En este apartado, se aborda el tema de funciones y factores de acumulación, donde se darán a conocer sus características o propiedades, su forma en que operan y algunos ejemplos de su aplicación. El factor de acumulación, es la manera a través de la cual los intereses se van creciendo, ya sea de forma lineal como lo es en el modelo de interés simple, o de forma compuesta, es decir; los intereses generan intereses, por lo que el crecimiento de éstos recursos es más rápido. Se entiende como valor acumulado como la cantidad total que se obtiene luego de que haya transcurrido un cierto periodo de tiempo.
Función de acumulación
Es aquella función que acumula una unidad monetaria, iniciando en un tiempo cero, luego de haber transcurrido un tiempo $t$, todo ésto con una tasa de interés. Tanto la tasa de interés como el periodo de tiempo, deben estar dados con la misma periodicidad, es decir, si por ejemplo: si el tiempo es anual, la tasa de interés que se esté manejando, igual debe de ser anual.
Cabe hacer mención, que hay función de acumulación para el modelo de interés simple, y hay función de acumulación para el modelo de interés compuesto.
Función de acumulación para interés simple
La acumulación simple que se utiliza en éste modelo, es aquella en la que el crecimiento de los intereses, se da de forma lineal, es decir, los intereses que se generan en un mismo periodo de tiempo, no se acumulan (no generan nuevos intereses) en el siguiente periodo. Dicha acumulación se puede calcular en cualquier momento.
La función de acumulación en este modelo de interés simple, es la función que se define como $a(t)$ que lleva un valor acumulado, luego de transcurrir un tiempo $t>0$. En este caso el capital que se va a manejar es de una unidad monetaria. Dicha función de acumulación $a(t)$ cumple que:
Es creciente y continua regularmente
En un valor $a(0)=1$
Si la función de acumulación va disminuyendo, para valor de $a$ con valores de $t$ crecientes, esto implica que hay un interés negativo.
Aunque puede ocurrir que haya intereses negativo, para efectos prácticos es irrelevante, para la mayoría de la situaciones.
El capital inicial que se invierte se le llama $K$ y es una cantidad mayor que cero, es decir; $K>0$.
$A(t)$ es la función monto con la que se obtiene el valor acumulado en el tiempo $t>0$ con un capital determinado $K$
Lo que se acaba de mencionar se traduce en lo siguiente:
$$A(t)=K a(t)$$
$$A(0)=K$$
Se denota la cantidad de intereses ganado durante un periodo de tiempo $t-$ésimo año, en una fecha de inversión $I_t$. Es decir:
$$I_t =A(t)-A(t-1)$$
para $t\leq 1$. Observe que $I_t$ considera el efecto del interés sobre un periodo $t$, en cambio $A(t)$ es una cantidad que se calcula en un tiempo determinado.
La función monto de acumulación que se tiene, cuando se está trabajando con un capital de un peso, es decir $K=1$, es una caso especial de dicha función de acumulación. En ambos casos, tanto la función de acumulación como la función monto se pueden usar de forma recíproca.
A continuación se muestran ejemplo del comportamiento de la función monto.
Elaboración propia. Comportamiento de la función de acumulación con el modelo de interés simpleElaboración propia. Comportamiento de la función de acumulación con el modelo de interés simple, pero es una gráfica que nos dice que no genera intereses.Elaboración propia. Comportamiento de la función de acumulación con el modelo de interés simple, pero es una gráfica que nos dice que no está acumulando de forma continua, puede darse cuando el interés se paga al final del periodo.
Función de acumulación para el modelo de interés compuesto
En este modelo, la función de acumulación lo intereses del capital inicial, generan intereses sobre intereses, es decir; los intereses se reinvierten ganando más intereses, por dicha característica se le conoce a este fenómeno como acumulación compuesta.
La función de acumulación, se define como la que acumula una unidad monetaria comprendido desde un momento cero, hasta un tiempo $t$ con una acumulación compuesta, y con una tasa efectiva de interés $i$, que debe coincidir con la temporalidad del tiempo, y viceversa. Dicha función es denotada por:
$$A(t)=(1+i)^t$$
Desarrollando dicha expresión de en la que está dada se comporta de la siguiente forma:
$$A(1)=1+i$$
$$A(2)=(1+i)(1+i)=(1+i)^2$$
$$A(3)=(1+i)(1+i)(1+i)=(1+i)^3$$
$$\vdots$$
$$A(t)=(1+i)^t$$
Elaboración propia. Comportamiento de la función de acumulación con el modelo de interés compuesto
La función de acumulación es válida para toda $t$. Es importante hacer mención ya que $t$ pertenece a intervalo $t \in[0,\infty)$, se puede ampliar a $A(t)$ para comprobar que la función es válida para dicho intervalo.
Entonces, sea $t \geq 0$, y $s \geq 0$
Partiendo de $(1+i)^t$ se tiene que:
$$A(t+s)=(1+i)^{t+s}$$
$$=(1+i)^t (1+i)^s=(A(t))(A(s))$$
a dicha expresión se le aplica la definición de derivada y entonces se obtiene:
Sustituyendo éste ultimo resultado, en $ln A(t)- ln A(0)=tA'(0)$, se da lugar a:
$$ln A(t)=t ln(1+i)=ln(1+i)^t$$
$$A(t)=(1+i)^t \forall t\geq 0$$
dicha expresión que se acaba de obtener, se puede escribir de la siguiente forma:
$$A(t)=A(0)(1+i)^t$$
Más adelante…
En las siguientes apartados se mostrara que diferentes maneras de como se pueden dar este proceso de acumulación, para fines de aplicación en la práctica real, sólo es necesario que se haga uso de 2 funciones de acumulación, que corresponde al modelo de interés simple y de interés compuesto.
El contenido de esta sección se basa predominantemente en el libro Wheeden, R.L., Zygmund, A., Measure and Integral. An Introduccion to Real Analysis. (2da ed.). New York: Marcel Dekker, 2015, págs 17-22.
Estamos por presentar las últimas notas de blog del curso de Análisis Matemático I. Pretendemos mostrar un puente entre lo que vimos aquí y lo que se aprenderá en Análisis Matemático II. Conoceremos algunas ideas que, eventualmente, nos llevarán al concepto de la integral de Riemann-Stieljes, un concepto que generaliza a la integral de Riemann (que suele verse en los cursos de Cálculo) pero que también es un caso particular de la integral de Lebesgue, la que se verá en la siguiente sección del blog. Para comenzar, analicemos los cambios que una función va tomando en un dominio cerrado.
Definición. Partición de un intervalo $\textbf{[a,b].}$ Sea $[a,b]$ un intervalo de $\mathbb{R}.$ Si $P = \{x_0=a, \, x_1, \, x_2,…,x_{n-1}, \, x_n = b\}, \, i=0,1,2,…,n \,$ es una colección de puntos tales que $x_0 =a, \, x_n = b$ y para cada $i =1,2,…,n$ se cumple que $x_{i-1}< x_i,$ entonces diremos que $P$ es una partición de $[a,b].$
Definición. Variación de $f$ sobre $[a,b].$ Considera una función $f:[a,b] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \,$ y sea $P=\{x_0, \, x_1, \, …, \, , x_n\}$ una partición de $[a,b].$ Definimos $S_P[f;a,b]$ (o bien $S_P$ cuando no hay necesidad de especificar la función y el intervalo) como: $$S_P[f;a,b] := \sum_{i=1}^{n}|f(x_i) \, -\, f(x_{i-1})|$$
La suma del tamaño de los segmentos naranjas es la $S_P.$
Entonces se suman las distancias que se generan al evaluar $f$ en cualesquiera dos puntos consecutivos de la partición.
Ya que para cada partición $P$ de $[a,b]$ existe su respectiva $S_P,$ podemos pensar en si la colección de todas las sumas tiene supremo. El supremo de las sumas de todas las particiones de $[a,b]$ recibe el nombre de variación de $f$ sobre $[a,b].$ Se denota como: $$ \underset{P \, \in \, \mathcal{P_{[a,b]}}}{Sup} \, S_P \, =V[f;a,b] \, = V [a,b]\, = V$$
Donde $\mathcal{P}_{[a,b]} \,$ es el conjunto de particiones de $[a,b].$
Las sumas pueden dar resultados distintos con particiones distintas
Definición. Función de variación acotada y de variación no acotada. Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}.$ Considera $V[f;a,b].$ Si el supremo de hecho existe en $\mathbb{R},$ entonces $0 \leq V$ y diremos que $f$ es de variación acotada en $[a,b].$ En otro caso diremos que $V = \infty \,$ y que $f$ es de variación no acotada.
Ejemplos de variación en funciones
A continuación presentamos las variaciones de algunas funciones. Al final de esta sección te pediremos calcular los resultados formalmente.
Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R} \,$ tal que $f$ es monótona. Entonces para cualquier partición $P,$ $$S_P=|f(b) \, – \, f(a)|=V.$$
$f$ es monótona.
Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ tal que $f$ puede expresarse en pedazos monótonos acotados, es decir, existe una partición $P = \{x_0 =a, \, x_1,…,x_n =b\}$ tal que $f$ es monótona en cada intervalo $[x_{i-1}, \, x_i].$ Entonces $$V = S_P.$$
$f$ es monótona en cada intervalo $[x_{i-1}, \, x_i].$
Sea $[a,b]$ un intervalo con el $\, 0$ en su interior y $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ tal que \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si $x = 0$} \\ 0 & \text{si $x \neq 0$} \end{cases} \end{equation*} Entonces $S_P = 2 \,$ o $\, S_P = 0,$ de modo que $V=2.$
$f$ no es continua en un punto.
Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ la función de Dirichlet, es decir \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si $x \, \in \, \mathbb{Q}$} \\ 0 & \text{si $x \, \notin \, \mathbb{Q}$} \end{cases} \end{equation*} Entonces $V = \infty.$
$f$ es la función de Dirichlet.
Las siguientes son propiedades de las funciones de variación acotada.
Proposición. Si $f$ es de variación acotada en $[a,b]$ entonces $f$ es acotada en $[a,b].$
Demostración: Sea $x \in [a,b].$ Considera la partición $\{a, \, x, \, b\},$ entonces $$|f(x) \, – \, f(a)| \leq |f(x) \, – \, f(a)| +|f(b) \, – \, f(x)| \leq V.$$ Por lo tanto, $f$ es acotada en $[a,b].$
El regreso no es cierto, esto es, podemos tener una función acotada en $[a,b]$ pero que no sea de variación acotada. La función de Dirichlet ejemplifica esta situación. (Podrás ver otro caso también en la tarea moral de la siguiente entrada).
Proposición. Sean $f,g \,$ funciones de variación acotada en $[a,b]$ y sea $c \in \mathbb{R}.$ Entonces las funciones
$cf,$
$f+g \,$ y
$fg$
son de variación acotada en $[a,b].$ Además
$\dfrac{f}{g}$
también es de variación acotada en $[a,b]$ si para todo $x \in [a,b]$ existe $\varepsilon >0$ tal que $|g(x)| \geq \varepsilon.$ La demostración queda como ejercicio.
Con las siguientes ideas tendremos recursos para aproximar mejor el valor de $V$ de una función.
Definición. Refinamiento. Sean $P,Q \in \mathcal{P}_{[a,b]} \,$ tales que $P \subseteq Q,$ es decir, $Q$ tiene todos los puntos de $P$ y, posiblemente, algunos otros. Entonces decimos que $Q$ es un refinamiento de $P,$ o que $Q$ refina a $P.$
Proposición: Si $Q$ es un refinamiento de $P,$ entonces $S_P \leq S_Q.$ La demostración la dejamos como ejercicio.
Proposición: Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}.$ Si $[a’,b’] \subseteq [a,b]$ entonces $V[a’,b’] \leq V[a,b],$ es decir, la variación potencialmente incrementa con el intervalo.
Demostración: Sea $P= \{x_0= a’,…,x_n=b’\} \,$ una partición de $[a’,b’]$ y sea $Q = P \cup \{a,b\}.$ Claramente, $Q$ es partición de $[a,b]$ y \begin{align*} S_P[f;a’,b’] &= \sum_{i=1}^{n}|f(x_i) \, -\, f(x_{i-1})|\\ &\leq \sum_{i=1}^{n}|f(x_i) \, -\, f(x_{i-1})|+|f(x_0) \, -\, f(a)|+|f(b) \, -\, f(x_{n})|\\ &= S_Q[f;a,b] \end{align*}
lo cual indica que para cada $S_P, \, P \in \mathcal{P}_{[a’,b’]}$ existe $S_Q, \, Q \in \mathcal{P}_{[a,b]}$ tal que $S_P \leq S_Q.$ Por lo tanto $V[a’,b’] \leq V[a,b].$
Proposición: Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}.$ Si $a < c < b$ entonces $$V[a,b] = V[a,c] + V[c,b].$$ Es decir, la variación es aditiva en intervalos adyacentes.
Demostración: Probemos primero que $V[a,c] + V[c,b] \leq V[a,b].$ Sea $P_1$ y $P_2$ particiones de $[a,c]$ y $[c,b],$ respectivamente. Entonces $P = P_1 \cup P_2$ es una partición de $[a,b].$
En consecuencia $$S_{P_1}[f,a,c]+S_{P_2}[f,c,b] = S_P[f,a,b].$$ Ya que aún podrían existir otros valores más grandes de $S_{P’}[f,a,b]$ con $P’$ partición de $[a,b],$ se sigue que $V[a,c] + V[c,b] \leq V[a,b].$
Ahora probemos que $V[a,b] \leq V[a,c] + V[c,b].$ Sea $P$ una partición de $[a,b]$ y $\hat{P}= P \cup \{c\}.$
Entonces $\hat{P}$ es un refinamiento de $P,$ y por la proposición que dejamos al lector tenemos $$S_P[f,a,b] \leq S_{\hat{P}}[f,a,b] = S_{P_1}[f,a,c]+S_{P_2}[f,c,b]$$ por lo tanto $V[a,b] \leq V[a,c] + V[c,b],$ con lo que concluimos que
$$V[a,b] = V[a,c] + V[c,b].$$
Definición. Partes positiva y negativa de $x$. Para cualquier $x \in \mathbb{R}$ definimos la parte positiva de $x$ como:
Nota que las partes positiva y negativa de un número real, satisfacen las siguientes relaciones:
$x^+,x^- \geq 0.$
$|x|=x^++x^- .$
$x = x^+-x^- .$
Definición. Suma de términos positivos y suma de términos negativos de $S_P.$ Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R} \,$ y $P=\{x_0, \, x_1, \, … \, , x_{n-1}, \, x_n\}.$ Definimos la suma de términos positivos de $S_P$ como:
Demostración: Supongamos que $V$ es finito. Por (1) $$S_P^+ + S_P^- = S_P$$ y como $S_P \leq V,$ se sigue que \begin{align*} S_P^+ + S_P^- \leq V. \end{align*}
Ya que tanto $S_P^+$ como $S_P^- $ son no negativos, tenemos $$S_P^+ \leq V \, \Rightarrow \, S^+ \leq V.$$ De igual manera $$S_P^- \leq V \, \Rightarrow \, S^- \leq V.$$
Por lo tanto, si $V$ es finito, $S^+$ y $S^-$ también lo son.
Ahora supongamos que $S^+$ es finito. Despejando en (2), se cumple:
y por (8) \begin{align} S_{P_n} ^- \, \to \, S ^-, \end{align}
Por otro lado, por (1) $$S_{P_n}^+ + S_{P_n}^- = S_P \leq V$$ de modo que tomando el límite \begin{align} S^+ + S^- \leq V \end{align}
y de (7) y (15) concluimos finalmente
$$S^+ + S^- = V$$
que es (3).
Finalizamos esta sección con el siguiente
Corolario.Teorema de Jordan. Una función $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ es de variación acotada en $[a,b]$ si y solo si puede ser expresada como la diferencia de dos funciones crecientes acotadas en $[a,b].$
La función en rojo es diferencia de las otras dos. Por lo tanto es de variación acotada en $[1,3].$
Demostración: Supón que $f$ es de variación acotada. Por un resultado visto arriba, sabemos que $f$ es de variación acotada en cada subintervalo $[a,x]$ con $x \in [a,b].$ Para cada $x,$ sean $S(x) ^+$ y $S(x) ^-$ las variaciones positiva y negativa de $f$ en $[a,x].$ Es sencillo demostrar que estas funciones son crecientes y acotadas en $[a,b],$ (ver tarea moral), y aplicando el teorema anterior en cada $[a,x],$ \begin{align*} && S(x) ^+ \, – \, S(x) ^- &= f(x) \, – \, f(a) \\ &\Rightarrow&f(x) &= (S(x) ^+ +f(a)) \, – \, S(x) ^- \end{align*}
Como $S(x)$ es creciente y acotada, también lo es $(S(x) ^+ +f(a))$, de modo que $f$ es la diferencia de dos funciones crecientes y acotadas.
En contraparte, supongamos que $f = f_1 \, – \, f_2,$ donde $f_1$ y $f_2$ son funciones crecientes y acotadas en $[a,b].$ De acuerdo con el primer ejemplo, ambas funciones son de variación acotada. Finalmente, por un resultado enunciado arriba, $ f_1 \, – \, f_2 = f \,$ es de variación acotada.
Más adelante…
Seguiremos con el estudio de las funciones de variación acotada y conectaremos con curvas rectificables, una concepción de cómo considerar la longitud de una curva que podría no coincidir, con medir la gráfica de la misma.
Tarea moral
Verifica la variación de cada función de los ejemplos enunciados arriba.
Demuestra que si $f,g \,$ son funciones de variación acotada en $[a,b]$ y $c \in \mathbb{R},$ entonces las funciones $$cf, \, f+g \, \, \text{ y } \, \, fg$$ son de variación acotada en $[a,b].$ Además $$\frac{f}{g}$$ también es de variación acotada en $[a,b]$ si para todo $x \in [a,b]$ existe $\varepsilon >0$ tal que $|g(x)| \geq \varepsilon.$
Prueba que si $Q$ es un refinamiento de $P,$ entonces $S_P \leq S_Q.$
Para cada $x,$ sean $S(x) ^+$ y $S(x) ^-$ las variaciones positiva y negativa de $f$ en $[a,x].$ Demuestra que estas funciones son crecientes y acotadas en $[a,b].$
Prueba que si $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ es Lipschitz continua, entonces es de variación acotada.
La curvatura de una curva $\alpha : [a,b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ en un punto $\alpha(t_0)$ es la curvatura de la circunferencia osculatriz (osculadora), «la que más se parece a la curva cerca del punto».
¿Cuál es la curvatura de una circunferencia?
De todas las circunferencias que pasan por el punto, ¿cuál es la que más se parece a la curva?
Definamos la curvatura de una circunferencia de radio $r$ como el número $\textcolor{RoyalBlue}{\mathcal{K} = \frac{1}{r}}$
Observación «física»:
Supongamos que tenemos una circunferencia parametrizada con rapidez constante 1.
$\alpha (s)$ nos da la posición.
${\alpha}’ (s)$ nos da la velocidad.
${\alpha}^{\prime \prime} (s)$ nos da la aceleración.
$\big\| {\alpha}’ (s) \big\| = 1$
$\big\| {\alpha}’ (s) \big\|^2 = 1$ constante.
Como la aceleración es perpendicular a la velocidad, se cumple que $ \big\langle {\alpha}’ (s) , {\alpha}^{\prime \prime} (s) \big\rangle = 0$
$ \big\langle {\alpha}’ (s) , {\alpha}’ (s) \big\rangle \equiv 1$ derivando $ \big\langle {\alpha}^{\prime \prime} (s) , {\alpha}’ (s) \big\rangle + \big\langle {\alpha}’ (s) , {\alpha}^{\prime \prime} (s) \big\rangle \equiv 0$
¿Cuál es la relación que hay entre $\mathcal{K}$ y ${\alpha}^{\prime \prime} (s)$ ?
Circunferencia de radio $1$ parametrizada con rapidez unitaria
$\alpha (t) = (\cos (t), \sin (t))$
${\alpha}’ (t) = ( – \sin (t) , \cos (t))$
$\big\| {\alpha}’ (t) \big\| = 1$
Circunferencia de radio $2$ parametrizada con rapidez unitaria
$\big\| {\alpha}^{\prime \prime} (s) \big\| = \frac{1}{r}$ es la «curvatura».
En general, dada una curva $\alpha : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ si ${\alpha \, }’ (t_0) \neq \vec{0}$, podemos definir «el» vector tangente unitario como $$\textcolor{ForestGreen}{\vec{T} (t_0) = \frac{{\alpha \, }’ (t_0) }{ \big\| {\alpha \, }’ (t_0) \big\|}}$$
Si la curva está parametrizada con rapidez unitaria $\alpha (s) $ tal que existe ${\alpha}’ (s)$ con $\big\|{\alpha \, }'(s) \big\| = 1$ para toda $s$, se tiene que $$T(s) = {\alpha \, }’ (s)$$
Dada una curva $\alpha (t)$, de clase $\mathcal{C}^1$, podemos reparametrizarla con rapidez unitaria.
Si ${\alpha \, }’ (t) \neq \vec{0} \; \; \forall \, t$; decimos que la curva es «regular».
Buscamos una función $t = h(s)$ tal que $\beta = \alpha \circ h$ y ${\beta \, }’ (s) = {\alpha \, }’ (h(s)) h’ (s)$ y que cumple que $\big\| {\beta \, }’ (s) \big\| = 1$ entonces $\big\|{\beta\, }’ (s) \big\| = \big\|{\alpha \, }’ (h(s)) \big\| h’ (s)$, con $h$ una función creciente.
Por lo que $$h’ (s) = \frac{1}{ \big\|{\alpha \, }’ (h(s)) \big\|}$$
Si además podemos que ${\alpha}^{\prime \prime} (s) \neq \vec{0}$ entonces, definimos «el» vector normal $N (s)$ como $$\textcolor{NavyBlue}{N (s) = \frac{{\alpha}^{\prime \prime} (s)}{\big\|{\alpha}^{\prime \prime} (s) \big\|}}$$
Dada una curva $\alpha (t)$, si ${\alpha \, }’ (t) \neq 0$ y existe ${\alpha}^{\prime \prime} (t)$ entonces $${\alpha}^{\prime \prime} (t) = \lambda {\alpha \, }’ (t) + \beta (t) $$
donde ${\alpha}^{\prime \prime} (t)$ es la aceleración,
${\alpha \, }’ (t)$ es la aceleración tangencial, y
$\beta (t)$ es la aceleración normal.
Es decir $${\alpha}^{\prime \prime} (t) = \lambda T (t) + N (t) $$
¿Cuál es la circunferencia osculatriz?
El radio está dado por $$\textcolor{BrickRed}{\frac{1}{\big\|{\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \big\|}}$$
El centro de la circunferencia osculatriz es $$\alpha (s_0) + \frac{1}{\big\|{{\alpha \, }’ \, }’ (s_0) \big\|}.N(s_0) $$ $$\alpha (s_0) + \frac{1}{\|{\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \big\|}. \frac{{\alpha}^{\prime \prime} (s_0)}{ \big\|{\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \big\|}$$ $$ \textcolor{BrickRed}{\text{Centro} = \alpha (s_0) + \frac{{\alpha }^{\prime \prime} (s_0)}{{\big\|{\alpha}^{\prime \prime} (s_0)} \big\|^2}}$$
En conclusión, la curvatura mide el cambio en la dirección comparado con el cambio en la longitud de arco recorrida.
En la siguiente imagen puedes observar una animación de lo explicado en esta entrada.
Luego como $(1)$ y $(2)$ son iguales se tiene que $$ f^{-1}(g^{-1}(\mathcal{W})) = (g \circ f)^{-1}(\mathcal{W}) \; _{\blacksquare}$$
Teorema 2:
Sean $f, g:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ continuas.
Entonces
(1) $ f + g$ es continua.
(2) $f . g$ es continua y en los puntos $x_0$ donde $g(x_0) \neq 0, \frac{f}{g} $ es continua.
Demostración:
Primer inciso:
Por hipótesis, $f, g:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ continuas.
(1) $\big[$ por demostrar: $ f + g : A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es continua.$\big]$
Sea $x_0 \in A.$
Sea $\epsilon > 0.$
Como $f$ es continua, existe $\delta_1 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_1}(x_0) $ entonces $ f(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}}(f(x_0))…….(1)$
También, como $g$ es continua, existe $\delta_2 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_2}(x_0) $ entonces $ g(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}} \big( g(x_0) \big)…….(2)$
Luego, si $x \in B_{\delta_3}(x_0) \Rightarrow f(x) + g(x) \in B_{\epsilon} \big( f(x_0) + g(x_0) \big)$ con $\delta_3 = mín \big\{ \delta_1 , \delta_2 \big\}$ ya que de $(1)$ y $(2)$:
Por hipótesis, $f, g:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ continuas.
(2) $\big[$ por demostrar: $f . g : A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es continua.$\big]$
Sea $x_0 \in A.$
Sea $\epsilon > 0.$
Sea $\delta_0$ tal que si $x \in B_{\delta_0}(x_0)$ entonces $ \big| f(x) \big| < 1 + \big| f(x_0) \big|$
Como $f$ es continua, existe $\delta_1 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_1}(x_0) $ entonces $ f(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}} \big( f(x_0) \big)…….(1)$
También, como $g$ es continua, existe $\delta_2 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_2}(x_0) $ entonces $ g(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}} \big( g(x_0)\big)…….(2)$
Luego, si $x \in B_{\delta_3}(x_0)$ entonces $f(x).g(x) \in B_{\epsilon} \big( f(x_0).g(x_0) \big).$
Sea $f : A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m $ una función continua en $A$ y $A$ un conjunto abierto.
Entonces para todo abierto $\mathcal{V} \subseteq \mathbb{R}^m $ la imagen inversa de $\mathcal{V}$, $f^{-1}(\mathcal{V})$ es un abierto de $\mathbb{R}^n.$
Demostración:
Sea $\mathcal{V}$ abierto de $\mathbb{R}^n.$
Supongamos que $f^{-1}(\mathcal{V}) \neq \emptyset.$
Si $f^{-1}(\mathcal{V}) = \emptyset $ , es un abierto entonces, terminó la demostración.
Ahora bien, sea $\vec{x_0} \in f^{-1}(\mathcal{V})$ entonces $f(\vec{x_0}) \in \mathcal{V}$ luego, $f(\vec{x_0})$ es punto interior de $\mathcal{V}.$
$\big[$ por demostrar: $\vec{x_0}$ es punto interior de $f^{-1}(\mathcal{V}$ $\big]$
Por hipótesis, $f$ es continua.
Sea $\epsilon > 0 $ tal que $B_{\epsilon}(f(\vec{x_0})) \subseteq \mathcal{V}$. Dicha $\epsilon$ existe porque $\mathcal{V}$ es abierto y $f(\vec{x_0}) \in \mathcal{V}.$
Entonces, existe $\delta > 0$ tal que si $\vec{x} \in B_{\delta}(\vec{x_0})$ entonces $f(\vec{x}) \in B_{\epsilon}(f(\vec{x_0})) \subseteq \mathcal{V}.$
$\vec{x_0}$ es punto interior de $f^{-1}(\mathcal{V})$ ya que $B_{\delta}(\vec{x_0}) \subseteq f^{-1}(\mathcal{V})$
Razón: $\vec{x} \in B_{\delta}(\vec{x_0})$ entonces $f(\vec{x}) \in B_{\epsilon}(f(\vec{x_0}))$ entonces $f(\vec{x}) \in \mathcal{V}$ implica $\vec{x} \in f^{-1}(\mathcal{V})._{\blacksquare}$
Proposición 2:
Sea $A \subseteq \mathbb{R}^n$ un abierto.
Sea $f : A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m.$
Si la imagen inversa de abiertos en $\mathbb{R}^m$ es un abierto en $\mathbb{R}^n$, entonces la función $f$ es continua en $A.$
Demostración:
Sea $\vec{x_0} \in A.$
$\big[$ por demostrar: $f$ es continua en $\vec{x_0}$ $\big]$
Sea $\epsilon > 0.$
$\big[$ por demostrar: existe $\delta > 0$ tal que si $x \in B_{\delta}(\vec{x_0})$ entonces $f(\vec{x}) \in B_{\epsilon} (f(\vec{x_0}))$ $\big]$
Sea $\mathcal{V} = B_{\epsilon} (f(\vec{x_0}))$ es un abierto de $\mathbb{R}^m$.
Por hipótesis, $f^{-1}(\mathcal{V}) \subseteq \mathbb{R}^n$ es abierto.
Existe $\delta_1 > 0 $ tal que $B_{\delta} (\vec{x_0}) \subseteq f^{-1}(\mathcal{V}).$
$A$ es abierto, existe $\delta_2 > 0 $ tal que $B_{\delta_2}(\vec{x_0}) \subseteq A.$
Sea $\delta = mín\{ \delta_1 , \delta_2\}$ es la $\delta$ que necesitamos. $_{\blacksquare}$
Si $f$ es continua en $\mathcal{K}$ y $\mathcal{K}$ es compacto, entonces $f$ es uniformemente continua en $\mathcal{K}.$
Demostración:
Sea $\epsilon > 0.$
Como $f$ es continua, para cada $x \in \mathcal{K}$ existe $\delta_x > 0$ tal que si $ \| x-y \| < \delta_x $ entonces $\big\|f(x) – f(y) \big\| < \frac{\epsilon}{2}$
Como $\mathcal{K}$ es compacto, $\mathcal{K} \subseteq \bigcup\limits_{x \in \mathcal{K}} B_{\frac{\delta_x}{2}}(x)$ es una cubierta abierta de $\mathcal{K}.$
Entonces, existe una subcubierta finita $B_{\frac{\delta_1}{2}}(x_1), \dots , B_{\frac{\delta_l}{2}}(x_l).$
