,1,0,1)+\mu (1,0,-1,0)+\nu (0,1,3,2)=(0,0,0,0)$

Desarrollando la expresión anterior obtenemos que:

$(-2\lambda+\mu,\lambda+\nu,-\mu+3\nu,\lambda+2 \nu)=(0,0,0,0)$

Comparando coordenada a coordenada obtenemos:

$\begin{align} -2\lambda+\mu &=0\\ \lambda+\nu &=0\\-\mu+3\nu &=0\\ \lambda+2 \nu &=0 \end{align}$

Restando la ecuación $2$ a la $4$ tenemos que $\nu=0$, y entonces por la ecuación $3$ tenemos que $\mu=3\nu=3\cdot 0=0$. Además de la ecuación $2$ sabemos que $\lambda=-\nu=-0=0$, de forma que $\lambda=\mu=\nu=0$ y por lo tanto el conjunto $\set{v_1,v_2,v_3}$ es linealmente independiente.

Observa que lo que hemos tratado de exhibir en estos ejemplos para probar si un conjunto de vectores $v_1,\dotsc,v_m \in \mathbb R^n$ distintos, es $l.d$ o $l.i$, consiste en ver si existen $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m \in \mathbb R$ no todos nulos tales que $\lambda_1 v_1+\dotsc+\lambda_m v_m=\bar{0}$, o si la única forma de que $\lambda_1 v_1+\dotsc +\lambda_m v_m=\bar{0}$, es que $\lambda_1=\dotsc=\lambda_m =0$. En el primer caso el conjunto es $l.d$ y en el segundo $l.i.$

Observación 1

Sean $S$ y $S’$ subconjuntos finitos de $\mathbb R^n $ con $S’\subseteq S$.

$a)$ Si $S’$ es $l.d$, entonces $S$ es $l.d$.

$b)$ Si $S$ es $l.i$, entonces $S’$ es $l.i$.

Demostración de $a)$.

Sean $S’\subseteq S\subseteq \mathbb R^n$ con $S$ y $S’$ finitos. Entonces los conjuntos son de la forma

$S=\set{v_1,\dotsc,v_t}$

$S’=\set{v_1,\dotsc,v_t,v_{t+1},\dotsc,v_m}.$

Supongamos que $S’$ es $l.d$. Así, existen $\lambda_1,\dotsc,\lambda_t\in\mathbb R$ no todos nulos tales que $\lambda_1 v_1+\dotsc+\lambda_t v_t=\bar{0}$.

Tenemos entonces que $\lambda_1 v_1+\dotsc+\lambda_t v_t+0 v_{t+1}+\dotsc+0 v_m =\bar{0}$ con $\lambda_1,\dotsc,\lambda_t,0\in \mathbb R$ no todos nulos, por lo tanto $S$ es $l.d.$

Demostración de $b)$.

Es la contrapuesta de $a)$.

$\square$

Observación 2

Dos vectores en $\mathbb R^n $ forman un conjunto $l.d$ si y sólo si uno es múltiplo del otro.

Demostración

$\Longrightarrow$ Demostración de la implicación de ida

Supongamos que $\set{u,v}$ es $l.d$. Entonces existen $\lambda, \gamma \in \mathbb R$ no ambos nulos tales que $\lambda u+\gamma v=\bar{0}$, si $\lambda \neq 0$ tenemos que $u=-\frac{\gamma}{\lambda} v$, si $\gamma \neq 0$ tenemos que $v=-\frac{\lambda}{\gamma} u$.

$\Longleftarrow$ Demostración de la implicación de regreso

Sin pérdida de generalidad supongamos que $u=\mu v$ con $\mu\in \mathbb R$, entonces $1u+(-\mu)v=\bar{0}$ con $1\neq 0$. Así $\set{u,v}$ es $l.d$.

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Determina si los siguientes conjuntos son $l.i$.

$i.$ $\set{(1,2,4),(0,0,3),(0,1,7)}$

$ii.$ $\set{(1,2,4),(0,0,3),(0,1,7)}$

$2.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^2$ sobre el campo de los reales. ¿Para qué valores de $k$ el conjunto $\set{(3k,2),(-k,k+1)}$ es $l.i$?.

$3.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Sea $S=\set{v_1,v_2,v_3}$ un subjconjunto de $\mathbb R^3$ tal que ningun vector en él es múltiplo de otro. ¿Es $S$ linealmente independiente?

$4.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^n$ sobre el campo de los reales. Sea $S=\set{v_1,\dotsc,v_m}$ un subjconjunto de $\mathbb R^n$ tal que todo subconjunto de $S$ con $m-1$ vectores es linealmente independiente. ¿Es $S$ linealmente independiente?

Más adelante.

En la siguiente nota estudiaremos el concepto de base de un espacio vectorial, nuestro espacio vectorial en este curso es $\mathbb R^n$.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 29. Subespacio generado

Enlace a la nota siguiente. Nota 31. Bases de $\mathbb R^n$

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la nota anterior vimos que si consideramos las combinaciones lineales de un conjunto $S\subseteq \mathbb R^n$, este conjunto al que denotamos $\mathscr C(S)$ tiene estructura de espacio vectorial. En la presente nota continuaremos con el estudio de subespacios vectoriales, y haremos énfasis en una definición, la de subespacio generado por un conjunto $S$.

Demos entonces la definición de subespacio generado.

Definición

Sea $S$ un subconjunto de $\mathbb R^n$. El subespacio de $\mathbb R^n$ generado por $S$ es el conjunto de combinaciones lineales de $S$ si $S\neq \emptyset$, o bien $\set{\bar{0}}$ si $S=\emptyset$.

Se denota por $\langle S \rangle$ (en algunos textos lo denotan por $Span(S)$.

Decimos que $S$ genera a $\langle S\rangle $ o que $S$ es un conjunto generador de $\langle S \rangle $.

Notación

Sean $v_1,\dotsc,v_m\in \mathbb R^n.$

$\langle \set{v_1,\dotsc,v_m}\rangle$ se denota por $\langle v_1,\dotsc,v_m\rangle .$

Ejemplos

$1.$ Consideremos $\mathbb R^3$

$S=\set{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}=\set{e_1,e_2,e_3}.$

Claramente $\langle S\rangle \subseteq \mathbb R^3$. Además, si $(a,b,c)\in \mathbb R^3$

$(a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,01)\in \langle S\rangle .$

Concluimos que $\langle S\rangle =\mathbb R^3$ y decimos entonces que $S$ genera a $\mathbb R^3$.

$2.$ ¿El vector $(7,5,9)$ se encuentra en el generado por el conjunto $S=\set{(2,1,3),(1,1,1)}$?, es decir

¿$(7,5,9)\in \langle (2,1,3),(1,1,1)\rangle $?

Veamos si existen $\lambda, \mu\in \mathbb R$ tales que:

$(7,5,9)=\lambda (2,1,3)+\mu (1,1,1).$

En otras palabras buscamos $\lambda, \mu\in \mathbb R$ tales que:

$(7,5,9)= (2 \lambda+\mu,\lambda+\mu,3\lambda+\mu).$

Comparando coordenada a coordenada obtenemos que:

$2 \lambda+\mu=7$

$ \lambda+\mu=5$

$3\lambda+\mu=9.$

Esto lo resolvemos restando a la ecuación $1$ la $2$, y obtenemos que:

$\lambda=2,$

y como $ \lambda+\mu=5$, entonces $\mu=5-\lambda=5-2=3$.

Además con estos valores de $\lambda$ y de $\mu$ se satisface la ecuación $3$, pues $3\lambda+\mu=3\cdot 2+3=9.$

Tenemos entonces que:

$(7,5,9)=2 (2,1,3)+3 (1,1,1)$ y por lo tanto $(7,5,9)\in \langle (2,1,3),(1,1,1)\rangle $.

$3.$ ¿$(1,1,2,3)\in \langle (1,1,1,4),(1,-1,1,5)\rangle $?

Buscamos $\lambda, \mu\in \mathbb R$ tales que:

$(1,1,2,3)=\lambda (1,1,1,4)+\mu (1,-1,1,5)$

Desarrollando obtenemos:

$(1,1,2,3)=(\lambda+\mu,\lambda-\mu,\lambda+\mu,4\lambda+5 \mu).$

Comparando coordenada a coordenada obtenemos que:

$\lambda+\mu=1$

$\lambda-\mu=1$

$\lambda+\mu=2$

$4 \lambda+5 \mu=3.$

Observamos que si esto ocurriera tendríamos que $\lambda+\mu=1$ y al mismo tiempo $\lambda+\mu=2$, y por lo tanto $1=2$ lo cual es una contradicción. De modo que no existen $\lambda, \mu\in \mathbb R$ que satisfagan esas condiciones y así $(1,1,2,3)\notin \langle (1,1,1,4),(1,-1,1,5)\rangle .$

$4.$ Consideremos $\mathbb R^3$ y $S=\set{(1,1,1),(1,-1,0),(1,0,0)}.$

¿Será acaso que $\langle S\rangle =\mathbb R^3$?

Sabemos que $\langle S\rangle \subseteq \mathbb R^3$. Ahora si $(a,b,c)\in \mathbb R^3$, ¿$(a,b,c)\in \langle S\rangle $?, ¿existirán $\lambda, \mu,\nu \in \mathbb R$ tales que:

$(a,b,c)=\lambda (1,1,1)+\mu (1,-1,0)+\nu (1,0,0) $?

Si esto ocurriera tendríamos entonces:

$(a,b,c)=\lambda (1,1,1)+\mu (1,-1,0)+\nu (1,0,0)$

y desarrollando, esto implicaría que:

$(a,b,c)= (\lambda+\mu+\nu ,\lambda-\mu,\lambda)+\nu (1,0,0)$

Comparando coordenada a coordenada obtendríamos que:

$\lambda+\mu+\nu =a$

$\lambda-\mu=b$

$\lambda=c$

Así $\lambda=c$. Como además $\lambda-b=\mu$, entonces $\mu=c-b$. Finalmente sustituyendo los valores de $\lambda=c$ y $\mu=c-b$ en la primera ecuación obtenemos que:

$\nu=a-\mu-\lambda=a-(c-b)-c=a-c+b-c=a+b-2c.$

Así:

$(a,b,c)=c (1,1,1)+(c-b) (1,-1,0)+(a+b-2c)(1,0,0)$.

Concluimos que $\mathbb R^3\subseteq \langle S\rangle $ y por lo tanto $\langle S\rangle =\mathbb R^3$. Decimos entonces que $S$ es un generador de $ \mathbb R^3$.

Importante

Si $W\subseteq \langle S\rangle $ pero $W\neq \langle S\rangle $, entonces el generado de $S$ no es $W$.

Por ejemplo:

Si $W=\set{(a,a)\mid a\in \mathbb R}$ y $S=\set{(1,0),(0,1)}$, el generado de $S$, es $\mathbb R^2=\langle S\rangle $, observa que $W\subseteq \langle S\rangle $, pero $S$ no genera a $W$, si no a algo más amplio que es $\mathbb R^2$.

Tarea Moral

$1.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Determina si el vector $v$ pertenece al subespacio $W$ dado.

$i)$ $v=(2,-3,7)$ y $W=\langle (1,0,0),(1,-1,0),(1,-1,-1)\rangle .$

$ii)$ $v=(1,-4,3,-1)$ y $W=\langle (1,1,1,0),(1,0,1,1)\rangle .$

$2.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Describe al subespacio $W=\langle (3,1,2),(-4,-5,1)\rangle .$

Más adelante

En la siguiente nota veremos los conceptos de dependencia e independencia lineal.

Enlaces relacionados

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Nota anterior. Nota 28 Combinaciones lineales.

Nota siguiente. Nota 30. Dependencia e independencia lineal.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la presente nota definiremos lo que son las combinaciones lineales de los elementos de un subconjunto de $\mathbb R^n$, veremos que si iniciamos con cualquier subconjunto no vacío de $\mathbb R^n$ y consideramos todas sus combinaciones lineales, este conjunto tendrá siempre la estructura de espacio vectorial.

Iniciemos con la definición de combinaciones lineales.

Definición

Sean $m\in \mathbb N^+$ y $v_1,\dotsc,v_m\in \mathbb R^n$, una combinación lineal de $v_1,\dotsc,v_m$ es una expresión de la forma:

$\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_m v_m$

con $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.

De modo más general, si $S$ es un subconjunto de $\mathbb R^n$, una combinación lineal de vectores de $S$ es un vector de la forma:

$\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_m v_m$,

con $v_1,\dotsc,v_m\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.

Ejemplos

$1.$ Considera al conjunto $S=\set{(1,0,0),(1,-1,0),(1,1,-1)}.$

$2(1,0,0)-(1,-1,0)+5(1,1,-1)=(6,6,-5)$

$-3(1,0,0)+0(1,-1,0)+(1,1,-1)=(-2,1,-1)$

$0(1,0,0)+(1,-1,0)+5(1,1,-1)=(6,4,-1)$

son combinaciones lineales de vectores de $S.$

$2.$ Considera al conjunto $S=\set{ (1,2,0,5),(-1,3,2,-\frac{1}{2}) }.$

$4(1,2,0,5)+9(-1,3,2,-\frac{1}{2})=(-5,35,18,\frac{39}{2})$

es una combinación lineal de vectores de $S$.

$3.$ Considera al conjunto $S=\set{(\frac{1}{n},\frac{1}{n})\mid n\in \mathbb N^+}$. Observa que

$S=\set{(1,1),(\frac{1}{2},\frac{1}{2}),(\frac{1}{3},\frac{1}{3})\dotsc}.$

Entonces

$2(\frac{1}{2} , \frac{1}{2})+3(\frac{1}{6} ,\frac{1}{6} )-4(\frac{1}{12}, \frac{1}{12})=(\frac{7}{6} , \frac{7}{6})$

es una combinación lineal de vectores de $S$.

Importante

Aunque el conjunto $S$ sea infinito, en una combinación lineal sólo se usa una cantidad finita de vectores de $S$.

Proposición

Sea $S$ un subconjunto no vacío de $\mathbb R^n$. El conjunto de todas las combinaciones lineales de $S$, que denotamos por $\mathscr C(S)$, cumple lo siguiente:

$i)$ Es un subespacio de $\mathbb R^n$, es decir $\mathscr C(S)\leq \mathbb R^n$.

$ii)$ Contiene al conjunto $S$, es decir $S\subseteq \mathscr C(S)$.

$iii)$ El conjunto $\mathscr C(S)$ está contenido en cualquier subespacio $W$ de $\mathbb R^n$ que contenga a $S$.

Demostración

Demostración de $i)$.

Por demostrar que $\mathscr C(S)\leq \mathbb R^n$.

Como $S\neq \emptyset$, sea $v\in S$. Tenemos que $\bar{0}=0v\in \mathscr C(S).$

Sean $v,w\in \mathscr C(S)$, por demostrar que $v+w\in \mathscr C(S).$

Como $v,w\in \mathscr C(S)$ tenemos que

$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_n$, con $n\in \mathbb N^+$, $v_1,\dotsc,v_n\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_n\in \mathbb R$, y

$w= \mu_1 w_1+\dotsc+ \mu_m w_m$, con $m\in \mathbb N^+$, $w_1,\dotsc,w_m\in S$ y $\mu_1,\dotsc,\mu_m\in \mathbb R$.

Entonces

$v+w=(\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_n) + (\mu_1 w_1+\dotsc+ \mu_m w_m)$

por lo cual la suma $v+w$ es otra combinación lineal de elementos de $S,$ y por lo tanto $v+w\in \mathscr C(S)$.

Sea $v\in \mathscr C(S)$ y $\gamma\in \mathbb R.$

Por demostrar que $\gamma v\in \mathscr C(S).$

Como $v\in \mathscr C(S)$ tenemos que

$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_n$, con $n\in \mathbb N^+$, $v_1,\dotsc,v_m\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.

Observa entonces que:

$\gamma v=\gamma (\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_n)=(\gamma \lambda_1) v_1+\dotsc+ (\gamma \lambda_n )v_n$

que también es una combinación lineal de los elementos de $S$ y por lo tanto $\gamma v\in \mathscr C(S)$.

Y como $\bar{0}\in \mathscr C(S)$, $v+w\in \mathscr C(S)$ para todos $v,w\in \mathscr C(S)$, y $\gamma v\in \mathscr C(S)$ para todo $\gamma \in \mathbb R$ y todo $ v\in \mathscr C(S)$, concluimos que $\mathscr C(S)$ es un subespacio de $\mathbb R^n$.

Demostración de $ii)$

Por demostrar que $S\subseteq \mathscr C(S)$.

Sea $v\in S$, por demostrar que $v\in \mathscr C(S)$.

Como $v=1v$, entonces es una combinación lineal y por tanto $v\in \mathscr C(S)$, así $S\subseteq \mathscr C(S)$.

Demostración de $iii)$

Sea $W$ un subespacio de $\mathbb R^n$ que contiene a $S$, es decir tal que $S\subseteq W$.

Por demostrar que $\mathscr C(S)\subseteq W.$

Sea $v\in \mathscr C(S).$

$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_n$, con $n\in \mathbb N^+$, $v_1,\dotsc,v_m\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.

Para cada $i$, $v_i\in S$ y $S\subseteq W$, entonces $v_i\in W$ para todo $i$.

Como $W$ es un subespacio vectorial el producto por escalares es cerrado y entonces $\lambda_i v_i\in W$ para todo $i$, además la suma es cerrada en $W$ por lo que:

$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_n\in W$.

Por lo tanto $\mathscr C(S)\subseteq W$.

Tarea Moral

$1.$ Sea $S=\set{(1,1,1),(-4,-4,-4)}$. En caso de ser posible, halla $3$ subespacios de $\mathbb R^3$ que contengan a $S$, si no es posible explica por qué.

$2$. Sea $S=\set{(2,-5,3),(4,-1,0)}$. En caso de ser posible, encuentra $3$ subespacios de $\mathbb R^3$ que contengan a $S$, si no es posible explica por qué.

Más adelante

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Nota siguiente. Nota 29. Subespacio generado.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Un subespacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial, que mantiene la estructura de espacio vectorial, procederemos a identificarlos para el espacio vectorial $\mathbb R^n$.

Un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^n$ es un conjunto de vectores que satisface ciertas propiedades y forma una estructura algebraica dentro del espacio vectorial $\mathbb{R}^n$. En pocas palabras, es un conjunto de vectores contenidos en $\mathbb{R}^n$ que es cerrado bajo la adición de vectores y la multiplicación por escalares.

Formalmente, un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^n$ es un conjunto $W$ de vectores en $\mathbb{R}^n$ que cumple con tres propiedades:

1. Contiene el vector cero: El vector cero, denotado por $\bar{0}$, siempre pertenece al subespacio vectorial $W$. Es decir, $\bar{0} \in W$.
2. Cerrado bajo la adición: Si $u$ y $v$ son vectores en $W$, entonces la suma $u + v$ también pertenece a $W$. Es decir, $u + v \in W$ para cualquier $u,v \in W$.
3. Cerrado bajo la multiplicación por escalares: Si $w$ es un vector en $W$ y $\lambda$ es un escalar, entonces el producto escalar $\lambda\,w$ también pertenece a $W$. Es decir, $\lambda w \in W$ para cualquier $w \in W$ y cualquier escalar $\lambda$.

Estas tres propiedades aseguran que el subespacio vectorial $W$ es un conjunto que contiene el vector cero, es cerrado bajo la adición de vectores y la multiplicación por escalares.

Los subespacios vectoriales de $\mathbb{R}^n$ pueden tener dimensiones diferentes. Un subespacio vectorial unidimensional, por ejemplo, sería una línea recta que pasa por el origen en $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$. Un subespacio vectorial bidimensional sería un plano que pasa por el origen, y así sucesivamente. Estos subespacios pueden ser utilizados para describir y analizar diversas propiedades y estructuras geométricas en el espacio vectorial $\mathbb{R}^n$.

Prueba moviendo los puntos $A$ y $B$ de los vectores en rojo y verde, observa que cualquier combinación de esos vectores se queda contenida en el plano y que se ilustra con el vector en color negro. Todas las combinaciones lineales de los vectores en rojo y el verde dan origen a un plano que pasa por el origen, este lugar geométrico tiene la característica de ser un sub espacio vectorial de $\mathbb R^3$.

Definición

Sea $W$ un subconjunto de $\mathbb R^n$. Decimos que $W$ es un subespacio de $\mathbb R^n$ si:

i) $\bar{0}\in W$.

ii) $u+v\in W\,\,\,\,\forall u,v\in W$.

iii) $\lambda w\in W\,\,\,\,\forall \lambda \in \mathbb R\,\,\,\,\forall w \in W$.

Notación

$W\leq \mathbb R^n$ denotará que $W$ es un subespacio de $\mathbb R^n$.

Ejemplos

1. $\set{(x,y,0)\mid x,y\in \mathbb R}\leq \mathbb R^n$.

2. $\set{\bar{0}}\leq \mathbb R^n$.

3. $\mathbb R^n\leq \mathbb R^n$.

4. $W=\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid 2x-y+3z-w=0}$.

Demostración de 4

Tenemos que probar que el conjunto $W$ satisface las $3$ condiciones de la definición.

Satisface la propiedad $i$ pues $\bar{0}\in W$, ya que: $2\cdot 0-0+3\cdot 0-0=0$.

Veamos que satisface también la propiedad $ii$, es decir que $u+v\in W\,\,\,\,\forall u,v\in W$.

Sean $u,v\in W$, si $u=(x,y,z,w)$ y $v=(a,b,c,d)$, entonces por ser elementos de $W$ cumplen que:

$2x-y+3z-w=0$

$2a-b+3c-d=0$

Sumando estas expresiones obtenemos $2(x+a)-(y+b)+3(z+c)-(w+d)=0$, haciendo evidente que el vector $(x+a,y+b,x+c,w+d)\in W$, pero $(x+a,y+b,x+c,w+d)=(x,y,z,w)+(a,b,c,d)=u+v$, y por lo tanto $u+v\in W$.

Veamos que satisface la propiedad $iii$, es decir que $W$ es un conjunto cerrado bajo producto por escalares.

Sean $u=(x,y,z,w)\in W,$ $\lambda\in \mathbb R$.

Por demostrar que $\lambda w\in W$.

Como $u\in W$ entonces:

$2x-y+3x-w=0.$

Multiplicando por $\lambda$ obtenemos:

$\lambda (2x-y+3x-w)=0$

y entonces:

$2(\lambda x)-(\lambda y)+3(\lambda z)-(\lambda w)=0$.

Esto nos muestra que el vector $(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda w)\in W$, y como $(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda w)=\lambda (x,y,z,w)=\lambda u,$ concluimos que $\lambda u\in W$.

Observación

Nota que la definición de subespacio vectorial se puede acortar.

Si $W\subseteq \mathbb R^n$, tenemos que $W\leq \mathbb R^n$ si y sólo si se cumplen:

I) $\bar{0}\in W$

II) $\lambda u+v\in W\,\,\,\,\forall u,v\in W\,\,\,\,\forall \lambda\in \mathbb R^n$.

La demostración queda como tarea moral.

Proposición

La intersección de dos subespacios de $\mathbb R^n$ es un subespacio de $\mathbb R^n$.

Demostración

Sean $U,W$ subespacios de $\mathbb R^n$.

Por demostrar que $U\cap W$ es un subespacio de $\mathbb R^n$. Usaremos para ello la observación anterior.

Como $U$ y $W$ son subespacios, $\bar{0}\in U$ y $\bar{0}\in W$, por lo tanto $\bar{0}\in U\cap W$.

Sean $\lambda \in \mathbb R$, $v_1,v_2\in \mathbb R^n$, por demostrar que $\lambda v_1+v_2\in U\cap W$

Como $v_1,v_2\in U$ y $v_1,v_2\in W$, por ser $U$ y $W$ subespacios tenemos que:

$\lambda v_1+v_2\in U$ y $\lambda v_1+v_2\in W.$

Y por lo tanto $\lambda v_1+v_2\in U\cap W$.

Como se cumplieron las propiedades I y II tenemos que $U\cap W\leq \mathbb R^n$.

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Demostrar la observación de la nota.

$2.$ Sea $W$ un subconjunto de $\mathbb R^n$. Para que $W$ sea un subespacio de $\mathbb R^n$ ¿es necesario pedir que $\bar{0}\in W$ o se puede deducir de que $W$ es cerrado bajo producto escalar?

$3.$ Sea $W$ un subconjunto de $\mathbb R^2$. Prueba o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:

a) Si $W$ es cerrado bajo la suma y $\bar{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de $\mathbb R^2$.

b) Si $W$ es cerrado bajo producto por escalares y $\bar{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de $\mathbb R^2$.

c) Si $W$ es cerrado bajo la suma, bajo inversos aditivos y ademas $\bar{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de $\mathbb R^2$.

$4.$ Determina cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios de los correspondientes $\mathbb R^n$.

i) $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x\, y\, z=0}$.

ii) $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x+ y+ z=-x}$.

iii) $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid y\geq 0}$.

iv) $\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid x+y+3z-1=-7}$.

v) $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid \, z\,\,\,es\,\,\,racional}$.

Más adelante

En la siguiente nota veremos el concepto de combinaciones lineales.

Enlaces relacionados

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