3. Genética y herencia: probabilidad

3.1 Determinismo y probabilidad. El azar como modelo y su importancia en la biología.

En la biología, algunos procesos siguen patrones regulares y repetibles; otros dependen del azar. Comprender la diferencia entre determinismo y azar es clave para interpretar correctamente los fenómenos genéticos y evolutivos.

El determinismo se refiere a fenómenos en los que, si conocemos todas las condiciones iniciales, podemos predecir con precisión el resultado. En biología, esto aplica a muchos procesos de desarrollo, como la formación de órganos, la división celular o la conformación de ciertos genes bajo condiciones específicas. Por ejemplo, si un embrión humano recibe un conjunto normal de genes y se desarrolla en un ambiente sano, es muy probable (aunque no garantizado) que su cuerpo forme dos ojos, dos orejas, veinte dedos, un corazón y un sistema nervioso funcional. Este tipo de procesos sigue algo así como caminos preprogramados por la genética, y aunque pueden verse influenciados, tienden a ser bastante predecibles.

Por otro lado, muchos procesos biológicos importantes involucran el azar. A pesar de que podamos estimar qué tan probable es que algo ocurra, nunca lograremos saberlo con certeza. En genética, hay varios ejemplos de procesos que involucran el azar:

• La segregación de alelos durante la meiosis ocurre al azar: cada gameto recibe solo uno de los dos alelos de un par.
• La combinación de gametos durante la fecundación también es aleatoria.
• Las mutaciones ocurren sin un «plan» o «propósito», por errores en la copia del ADN.
• En poblaciones pequeñas, la deriva genética puede hacer que un alelo desaparezca simplemente por casualidad.

Para que quede un poco más claro, a continuación se presenta una tabla comparativa:

	Determinismo	Azar / Probabilidad
Definición	Los procesos siguen reglas fijas y predecibles	Los procesos tienen resultados impredecibles en cada caso individual
Resultado	Repetible si las condiciones se mantienen	Variable
Ejemplos biológicos	Formación del corazón en el embrión, transcripción de un gen regulado, ruta metabólica constante	Mutación espontánea en un gen, combinación de gametos al azar, deriva genética en poblaciones pequeñas
Herramientas de estudio	Modelos deterministas, ecuaciones fijas	Modelos probabilísticos, estadísticas, simulaciones
Implicaciones	Permite predicción más precisa del fenómeno	Requiere estimaciones de riesgo y manejo de incertidumbre

Conceptos clave

• Mutación: cambio al azar en el ADN que puede generar nueva variabilidad genética. Aunque su ocurrencia es impredecible, tiene consecuencias biológicas concretas.
• Recombinación y segregación: durante la meiosis, cromosomas y alelos se distribuyen al azar entre gametos, incrementando la diversidad genética.
• Deriva genética: en poblaciones pequeñas, los alelos pueden fijarse o desaparecer por azar, sin relación con su valor adaptativo.
• Selección natural: filtro determinista que favorece alelos adaptativos; es más predecible en poblaciones grandes y ambientes consistentes.
• Actualmente hay quienes piensan que vida = azar + necesidad, es decir, que procesos estocásticos combinados con fuerzas deterministas dan forma a la evolución biológica.

Ejercicios
1. Marca si los siguientes ejemplos ilustran más el azar o el determinismo:
a. Una mutación espontánea en el ADN.
b. El número exacto de rayas en una hoja de una planta.
c. La fijación aleatoria de un alelo en una población pequeña.
d. La alta frecuencia de rasgos adaptativos en poblaciones que enfrentan el mismo ambiente.
e. Desarrollo de los órganos del embrión según un patrón genético específico.
Respuesta esperada:
a. Azar
b. Determinismo
c. Azar
d. Determinismo
e. Determinismo

2. Imagina una población muy pequeña de diez individuos con un alelo raro que inicialmente tiene frecuencia del 10% (2 copias de 20 total). Supón que, por azar, ninguno de esos alelos se transmite a la siguiente generación, ¿cuál es el término que describe esta pérdida al azar?
Respuesta esperada:
Deriva genética, resultado típico en poblaciones pequeñas que afecta la diversidad.

3.2 Definiciones de probabilidad: clásica y frecuentista

La probabilidad clásica se basa en la simetría o equiprobabilidad de los resultados. Se aplica cuando hay un número finito de resultados posibles y todos tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Se calcula:

$P(A) = \frac{\text{Número de casos favorables a A}}{\text{Número total de casos posibles}}$

Un ejemplo clásico es el de lanzar una moneda, del que sabemos que:
• Hay dos resultados posibles: águila (A) o sol (S).
• Cada resultado es igualmente probable.
Entonces

$P(\text{águila}) = \frac{1}{2} \quad P(\text{sol}) = \frac{1}{2}$

Por otro lado, la probabilidad frecuentista se basa en la observación: cuántas veces ocurre un evento si repetimos el experimento muchas veces. No se parte de una suposición de equiprobabilidad, sino de datos reales. Y se calcula:

$P(A) \approx \frac{\text{Número de veces que ocurre A}}{\text{Número total de repeticiones}}$

Esta definición es útil cuando no conocemos todos los casos posibles o no son equiprobables. Por ejemplo, si observamos 200 nacimientos, y 90 bebés nacen con grupo sanguíneo O, entonces

$P(\text{grupo O}) \approx \frac{90}{200} = 0.45$

Lo que nos indica que el 45% de los nacimientos en esa muestra tienen grupo O.

Es importante conocer la regla del complemento, que resulta muy útil cuando calcular directamente lo que sí queremos puede ser más difícil que calcular lo que no queremos. Se define de la siguiente forma:
Sea un evento $A$, su complemento se denota como $A^c$ y representa el evento de que no ocurra $A$. De manera que la probabilidad de que ocurra $A$ es

$P(A) = 1 – P(A^c)$

y análogamente

$P(A^c) = 1 – P(A)$

Esta regla conviene usarse cuando es más fácil calcular la probabilidad de que algo no pase y luego restarla de 1. En genética es especialmente útil cuando se desea calcular la probabilidad de que ocurra al menos un evento en múltiples intentos, por ejemplo, que al menos un hijo herede una característica.

Ejemplo
En un cruce Aa × Aa, la probabilidad de que un descendiente tenga la enfermedad recesiva (aa) es $\frac{1}{4}$​. Luego, la probabilidad de que no la tenga es $\frac{3}{4}$​.
Si nacen 3 hijos, la probabilidad de que ninguno la tenga es:

$\left( \frac{3}{4} \right)^3 = \frac{27}{64}$

Entonces, la probabilidad de que al menos uno sí la tenga es:

$1 – \frac{27}{64} = \frac{37}{64}$​

Por lo tanto, hay una probabilidad de $\frac{37}{64} \approx 57.8%$ de que al menos uno de los hijos herede la enfermedad.

Ejercicios
1. En una población natural de escarabajos, se predice que 25% deben tener un patrón recesivo (rr). Un investigador recolecta una muestra aleatoria de 100 individuos y encuentra que 40 tienen ese patrón.
a. ¿Cuál es la probabilidad clásica del rasgo recesivo?
b. ¿Cuál es la probabilidad frecuentista basada en la muestra?

Respuesta esperada:
a. $P_{\text{clásica}}(rr) = 0.25$
b. $P_{\text{frecuentista}}(rr) = \frac{40}{100} = 0.40$

2. En un experimento con levaduras, un laboratorio reporta lo siguiente tras 200 observaciones:

Fenotipo	Frecuencia
Crecimiento normal	120
Crecimiento lento	60
Sin crecimiento	20

a. ¿Cuál es la probabilidad frecuentista de observar una levadura con crecimiento lento o sin crecimiento?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que tres observaciones consecutivas sean de crecimiento normal?

Respuesta esperada:
a.

$P(\text{lento o nulo}) = \frac{60 + 20}{200} = \frac{80}{200} = 0.4$

b.

$P(\text{3 normales seguidas}) = \left( \frac{120}{200} \right)^3 = (0.6)^3 = 0.216$

3. Una prueba de campo en mariposas sugiere que la proporción de individuos con alas moteadas es 0.62, aunque el modelo mendeliano predice 0.5 para un cruce Aa × Aa.
Si se analizaron 200 mariposas, ¿cuántas más de las esperadas bajo el modelo clásico tuvieron alas moteadas?
Respuesta esperada:
Esperadas (modelo clásico): $0.5 \times 200 = 100$
Observadas (frecuentista): $0.62 \times 200 = 124$
Diferencia: $124 – 100 = 24$
Hay 24 mariposas más de las esperadas bajo el modelo mendeliano.

4. En una pareja, ambos progenitores son heterocigotos para una enfermedad autosómica recesiva. Cada hijo tiene una probabilidad de $\frac{1}{4}$​ de nacer con la enfermedad. La pareja tiene planeado tener cinco hijos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los cinco hijos herede la enfermedad?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno herede la enfermedad?
Respuesta esperada:
a. Usamos el complemento del evento «hereda la enfermedad», de la que sabemos que tiene probabilidad de $\frac{3}{4}$​, y lo aplicamos cinco veces:

$P(\text{ninguno enfermo}) = \left( \frac{3}{4} \right)^5 = \frac{243}{1024} \approx 0.237$

b.

$P(\text{al menos uno enfermo}) = 1 – \left( \frac{3}{4} \right)^5 = 1 – \frac{243}{1024} = \frac{781}{1024} \approx 0.762$

3.3 Las leyes de la herencia. Mendel y el gen.

La herencia biológica es el proceso mediante el cual los seres vivos transmiten características de una generación a la siguiente.
“Los rasgos de la descendencia generalmente no son completamente predecibles a partir de la observación de los de los progenitores. Un niño podría tener un rasgo, como la hemofilia, que ninguno de sus progenitores exhibe, aunque dicho rasgo podría presentarse con mayor frecuencia en una familia que en otra. Por lo tanto, a pesar de los patrones de herencia, el azar también parece estar involucrado.” (Allman & Rhodes, 2007).

Cada gameto humano lleva un solo alelo para cada gen, es decir, un solo factor para un rasgo como el color de ojos, mientras que los cigotos reciben dos factores, uno de cada progenitor. Si los factores son iguales, el individuo es homocigoto; si son diferentes, es heterocigoto, y el rasgo dominante predominará. Los factores son genes, que tienen distintas versiones llamadas alelos. El genotipo es la combinación de genes de un individuo, y el fenotipo es el rasgo visible. Por ejemplo, como menciona Britton: “una persona con ojos marrones puede tener un genotipo homocigoto o heterocigoto, ya que el marrón es dominante sobre el azul. Si cada uno de los factores de un individuo es igual, se le considera homocigoto; si es diferente, heterocigoto» (Britton, 2003).

Los principios fundamentales de la herencia fueron establecidos por Gregor Mendel en el siglo XIX, a partir de sus experimentos con plantas de chícharo (Pisum sativum). Mendel seleccionó rasgos dicotómicos, es decir, características con sólo dos variantes posibles, como el color o la forma de la semilla. Cultivó líneas puras (homocigotas) y las cruzó para observar los patrones de herencia en la descendencia. Sus observaciones le permitieron formular tres leyes que describen cómo se transmiten los rasgos de una generación a otra.

Primera Ley de Mendel: Ley de la segregación
Cada organismo tiene dos alelos para un rasgo (uno de cada progenitor) y estos alelos se separan (o segregan) durante la formación de los gametos. Esto significa que cada gameto lleva solo uno de los dos alelos de cada par.

Segunda Ley de Mendel: Ley de la distribución independiente
Los alelos de diferentes rasgos se distribuyen de manera independiente unos de otros durante la formación de los gametos, lo que significa que la herencia de un rasgo no afecta la herencia de otro.
Por ejemplo, si cruzamos dos plantas heterocigotas para dos rasgos, como el color de la semilla (amarillo o verde) y la forma de la semilla (lisa o rugosa), los alelos de estos rasgos se distribuirán independientemente, lo que genera dieciséis combinaciones posibles en la descendencia: nueve amarillas y lisas, tres amarillas y rugosas, tres verdes y lisas, y una verde y rugosa. En el siguiente subtema se abordará cómo calcular esto con una tabla de Punnett.

Tercera Ley de Mendel: Ley de la dominancia
Si un organismo tiene dos alelos diferentes para un rasgo (heterocigoto), el alelo dominante ocultará la expresión del alelo recesivo en el fenotipo.
Por ejemplo, en el cruce entre una planta con semillas amarillas (genotipo «YY» o «Yy») y una planta con semillas verdes (genotipo «yy»), todas las plantas de la descendencia tendrán semillas amarillas (genotipo «Yy»), ya que el alelo «Y» es dominante.

Ejercicios
1. Relaciona los siguientes términos con su definición.
a. Gen
b. Alelo
c. Genotipo
d. Fenotipo
e. Dominante
f. Recesivo viii
g. Homocigoto v
h. Heterocigoto vii

i. Combinación de alelos que tiene un individuo (YY, Yy, yy)
ii. Se expresa en el fenotipo aunque haya un solo alelo
iii. Unidad de herencia que codifica una característica (por ejemplo, el color de la semilla)
iv. Diferentes versiones de un gen (por ejemplo, Y, y)
v. Individuo que posee dos alelos iguales para un rasgo (YY o yy)
vi. Manifestación observable del rasgo (amarillo, verde)
vii. Individuo que posee dos alelos distintos para un rasgo (Yy)
viii. Sólo se expresa si no hay alelo dominante presente

Respuestas esperadas:
a → iii
b → iv
c → i
d → vi
e → ii
f → viii
g → v
h → vii

2. Clasifica los siguientes genotipos:
a. YY
b. Yy
c. yy

i. Heterocigoto
ii. Homocigoto dominante
iii. Homocigoto recesivo

Respuestas esperadas:
a → ii
b → i
c → iii

3. Dado un organismo con genotipo, indica qué alelos puede aportar a su descendencia.
a. Yy
b. yy
c. YY

Respuestas esperadas:
a. Y o y
b. Sólo y
c. Sólo Y

3.4 El fenotipo de la progenie: el cuadro de Punnett como espacio muestral

La herencia genética puede analizarse utilizando modelos matemáticos basados en la probabilidad. Uno de los más sencillos y efectivos es el cuadro de Punnett, una herramienta que permite visualizar y calcular la probabilidad de ocurrencia de los diferentes genotipos y fenotipos resultantes del cruce entre dos organismos.

Desde el punto de vista matemático, el cuadro de Punnett puede entenderse como un espacio muestral, es decir, el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio: en este caso, el experimento es la combinación aleatoria de gametos durante la reproducción sexual.

¿Qué es un cuadro de Punnett?
El cuadro de Punnett es una tabla en la que se colocan los gametos posibles de uno de los progenitores en las filas y los del otro en las columnas. Al completar las casillas, se generan todas las combinaciones posibles de genotipos en la descendencia. Esta herramienta permite:
• Visualizar los genotipos posibles de la descendencia
• Inferir los posibles fenotipos
• Calcular la probabilidad de cada resultado
• Modelar genéticamente la reproducción como un fenómeno aleatorio y equiprobable

En este modelo se asume que cada gameto tiene la misma probabilidad de ser transmitido, es decir, que los eventos (combinaciones) son equiprobables.

Ejemplo
Supongamos que cruzamos dos plantas de chícharos heterocigotos para el color de la semilla. Sean:
• Alelo Y: amarillo (dominante)
• Alelo y: verde (recesivo)

El cruce entre las dos plantas se representa con la tabla:

	Y	y
Y	YY	Yy
y	Yy	yy

• Genotipos esperados: 1 YY, 2 Yy, 1 yy
• Fenotipos esperados: 3 amarillas, 1 verde
• Probabilidad de semilla amarilla: 3/4 = 0.75 = 75%
• Probabilidad de semilla verde: 1/4 = 0.25 = 25%

El cuadro como espacio muestral
Cada celda del cuadro representa un evento elemental, una combinación posible de alelos. Como hay 4 combinaciones equiprobables (una por cada casilla), se puede aplicar la probabilidad clásica:

$P(\text{evento}) = \frac{\text{número de casos favorables}}{\text{número total de casos posibles}}$

Ejercicios
1. Completa el cuadro de Punnett para un cruce entre dos plantas heterocigotas para dos rasgos.

Color de semilla:
• Alelo Y (amarillo, dominante)
• Alelo y (verde, recesivo)
Forma de semilla:
• Alelo R (lisa, dominante)
• Alelo r (rugosa, recesivo)
Respuesta esperada:

	YR	Yr	yR	yr
YR	YYRR	YYRr	YyRR	YyRr
Yr	YYRr	YYrr	YyRr	Yyrr
yR	YyRR	YyRr	yyRR	yyRr
yr	YyRr	Yyrr	yyRr	yyrr

2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un descendiente con semillas rugosas y verdes?
Respuesta esperada:
La probabilidad de obtener semillas verdes y rugosas es de 1/16 = 0.0625 = 6.25% 

3. Si cruzamos dos plantas con genotipo Yy, ¿cuál es la probabilidad de obtener una descendencia con genotipo heterocigoto?
Respuesta esperada:
De las 4 combinaciones posibles: YY, Yy, Yy, yy, hay dos casos que resultan en Yy, por lo tanto la probabilidad es de 2/4 = 0.5 = 50%.

4. Una pareja sabe que ambos son portadores (heterocigotos) del gen recesivo de una enfermedad genética. Si tienen descendencia, ¿cuál es la probabilidad de que sea portador pero no desarrolle la enfermedad?
Respuesta esperada:
Suponiendo que el alelo dominante A es sano, y el recesivo a causa la enfermedad si está en homocigosis, del resultado del cruce obtenemos las siguientes cuatro opciones: un AA (sano no portador), dos Aa (sano portador y  un aa (enfermo). Por lo tanto, la probabilidad de ser sano portador será de  2/4 = 0.5 = 50%.

5.4 El demonio de Laplace y el fin de la infancia: sensibilidad a las condiciones iniciales, bifurcaciones y caos

A lo largo de este bloque hemos trabajado con modelos matemáticos que podrían haberte dado la impresión de que el futuro de un sistema es completamente predecible. Damos una condición inicial, aplicamos una regla o fórmula (por ejemplo, el modelo logístico o el de Malthus), y obtenemos una secuencia de valores que muestran cómo evoluciona una población a lo largo del tiempo. Este proceso sugiere que, si conocemos suficientemente bien cómo funciona un sistema y con qué valores iniciales comenzamos, podríamos predecir su comportamiento futuro con exactitud. Pero, ¿es realmente así como sucede?

Esta noción no es nueva. A comienzos del siglo XIX, el matemático y filósofo Pierre-Simon Laplace propuso una idea que, en su momento, se volvió tendencia en la comunidad científica: imaginen una inteligencia capaz de conocer absolutamente todas las leyes de la naturaleza y la posición de cada partícula del universo en un momento dado. Esa inteligencia, conocida como el demonio de Laplace, podría predecir el futuro con total certeza, ya que todo el universo seguiría un comportamiento determinista, todo lo que ocurre está determinado por lo que ocurrió antes.

Es importante aclarar que Laplace nunca utilizó la figura del demonio de manera explícita en sus escritos, este concepto fue popularizado por filósofos y científicos posteriores. En su Essai philosophique sur les probabilités (1814), Laplace especuló sobre un universo gobernado por el determinismo absoluto:

“Podemos considerar el estado actual del universo como el efecto de su pasado y la causa de su futuro. Un intelecto que, en cualquier momento dado, conociera todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones mutuas de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto como para someter los datos a análisis, podría condensar en una sola fórmula el movimiento de los cuerpos más grandes del universo y el del átomo más ligero; para tal intelecto nada sería incierto y el futuro, al igual que el pasado, estaría presente ante sus ojos.”

Esta idea, aunada a la mecánica Newtoniana, tuvo una fuerte influencia, muchos científicos creyeron que la naturaleza, al igual que una máquina de relojería, podría ser comprendida de manera determinista. De acuerdo con esta visión, si pudiéramos medir con precisión todas las condiciones iniciales, podríamos predecir el futuro con exactitud. A continuación vamos a considerar la complejidad de los sistemas no lineales, como los que encontramos en la biología y en otros sistemas dinámicos.

El fin de la infancia: cuando el orden se vuelve caótico

A mediados del siglo XX, se comenzó a investigar lo que sucede en sistemas no lineales, como el modelo logístico que ya hemos visto en este curso. Lo que descubrieron es que, para ciertos valores de los parámetros, pequeñas diferencias en las condiciones iniciales pueden llevar a resultados completamente distintos después de varias iteraciones. Este fenómeno se conoce como sensibilidad a las condiciones iniciales. Como explica Robert May (1976), incluso modelos tan simples como el logístico pueden mostrar un comportamiento caótico.

Veamos un ejemplo sencillo. Supongamos que usamos el modelo logístico que ya hemos trabajado:

$x_{n+1} = r x_n (1 – x_n)$

Y elegimos un valor de r = 3.9, con dos condiciones iniciales muy cercanas: $x_0 = 0.500$ y $x_0 = 0.501$. Si calculamos las siguientes generaciones, al principio los resultados de $x_n$ pueden parecer muy similares, pero después de unas cuantas iteraciones, las diferencias entre ambos valores se amplifican hasta que parecen completamente distintas. Esto significa que, aunque el modelo es determinista (es decir, no tiene ninguna parte aleatoria), es tan sensible a los valores iniciales que el resultado final no es predecible con certeza. Este comportamiento se llama caos determinista, y aunque el término caos se suele asociar con desorden, en este contexto se refiere a un tipo de orden muy complejo, pero impredecible a largo plazo.

Y esto, ¿qué tiene que ver con la biología?

Algunos modelos muestran sensibilidad a las condiciones iniciales, incluso aquellos que pueden comportarse de manera determinista para ciertos parámetros, con otros ligeramente diferentes pueden mostrar caos. Esto significa que una ligera variación en factores como la tasa de crecimiento, la disponibilidad de recursos o la proporción de individuos de  una especie puede cambiar completamente las predicciones del modelo.

Para mostrar lo que ligeras variaciones en los parámetros de un sistema pueden ocasionar, revisar el ejemplo gráfico del subtema 5.3, en https://www.geogebra.org/m/wpurkns6 puedes encontrar la construcción del ejemplo mencionado.

A pesar de que los modelos matemáticos son herramientas importantes y muy útiles, la predicción exacta en biología es extremadamente difícil. En la mayoría de los casos, no se trata de predecir con certeza lo que sucederá, sino de entender las posibles trayectorias y comportamientos del sistema. Los modelos nos permiten explorar diferentes escenarios y conocer qué podría suceder bajo ciertas condiciones, pero las predicciones precisas, especialmente a largo plazo, son prácticamente imposibles.

Como reflexionó Ian Stewart (Stewart, I., 1989), la aparición del concepto del caos determinista representa el fin de la inocencia del pensamiento científico, es el momento en el que dejamos de creer que todo puede preverse y comenzamos a aceptar que la naturaleza no sigue caminos predecibles, sino que siempre tiene comportamientos inesperados. Es esencial comprender y ser conscientes de las limitaciones al usar modelos matemáticos, así como tener en cuenta que nuestras mediciones son aproximadas, y que los resultados pueden verse influenciados por factores que no hemos considerado en el modelo.

5.5 Otros sistemas dinámicos en tiempo discreto: ley del equilibrio de Hardy-Weinberg. Modelos de selección natural

Hasta ahora hemos estudiado cómo algunos modelos pueden describir la evolución de una población a lo largo del tiempo: cómo crece, cómo se estabiliza o incluso cómo cambia drásticamente dependiendo de sus condiciones iniciales. En este subtema aplicaremos ideas similares al estudio de la genética de poblaciones, es decir, a cómo cambian las frecuencias de alelos y genotipos a través de las generaciones.

En este contexto, nos enfocaremos en un caso particular que funciona como punto de partida en genética poblacional: el modelo de equilibrio de Hardy-Weinberg. Este modelo no describe el cambio, sino la ausencia de cambio, y establece las condiciones bajo las cuales se espera que las frecuencias genéticas se mantengan constantes generación tras generación. Sirve, por tanto, como modelo nulo para evaluar si hay o no fuerzas evolutivas actuando sobre una población.

¿Qué es una hipótesis nula?

Se trata de una suposición base en un análisis científico que plantea que no hay efecto significativo entre las variables que se estudian. En genética, la hipótesis nula suele ser que las frecuencias alélicas y genotípicas no están cambiando en la población.

El equilibrio de Hardy-Weinberg representa justamente esta hipótesis nula. Según este modelo, si no hay selección natural, mutación, migración, deriva genética ni apareamiento no aleatorio, las frecuencias de los alelos y de los genotipos permanecerán estables de una generación a otra. Cualquier desviación entre lo que predice el modelo y lo que se observa en la realidad sugiere que alguna fuerza evolutiva podría estar actuando.

El modelo de Hardy-Weinberg

Este modelo establece que, en una población ideal, las frecuencias esperadas de los alelos y los genotipos permanecen constantes de una generación a otra si se cumple las siguientes condiciones:
$\quad$• Población de tamaño muy grande (sin deriva genética).
$\quad$• Apareamiento aleatorio (sin selección sexual).
$\quad$• Ausencia de selección natural.
$\quad$• Ausencia de mutaciones.
$\quad$• Ausencia de migración (flujo génico).

Bajo estos supuestos, se generan expectativas sobre cómo deberían distribuirse los genotipos. Para una población con dos alelos, $A$ y $a$:
$\quad$Sea $p$ la frecuencia relativa del alelo $A$,
$\quad$sea $q$ la frecuencia relativa del alelo $a$,
$\quad$como sólo hay dos alelos, $p+q=1$, luego $q=1-p$.

Las frecuencias genotípicas en equilibrio se calculan: 
$\quad$Frecuencia del genotipo AA: $f_{AA} = p^2$
$\quad$Frecuencia del genotipo Aa: $f_{Aa} = 2pq$
$\quad$Frecuencia del genotipo aa: $f_{aa} = q^2$

Si suponemos que hay una población con datos genotípicos observados. Para saber si está en equilibrio:
$\quad$1. Calculamos p y q a partir de los datos observados, por ejemplo, si se conocen los genotipos $AA$, $Aa$ y $aa$:
$$p = \frac{2 \times (\text{número de individuos AA}) + (\text{número de individuos Aa})}{2 \times (\text{número total de individuos})}$$

2. Calculamos las frecuencias esperadas $p^2$, $2pq$, $q^2$.
3. Comparamos con los valores observados usando una prueba como chi-cuadrada:
$$\chi^2 = \sum \frac{(O_i – E_i)^2}{E_i}$$
donde $O_i$ y $E_i$​ son los valores observados y esperados para cada genotipo.
4. La aptitud puede verse como la probabilidad de que ese genotipo contribuya descendencia a la siguiente generación. Para calcular la frecuencia del alelo $A$ en la siguiente generación, usamos esta fórmula:

$$p’ = \frac{p^2 w_{AA} + pq w_{Aa}}{\overline{w}}$$

Donde $\overline{w}$ es la aptitud media de la población: $\overline{w} = p^2 w_{AA} + 2pq w_{Aa} + q^2 w_{aa}$

Guía rápida de prueba chi-cuadrada

1. Obtener el número de individuos para cada genotipo y el tamaño total de la muestra (N).
2. Calcular $p$ y $q$ a partir de los datos observados.
3. Calcular $p^2$, $2pq$, $q^2$ y multiplica cada frecuencia por $N$ para obtener las frecuencias esperadas.
3. Aplicar la fórmula de chi-cuadrada: $\chi^2 = \sum \frac{(O_i – E_i)^2}{E_i}$
4. Determinar los grados de libertad (gl):
gl = número de clases – número de parámetros estimados – 1
(p. e. supongamos que hay 3 genotipos (AA, Aa, aa), luego, hay 3 clases; y hay 1 parámetro estimado que es la frecuencia alélica $p$. Entonces: gl = 3 – 1 – 1 = 1)
5. Comparar con $\chi^2$ crítico, que es un número usado como umbral para decidir si la diferencia observada es significativa o no.
Una vez calculado $\chi^2$, se compara con el valor crítico correspondiente al número de grados de libertad.

gl	1	2	3
Valor crítico (α = 0.05)	3.841	5.991	7.815

$\quad$• Si $\chi^2 > \chi^2_{\text{crítico}}$: se rechaza la hipótesis nula → hay evidencia de que no hay equilibrio.
$\quad$• Si $\chi^2 < \chi^2_{\text{crítico}}$: no se rechaza la hipótesis nula → la población podría estar en equilibrio.

¿Y si hay selección natural?

Cuando hay selección natural se incorporan valores de aptitud relativa o fitness. Se supone que:
$\quad$• $AA$ tiene aptitud $w_{AA}$
$\quad$• $Aa$ tiene aptitud $w_{Aa}$​
$\quad$• $aa$ tiene aptitud $w_{aa}$

Hay dos formas comunes de obtener estos valores:
1. Si hay datos de supervivencia, fertilidad o tasas de reproducción, entonces

$$w_{\text{genotipo}} = \frac{\text{número promedio de crías viables o descendencia de ese genotipo}}{\text{número promedio de crías viables del genotipo más exitoso}}$$

Es decir, se normalizan los valores comparándolos con el genotipo más exitoso (que tendrá $w = 1$).

2. Si se conocen las frecuencias genotípicas antes y después de la selección, se puede estimar las aptitudes comparando qué tan bien se mantiene cada genotipo. Este método requiere más información empírica, y es útil en estudios de campo o laboratorio.

Ahora, las frecuencias genotípicas después de la selección se calculan con:

$$\begin{align*}\text{Frecuencia(AA)}’ = \frac{p^2 w_{AA}}{\overline{w}} \\
\text{Frecuencia(Aa)}’ = \frac{2pq w_{Aa}}{\overline{w}}\\
\text{Frecuencia(aa)}’ = \frac{q^2 w_{aa}}{\overline{w}} \end{align*}$$ 

¿Qué implica cuando se cumplen (o no) las frecuencias esperadas?

Cuando las frecuencias observadas en una población coinciden con las frecuencias esperadas según el modelo de Hardy-Weinberg, significa que no hay evidencia que indique que las frecuencias estén cambiando por acción de una fuerza evolutiva. 

Por otro lado, cuando las frecuencias observadas no coinciden con las esperadas, esto sugiere que alguna o varias de las fuerzas evolutivas están influyendo en la población, como:
$\quad$• Selección natural: si ciertos genotipos tienen una mayor aptitud.
$\quad$• Migración: si hay flujo génico entre poblaciones.
$\quad$• Deriva genética: en poblaciones pequeñas, los alelos pueden cambiar debido a fluctuaciones aleatorias.
$\quad$• Mutaciones: si se producen nuevos alelos en la población.
En este caso, se puede usar la diferencia entre las frecuencias observadas y las esperadas para inferir qué fuerzas podrían estar sucediendo.

Es importante recordar que cumplir con las frecuencias esperadas según el modelo de Hardy-Weinberg no implica que se haya confirmado que una población sigue este modelo ideal. Existen múltiples factores que pueden influir en la genética de una población, y algunas de estas influencias pueden no ser obvias o medibles en un análisis.

El cumplimiento con las frecuencias esperadas simplemente indica que no hay evidencia en contra del equilibrio de Hardy-Weinberg en ese momento, pero no podemos concluir que no haya otras dinámicas o factores ocultos interviniendo en la población. Algunas razones por las que el modelo podría no confirmarse aunque las frecuencias sí coincidan son:
$\quad$• Tamaño muestral insuficiente: si la muestra analizada es pequeña, puede no reflejar con precisión las verdaderas frecuencias alélicas de la población.
$\quad$• Temporalidad: las poblaciones pueden estar en desequilibrio durante ciertas generaciones antes de alcanzar el equilibrio.
$\quad$• Factores no medidos: pueden existir factores que no se están midiendo, como la migración o la selección sexual.

Estas sutilezas metodológicas son esenciales en ciencia: no basta con observar coincidencias, también hay que preguntarse qué significa esa coincidencia y qué limitaciones tiene nuestra medición o interpretación.

Ejemplo
En algunas regiones de África, la malaria es una enfermedad común y peligrosa. Sin embargo, existe un alelo llamado HbS, que en estado heterocigoto (AS) proporciona resistencia parcial a esta enfermedad. Cuando una persona hereda dos copias del alelo (SS), sufre anemia falciforme, una enfermedad severa. Este caso es un ejemplo clásico donde la heterocigosis ofrece una ventaja adaptativa.

Paso 1. Datos iniciales
En una población de Nigeria con alta incidencia de malaria, se observa:
$\quad$• Frecuencia inicial del alelo A (normal): $p = 0.7 \quad \Rightarrow \quad q = 1 – p = 0.3$
$\quad$• Aptitudes relativas:
$\qquad$○ $w_{AA} = 0.9$ (más susceptibles a la malaria)
$\qquad$○ $w_{AS} = 1.0$ (mayor resistencia)
$\qquad$○ $w_{SS} = 0.2$ (anemia falciforme grave)

Paso 2. Calcular frecuencias genotípicas
Usando las fórmulas de Hardy-Weinberg:
$f_{AA} = p^2 =  \underline{\quad(0.7)^2\quad} =  \underline{\quad0.49\quad}$
$f_{AS} = 2pq = \underline{\quad2(0.7)(0.3)\quad} = \underline{\quad0.42\quad}$
$f_{SS} = q^2 = \underline{\quad(0.3)^2\quad} = \underline{0.09\quad}$

Paso 3. Calcular la media de aptitud $\bar{w}$
$\bar{w} = f_{AA} \cdot w_{AA} + f_{AS} \cdot w_{AS} + f_{SS} \cdot w_{SS}$
$\bar{w} =  \underline{\quad(0.49)(0.9) + (0.42)(1.0) + (0.09)(0.2) = 0.441 + 0.42 + 0.018 = 0.879\quad}$

Paso 4. Calcular la nueva frecuencia del alelo A ($p’$)
$$p’ = \frac{p^2 w_{AA} + p q w_{AS}}{\bar{w}}$$
$$p’ = \underline{\quad \frac{(0.49)(0.9) + (0.21)(1.0)}{0.879} = \frac{0.441 + 0.21}{0.879} = \frac{0.651}{0.879} \approx 0.741\quad}$$
Entonces:
$q’ = 1 – p’ \approx \underline{1 – 0.741 = 0.259\quad}$ 

Paso 5. Interpretación 
a. ¿Aumentó o disminuyó la frecuencia del alelo A?
Respuesta: La frecuencia del alelo A aumentó de 0.7 a 0.741 en una generación.
b. ¿Qué se puede concluir sobre la persistencia del alelo HbS (alelo S) en la población?
Respuesta: El heterocigoto AS tiene mayor aptitud que ambos homocigotos, pero el alelo A (hemoglobina normal) sigue siendo más frecuente que HbS. Debido a la ventaja heterocigótica, el alelo HbS no desaparece. El sistema tiende hacia un equilibrio estable en el que se mantiene la diversidad genética –ambos alelos coexisten–.

Ejemplo
El Quercus mulleri es una especie de encino endémica de zonas montañosas de Oaxaca. Se encuentra en ambientes de alta diversidad biológica, pero está bajo presión por cambio de uso de suelo. Se desea saber si la población local está en equilibrio genético o si alguna fuerza evolutiva (como fragmentación del hábitat) podría estar afectando la distribución de los genotipos.

Se recolectaron muestras de 100 individuos. Los genotipos observados fueron:

Genotipo	Frecuencia Observada (O)
AA	30
Aa	45
aa	25

Paso 1. Calcula $p$ y $q$
$$p = \underline{\quad\frac{2 \cdot 30 + 45}{2 \cdot 100} = \frac{105}{200} = 0.525 \quad\Rightarrow\quad q = 1 – 0.525 = 0.475 \quad}$$ 

Paso 2. Calcula las frecuencias esperadas (E)
$f_{AA} = \underline{\quad(0.525)^2 = 0.2756 \\ f_{Aa} = 2(0.525)(0.475) = 0.4988 \\ f_{aa} = (0.475)^2 = 0.2256\quad}$
$E_{AA} = \underline{\quad27.56\quad},\quad E_{Aa} = \underline{\quad49.88\quad},\quad E_{aa} = \underline{\quad22.56\quad}$

Paso 3. Realiza una tabla comparativa con los datos observados

Genotipo	Observado (O)	Esperado (E)
AA	30	27.56
Aa	45	49.88
aa	25	22.56

Paso 4. Aplica la prueba de chi-cuadrada
$$\chi^2 = \underline{\quad\frac{(30 – 27.56)^2}{27.56} + \frac{(45 – 49.88)^2}{49.88} + \frac{(25 – 22.56)^2}{22.56}\quad}$$
$$\chi^2 \approx \underline{\quad\frac{5.95}{27.56} + \frac{23.81}{49.88} + \frac{5.95}{22.56} = 0.22 + 0.48 + 0.26 = 0.96\quad}$$

Paso 5. Determina rados de libertad (gl)
Hay 3 genotipos (AA, Aa, aa), luego, hay 3 clases. Hay 1 parámetro estimado (frecuencia alélica $p$). Entonces: gl = 3 – 1 – 1 = 1.

Paso 6. Comparar con $\chi^2$ crítico
Con gl = 1, el valor crítico de $\chi^2$ a $0.05 \approx 3.84$.
Como 0.96 < 3.84, no se rechaza la hipótesis nula.

Paso 7. Interpretación
• ¿Qué significa que los valores observados y esperados sean tan cercanos?
Respuesta: Que la población probablemente está en equilibrio genético para los genotipos observados.
• ¿Podemos concluir que no hay evolución en esta población?
Respuesta: No necesariamente. Podrían existir otras fuerzas actuando en otros genes o momentos.

Ejercicio
En un campo de maíz, se está estudiando una población con variabilidad en el color del grano, que depende de un alelo B (para color amarillo) y su alelo recesivo b (para color blanco).

a. Registra los datos iniciales
Sea una muestra de 100 plantas de maíz, los genotipos observados son:
$\quad$• BB (color amarillo): 30 individuos
$\quad$• Bb (color amarillo, heterocigotos): 50 individuos
$\quad$• bb (color blanco): 20 individuos
b. Calcular las frecuencias alélicas
c. Calcular las frecuencias genotípicas esperadas
d. Realiza la prueba de chi-cuadrada
e. Determina el grado de libertad (gl)
f. Compara con el valor crítico de chi-cuadrada
g. Responde: ¿Está la población en equilibrio genético?

Respuestas esperadas

a. 
$\quad$• BB (color amarillo): 30 individuos
$\quad$• Bb (color amarillo, heterocigotos): 50 individuos
$\quad$• bb (color blanco): 20 individuos

b. 
$\quad$$f_{BB} = \frac{30}{100} = 0.3$
$\quad$$f_{Bb} = \frac{50}{100} = 0.5$
$\quad$$f_{bb} = \frac{20}{100} = 0.2$
Las frecuencias alélicas son:
$\quad$$p = \frac{2(30) + 50}{2(100)} = \frac{110}{200} = 0.55$
$\quad$$q = 1 – p = 1 – 0.55 = 0.45$

c. Con $p = 0.55$ y $q = 0.45$:
$\quad$$f_{BB} = p^2 = (0.55)^2 = 0.3025$
$\quad$$f_{Bb} = 2pq = 2(0.55)(0.45) = 0.495$
$\quad$$f_{bb} = q^2 = (0.45)^2 = 0.2025$
Multiplicando por el tamaño de la población:
$\quad E_{BB} = 0.3025 (100) = 30.25$
$\quad E_{Bb} = 0.495 (100) = 49.5$
$\quad E_{bb} = 0.2025 (100) = 20.25$

d. 
$\begin{align*}\chi^2 &= \frac{(30 – 30.25)^2}{30.25} + \frac{(50 – 49.5)^2}{49.5} + \frac{(20 – 20.25)^2}{20.25} \\ \chi^2 &= \frac{(0.25)^2}{30.25} + \frac{(0.5)^2}{49.5} + \frac{(0.25)^2}{20.25}​ \\ \chi^2 &= \frac{0.0625}{30.25} + \frac{0.25}{49.5} + \frac{0.0625}{20.25}​ \\ \chi^2 &= 0.002 + 0.005 + 0.003 \approx 0.01 \end{align*}$

e. El número de genotipos es 3 (BB, Bb, bb) y estimamos 1 parámetro (frecuencia de alelo B), por lo que: gl = 3 – 1 – 1 = 1.

f. Con 1 grado de libertad y un nivel de significancia de $\alpha = 0.05$, el valor crítico de chi-cuadrada es $\chi^2_{crítico} \approx 3.84$.
Como $\chi^2 = 0.01 < 5.99$, no rechazamos la hipótesis nula.

g. Es probable que la población esté en equilibrio genético para los genotipos observados, sin embargo podrían existir otras fuerzas actuando en otros genes o momentos.

5.2. Órbitas: iteración y tipos de órbita

Definición de un sistema dinámico discreto

Cuando estudiamos sistemas dinámicos discretos, estamos interesados en cómo cambia el sistema con el paso del tiempo. Un sistema dinámico discreto es aquel cuya evolución se describe por medio de ecuaciones matemáticas que se actualizan en intervalos de tiempo específicos. Estos sistemas se «avanzan» en pasos discretos (por ejemplo, de un día a otro, de un año a otro, de una generación a otra).

Como menciona Torres Olin “Un sistema dinámico es un organismo cambiante, o propenso al cambio. Es un conjunto de elementos que describen la evolución de un sistema. […] Se define un sistema dinámico discreto cuando medimos el tiempo en forma tal que cualesquiera dos puntos en el tiempo $t_1$ y $t_2$ están bien separados, es decir, el tiempo se mide respecto a un conjunto discreto.” (Torres Olin, 2019)

Introducción a las órbitas en sistemas dinámicos discretos

En el contexto de los sistemas dinámicos discretos, las órbitas se refieren a las trayectorias que siguen las soluciones de un sistema de ecuaciones a lo largo del tiempo, cuando el tiempo avanza en pasos discretos.

• Definición. Las órbitas son secuencias de puntos que representan el estado del sistema en diferentes momentos del tiempo. Cada uno de estos puntos se encuentra en el espacio de fases del sistema, que es el conjunto de todos los posibles estados del sistema en el que se puede encontrar. 

Por ejemplo, si estamos estudiando la población de una especie en un ecosistema, cada punto de la órbita representará el número de individuos de esa población en un momento dado. A medida que el tiempo avanza, la población cambia, y por lo tanto, la órbita describe cómo esa población evoluciona con el tiempo.

• Relación con las ecuaciones recursivas. En un sistema dinámico discreto, la evolución del sistema se describe mediante ecuaciones recursivas. Esto significa que el valor del estado del sistema en el tiempo t + 1 depende del valor en el tiempo t. Así, en cada iteración, el sistema actualiza el valor de la población y lo usa para calcular el valor en el siguiente paso.
Un ejemplo sería un modelo de población descrito por la ecuación:

$P_{t+1} = r \cdot P_t \cdot (1 – \frac{P_t}{K})$, 

donde $P_t$​ es la población en el tiempo t, r es la tasa de crecimiento de la población y K es la capacidad de carga del ambiente, es decir, el número máximo de individuos que el ecosistema puede soportar.

• Importancia de las órbitas. Las órbitas permiten entender el comportamiento a largo plazo del sistema. A medida que el sistema evoluciona con el tiempo, las órbitas nos ayudan a identificar patrones. Según el tipo de órbita, el sistema puede estabilizarse en un valor constante, entrar en un ciclo periódico o volverse impredecible (lo que se conoce como caos).

¿Qué es la iteración en sistemas dinámicos discretos?

La iteración es el proceso mediante el cual repetimos una operación matemática para obtener el siguiente valor del sistema a partir del valor actual. En otras palabras, es aplicar repetidamente una función o ecuación para predecir el comportamiento futuro del sistema. Se trata de calcular el estado del sistema en el siguiente paso de tiempo, usando el valor actual como punto de partida. Cada «paso» o «iteración» produce un nuevo valor que se usa como base para la siguiente, es decir, cada vez que realizamos una iteración, tomamos el valor del sistema en el tiempo t y lo usamos para calcular el valor en el tiempo t + 1, y este valor calculado luego se convierte en el valor inicial para el siguiente paso

Ejemplo
Consideremos un modelo de crecimiento poblacional donde la población en el tiempo t + 1 depende de la población en el tiempo t:

$P_{t+1} = r \cdot P_t \cdot (1 – \frac{P_t}{K})$

Supongamos una población inicial $P_0 = 50$, una tasa de crecimiento r = 1.5 y una capacidad de carga K = 100, podemos calcular las poblaciones de los siguientes tiempos de forma iterativa:

• Para t = 0, $P_0 = 50$.
• Para t = 1, $P_1 = 1.5 \cdot 50 \cdot (1 – \frac{50}{100}) = 1.5 \cdot 50 \cdot 0.5 = 37.5$.
• Para t = 2, $P_2 = 1.5 \cdot 37.5 \cdot (1 – \frac{37.5}{100})$, y así sucesivamente.

Este proceso continúa para muchos pasos, y la población va cambiando a medida que se realizan las iteraciones.

Tipos de órbitas

Las órbitas en los sistemas dinámicos pueden clasificarse en diferentes tipos, dependiendo de cómo se comporta el sistema con el paso del tiempo.

1. Órbitas periódicas: son aquellas en las que el sistema regresa al mismo estado después de un número finito de pasos, es decir, la secuencia de valores se repite cíclicamente. 

Ejemplo: Si r = 2 y $P_0 = 50$, el sistema puede entrar en una órbita periódica. En este caso, la población podría oscilar entre los valores 60 y 50 en un patrón cíclico, como P = 60, 50, 60, 50,….
Estas órbitas son estables y predecibles, ya que la población sigue un patrón constante que se repite con el tiempo.

2. Órbitas atractoras: son aquellas en las que el sistema tiende a estabilizarse en un valor constante o en un ciclo periódico a medida que pasa el tiempo. Estas órbitas son estables, y las pequeñas perturbaciones tienden a ser corregidas.
Ejemplo: En el modelo logístico de crecimiento poblacional, si los valores de r y K se eligen adecuadamente, la población puede estabilizarse en el valor P = K, que es la capacidad de carga del ambiente. Este valor se convierte en una órbita atractora, ya que la población tiende a estabilizarse alrededor de K con el paso del tiempo.

3. Órbitas caóticas: son aquellas en las que el comportamiento del sistema es extremadamente sensible a las condiciones iniciales. Pequeñas variaciones en el valor inicial del sistema pueden provocar trayectorias completamente diferentes. Estos sistemas son impredecibles y no siguen un patrón repetitivo.
Ejemplo: Si r es demasiado grande (por ejemplo, r = 3.5), el sistema puede volverse caótico, donde las iteraciones no siguen un patrón predecible, sino que se distribuyen de forma irregular.

Ejemplo

Uno de los ejemplos más comunes de sistemas dinámicos discretos en biología es el modelo logístico de crecimiento poblacional, especialmente cuando se estudian especies invasoras o la competencia entre especies.

Tomemos el modelo logístico como ejemplo para ilustrar cómo las órbitas se aplican al crecimiento de una población.

El modelo logístico es:

$P_{t+1} = r \cdot P_t \cdot \left(1 – \frac{P_t}{K}\right)$.

Dependiendo de los parámetros r (tasa de crecimiento) y K (capacidad de carga), el comportamiento de la población puede cambiar:
• Para valores bajos de r, la población puede estabilizarse en un valor constante, formando una órbita atractora.
• Para valores intermedios de r, puede haber un comportamiento periódico.
• Para valores altos de r, el modelo puede entrar en caos.

Análisis de cómo pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden cambiar el comportamiento de la población

En un modelo caótico, por ejemplo, si una especie invasora comienza con una población de $P_0 = 50$, y otra con $P_0 = 50.1$, con un parámetro r = 3.5, las trayectorias pueden divergir rápidamente, lo que hace que sea muy difícil predecir el futuro de las poblaciones.

Ejercicio
Resuelve el siguiente modelo de crecimiento poblacional con iteración simple:

$P_{t+1} = 1.2 \cdot P_t \cdot \left(1 – \frac{P_t}{100}\right)$

Toma como valor inicial $P_0 = 20$ y calcula las poblaciones en los primeros 5 tiempos $(t = 0, 1, 2, 3, 4, 5)$.
Ahora intenta graficar los valores de $P_t$ en función del tiempo para observar cómo evoluciona la población a lo largo de las iteraciones.

Ejercicio
Con diferentes valores de r (por ejemplo, r = 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5), calcula las órbitas del sistema con un valor inicial de $P_0 = 50$ y grafica los resultados (puedes usar GeoGebra). Observa cómo cambia el comportamiento de las órbitas según el valor de r.

Ejercicio
a. ¿Qué ocurriría con la población de una especie si las condiciones iniciales cambian ligeramente?
b. ¿Cómo afecta la tasa de crecimiento a las órbitas que se generan?

5.3. El modelo logístico discreto: análisis gráfico, análisis de las órbitas, retrato fase

El modelo logístico discreto es una ecuación matemática que describe cómo crece una población cuando está limitada por los recursos del ambiente, como alimento, espacio o luz:

$x_{n+1} = r \cdot x_n \cdot (1 – x_n)$,

donde
• $x_n$​ representa la población como una fracción de la capacidad de carga del entorno, por lo que $x_n \in [0, 1]$, donde 0 es la ausencia de población y 1 es la capacidad máxima del ecosistema (esta normalización permite simplificar los cálculos y generalizar el modelo para diferentes especies y ecosistemas);
• r es la tasa de crecimiento;
• $x_{n+1}$​ es el tamaño de la población en la siguiente generación.

Contextualización biológica

Este modelo fue introducido por Robert May (1976) para estudiar el crecimiento de poblaciones cuando hay recursos limitados, como ocurre con especies invasoras, o incluso en modelos de depredador-presa, donde las interacciones entre especies también dependen de los recursos disponibles. A diferencia del crecimiento exponencial, que supone recursos infinitos, el modelo logístico incluye un término de autorregulación: a medida que la población se acerca a la capacidad del entorno, el crecimiento se frena.

Análisis gráfico del modelo logístico

Para analizar el comportamiento del modelo logístico, es muy útil representar gráficamente la función de recurrencia $f(x) = r x (1 – x)$ y compararla con la recta identidad $y = x$, lo que nos permite observar cómo las iteraciones del sistema evolucionan a lo largo del tiempo. El análisis gráfico nos ayuda a visualizar de manera intuitiva el comportamiento de la población, desde su crecimiento hasta su estabilización o el inicio de ciclos periódicos o caos.

Para el análisis gráfico:
Paso 1. Dibujar la parábola $y = r x (1 – x)$. Esta función es una parábola que depende del parámetro r. Para diferentes valores de r, la forma de la parábola cambia, lo que afectará el comportamiento de la población.
Paso 2. Dibujar la recta $y = x$. Esta recta sirve como referencia, ya que nos permite ver la relación entre $x_n$​ y $x_{n+1}$​. Los puntos de intersección entre la parábola y la recta $y = x$ son los puntos fijos del sistema.
Paso 3. Elegir un valor inicial $x_0$. A partir de este valor inicial, realizamos las iteraciones y representamos cómo se mueve el valor de $x_n$​ a lo largo de los pasos de tiempo. El método más visual para hacerlo es el método de cobweb (telaraña), que traza las iteraciones en el gráfico de manera que podamos observar si la población tiende a estabilizarse, oscilar o volverse caótica, para esto:
$\quad$○ Primero, se parte de $(x_0, 0)$, subes verticalmente hasta tocar $y = r x(1 – x)$.
$\quad$○ Luego, desde ahí, vas horizontalmente hasta la recta $y = x$.
$\quad$○ Por último, repite: subes a la parábola, luego horizontal a la recta, y así iteradamente.
Visualiza cómo las iteraciones convergen (o divergen) hacia puntos fijos, ciclos o caos. Puedes incluir un diagrama con flechas o líneas que marquen cada paso.

Interpretación
• Atractores estables: si las iteraciones se acercan a un punto fijo, ese punto es un atractor estable. La población tiende a estabilizarse en ese valor a medida que pasa el tiempo.
• Puntos inestables: si las iteraciones se alejan del punto fijo, el punto es inestable, lo que significa que pequeñas perturbaciones harán que el sistema se desvíe de ese punto.
• Ciclos periódicos: en algunos valores de r, las iteraciones siguen un patrón cíclico, es decir, la población oscila entre dos o más valores en un ciclo repetitivo.
• Comportamiento caótico: para valores suficientemente altos de r, el sistema puede entrar en un comportamiento caótico, donde pequeñas diferencias en las condiciones iniciales generan trayectorias completamente diferentes.

Ejemplo gráfico
Objetivo: Observar cómo la población se estabiliza en un punto fijo usando GeoGebra.
Valor inicial: $x_0 = 0.2$
Función: $f(x) = 2.8 \cdot x \cdot (1 – x)$

a) En GeoGebra

1. Abre https://www.geogebra.org/graphing, o bien, el software descargable.
2. En la barra de entrada, escribe:
$\quad$○ f(x) = 2.8 * x * (1 – x)
$\quad$○ g(x) = x (recta identidad)
3. Para dibujar la telaraña (cobweb):
$\quad$○ Define el valor inicial: x0 = 0.2
$\quad$○ Crea el primer punto vertical sobre la parábola: A = (x0, f(x0)). Esto representa $(x_0, x_1)$.
$\quad$○ Crea el primer punto horizontal sobre la recta identidad: B = (f(x0), f(x0))
$\quad$○ Dibuja los segmentos: Segment((x0, 0), A) y Segment(A, B)
$\quad$○ Repite el proceso: define C = (f(x0), f(f(x0))) y D = (f(f(x0)), f(f(x0))). Luego: Segment(B, C) y Segment(C, D)
Puedes repetir este proceso tantas veces como necesites o deeses para que puedas verificar que efectivamente el valor se acerca a un punto: eso indica estabilización.

TIP: si te parece mucho escribir, puedes usar la herramienta de punto y de segmento directamente desde los íconos de la parte izquierda de GeoGebra.

En https://www.geogebra.org/m/tm7t2hma puedes encontrar el ejemplo.

b) En Excel / Hoja de cálculo de Google

1. En la columna A, coloca los valores de n: 0 a 20.
2. En la columna B, escribe los valores de $x_n$​, con $x_0 = 0.2$
$\quad$○ En B2 escribe =0.2
$\quad$○ En B3 escribe =2.8*B2*(1-B2) y copia deslizando hacia abajo.
3. En la columna C, calcula los pares $(x_n, x_{n+1})$
$\quad$○ En C3 escribe =B2
$\quad$○ En D3 escribe =B3
4. Selecciona columnas C y D para hacer un gráfico de dispersión con líneas.
5. Resultado: gráfico de telaraña en plano $x_n$​ contra $x_{n+1}$

Ejercicio gráfico
Objetivo: Observar el comportamiento usando el método telaraña.
Valor inicial: $x_0 = 0.2$
Función: $f(x) = 3.5 \cdot x \cdot (1 – x)$
1. Lleva a cabo los pasos para realizar el análisis gráfico en GeoGebra.
2. Realiza el análisis gráfico ahora en una hoja de cálculo.
3. Concluye qué tipo de comportamiento observaste.

Análisis de las órbitas en el modelo logístico

Las órbitas son las trayectorias que siguen las soluciones del modelo logístico a lo largo del tiempo. Dado un valor inicial $x_0$​, el modelo genera una secuencia de valores $x_0, x_1, x_2, \dots$, que corresponde al comportamiento de la población en los distintos pasos de tiempo. El comportamiento de estas órbitas depende en gran medida del valor del parámetro r, y las órbitas pueden clasificarse en varios tipos según cómo evolucionan con el paso del tiempo. 

Comportamiento de las órbitas según r:
• $0 < r < 1$: la población tiende a extinguirse. Las iteraciones se acercan a 0, lo que refleja que los recursos son insuficientes para mantener la población.
• $1 < r < 3$: la población converge a un punto fijo estable, lo que significa que el sistema alcanza un equilibrio donde el tamaño de la población se estabiliza.
• $3 < r < 3.57$: el sistema puede entrar en un ciclo periódico, donde las iteraciones siguen un patrón repetitivo, aumentando la complejidad a medida que r aumenta (por ejemplo, ciclo de periodo 2, luego de periodo 4, etc.).
• $r > 3.57$: el sistema entra en un comportamiento caótico. Las pequeñas variaciones en el valor inicial de la población pueden generar trayectorias completamente diferentes, lo que hace que el sistema sea impredecible.

Estabilidad: Un punto fijo $x^*$ es estable si pequeñas perturbaciones vuelven a él con el tiempo. Matemáticamente, esto ocurre cuando la derivada de la función de recurrencia $f'(x^*)$ cumple con:

$|f'(x^*)| < 1$

También se pueden analizar órbitas periódicas y su estabilidad usando derivadas sucesivas.

Retrato fase: Se trata de una representación del comportamiento dinámico del sistema:
• En el retrato unidimensional, se puede representar simplemente la evolución de $x_n$​ en el eje horizontal, como puntos sucesivos.
• También se puede representar el

retrato bidimensional como el par $(x_n, x_{n+1})$, lo que permite visualizar la dinámica como puntos en el plano, de manera que se puedan observar expresiones cíclicas o caóticas.

Analizar el retrato fase es útil porque muestra si la órbita se estabiliza, oscila o diverge, e identifica atractores, puntos fijos y ciclos periódicos.

Ejercicio gráfico
Objetivo: Comparar el comportamiento gráfico para r = 2.8, r = 3.2 y r = 3.5.

1. Abre GeoGebra.
2. Para cada valor de r:
$\quad$○ Escribe: f(x) = r * x * (1 – x) cambiando el valor.
$\quad$○ Deja siempre la recta identidad g(x) = x.
$\quad$○ Escribe el mismo valor inicial x0 = 0.2
$\quad$○ Traza al menos 15 iteraciones del método telaraña para observar si:
$\qquad$□ Converge a un punto
$\qquad$□ Oscila entre varios de manera periódica
$\qquad$□ Muestra comportamiento caótico

3. Anota lo que observaste
$\quad$○ ¿Qué tipo de comportamiento hay en cada caso?
$\quad$○ ¿Cómo lo identificaron visualmente?

En https://www.geogebra.org/m/wpurkns6 puedes encontrar la construcción en GeoGebra.

Módulo 2

8. Ecuaciones y factorización

Ejercicios

a. Ecuaciones lineales
Resuelve la ecuación
1. $5(x + 3) – 2 = 3x + 4$
2. $2(3x – 1) + 4 = x + 10$
3. $7x – (2x + 5) = 3x + 9$
4. $\frac{1}{2}(4x – 6) = 3x + 1$
5. $4x + 3 = 2(2x – 1) + 5$

b. Ecuaciones cuadráticas por factorización
Resuelve
1. $x^2 + 5x + 6 = 0$
2. $x^2 – 4 = 0$
3. $3x^2 + 11x + 6 = 0$
4. $4x^2 – 25 = 0$
5. $x^3 – 6x^2 – 4x + 24 = 0$

c. Ecuaciones cuadráticas con fórmula general
Resuelve
1. $x^2 – 7x + 10 = 0$
2. $2x^2 + 5x – 3 = 0$
3. $x^2 + 4x + 5 = 0$
4. $3x^2 – 18x + 5 = 0$
5. $4x^2 – 4x + 1 = 0$

d. Completando el cuadrado
Reescribe completando el cuadrado
1. $x^2 + 10x + 21$
2. $x^2 – 6x + 2$
3. $2x^2 + 8x + 7$
4. $3x^2 + 12x – 1$
5. $x^2 – 4x + 3$

Respuestas modelo

a. Ecuaciones lineales
1. $5(x + 3) – 2 = 3x + 4 \Rightarrow 5x + 15 – 2 = 3x + 4 \Rightarrow 5x + 13 = 3x + 4 \Rightarrow 2x = -9 \Rightarrow x = -\frac{9}{2}$
2. $2(3x – 1) + 4 = x + 10 \Rightarrow 6x – 2 + 4 = x + 10 \Rightarrow 6x + 2 = x + 10 \Rightarrow 5x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{5}$
3. $7x – (2x + 5) = 3x + 9 \Rightarrow 7x – 2x – 5 = 3x + 9 \Rightarrow 5x – 5 = 3x + 9 \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7$
4. $\frac{1}{2}(4x – 6) = 3x + 1 \Rightarrow 2x – 3 = 3x + 1 \Rightarrow -x = 4 \Rightarrow x = -4$
5. $4x + 3 = 2(2x – 1) + 5 \Rightarrow 4x + 3 = 4x – 2 + 5 \Rightarrow 4x + 3 = 4x + 3 \Rightarrow \text{Identidad: todas las soluciones reales}$

b. Ecuaciones cuadráticas por factorización
1. $x^2 + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -2,, x = -3$
2. $x^2 – 4 = 0 \Rightarrow (x – 2)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 2,, x = -2$
3. $3x^2 + 11x + 6 = 0 \Rightarrow (3x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3},, x = -3$
4. $4x^2 – 25 = 0 \Rightarrow (2x – 5)(2x + 5) = 0 \Rightarrow x = \pm\frac{5}{2}$
5. $x^3 – 6x^2 – 4x + 24 = 0 \Rightarrow (x^2 – 6x) – (4x – 24) = x(x – 6) -4(x – 6) = (x – 4)(x – 6) \Rightarrow x = 4,, x = 6,, x = -1$

c. Ecuaciones cuadráticas con fórmula general
1. $x^2 – 7x + 10 = 0 \Rightarrow x = \frac{7 \pm \sqrt{49 – 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \Rightarrow x = 5,, x = 2$
2. $2x^2 + 5x – 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{2},, x = -3$
3. $x^2 + 4x + 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 20}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \text{no hay soluciones reales}$
4. $3x^2 – 18x + 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{18 \pm \sqrt{324 – 60}}{6} = \frac{18 \pm \sqrt{264}}{6} = \frac{18 \pm 2\sqrt{66}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{66}}{3}$
5. $4x^2 – 4x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 – 4(4)(1)}}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{8} = \frac{1}{2}$

d. Completando el cuadrado
1. $x^2 + 10x + 21 = x^2 + 10x + 25 – 4 = (x + 5)^2 – 4$
2. $x^2 – 6x + 2 = x^2 – 6x + 9 – 7 = (x – 3)^2 – 7$
3. $2x^2 + 8x + 7 = 2(x^2 + 4x + 4 – 4) + 7 = 2(x + 2)^2 – 8 + 7 = 2(x + 2)^2 – 1$
4. $3x^2 + 12x – 1 = 3(x^2 + 4x + 4 – 4) – 1 = 3(x + 2)^2 – 12 – 1 = 3(x + 2)^2 – 13$
5. $x^2 – 4x + 3 = x^2 – 4x + 4 – 1 = (x – 2)^2 – 1$

Problemas

Problema 1. Ecuación en dispersión de sustancias
Una sustancia se dispersa linealmente con el tiempo según la ecuación $C(t) = 5t + 20$, donde $C$ es la concentración y $t$ el tiempo en minutos.
a. ¿Cuánto tiempo pasará hasta que la concentración sea de 45 unidades?
b. ¿En qué instante fue de 35 unidades?

Problema 2. Biomecánica de movimiento muscular
Un músculo genera una fuerza proporcional al cuadrado de su estiramiento. Si la relación es $F = 3x^2 – 12x + 9$, donde $x$ es la distancia estirada:
a. ¿En qué puntos la fuerza es cero?
b. ¿Cuál es el valor mínimo de fuerza?
c. ¿Para qué valor de x se obtiene ese mínimo?

Respuestas modelo

Problema 1. Ecuación en dispersión de sustancias
a. $5t + 20 = 45 \Rightarrow 5t = 25 \Rightarrow t = 5$ minutos
b. $5t + 20 = 35 \Rightarrow 5t = 15 \Rightarrow t = 3$ minutos

Problema 2. Biomecánica de movimiento muscular
a. $3x^2 – 12x + 9 = 0 \Rightarrow x = \frac{12 \pm \sqrt{144 – 108}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{6} = \frac{12 \pm 6}{6}$
$x = 3,\ x = 1$
b. Completando cuadrados:
$F = 3(x^2 – 4x + 3) = 3(x – 2)^2 – 3$
Mínimo: $F = -3$
c. El mínimo ocurre en $x = 2$

Recursos digitales

• https://www.geogebra.org/m/rw3ahsnu
• https://www.geogebra.org/m/fJp8cgyU
• https://pruebat.org/Aprende/CatCursos/contenidoCurso/44341/

9. Desigualdades

Ejercicios

a. Desigualdades lineales simples
Resuelve las desigualdades y representa gráficamente el resultado
1. $2x + 7 < 15$
2. $5x – 3 \geq 2x + 6$
3. $-4x + 8 < 0$
4. $3 – x > 7$
5. $\frac{1}{2}x + 1 \leq 4$

b. Propiedades de las desigualdades (multiplicación o división negativa)
1. $-2x > 6$
2. $-3x + 1 \leq -5$
3. $-5(x – 1) \geq 15$

c. Desigualdades cuadráticas
1. $x^2 – 4 > 0$
2. $x^2 – x – 6 \leq 0$
3. $x^2 + 2x + 1 \geq 0$
4. $(x – 1)(x + 2) < 0$
5. $x^2 – 5x + 6 \geq 0$

Respuestas modelo

a. Desigualdades lineales simples
1. $2x < 8 \Rightarrow x < 4$
2. $3x \geq 9 \Rightarrow x \geq 3$
3. $-4x < -8 \Rightarrow x > 2$ (cambio de signo)
4. $-x > 4 \Rightarrow x < -4$ (cambio de signo)
5. $\frac{1}{2}x \leq 3 \Rightarrow x \leq 6$

b. Propiedades de las desigualdades (multiplicación o división negativa)
1. $x < -3$
2. $-3x \leq -6 \Rightarrow x \geq 2$
3. $-5x + 5 \geq 15 \Rightarrow -5x \geq 10 \Rightarrow x \leq -2$

c. Desigualdades cuadráticas
1. $x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)$
Solución: $x < -2$ o $x > 2$
2. $(x – 3)(x + 2) \leq 0$
Solución: $-2 \leq x \leq 3$
3. $(x + 1)^2 \geq 0$
Siempre verdadera, solución: todos los reales $\mathbb{R}$
4. Solución entre raíces: $-2 < x < 1$
5. $(x – 2)(x – 3) \geq 0$
Solución: $x \leq 2$ o $x \geq 3$

10. Logaritmos

Ejercicios

a. Definición de logaritmo
Resuelve los siguientes logaritmos
1. $\log_2 8$
2. $\log_5 125$
3. $\log_{10} 100$
4. $\log_3 81$
5. $\log_4 64$

b. Logaritmos comunes y naturales
Resuelve los siguientes logaritmos
1. $\log 1000$
2. $\log 0.01$
3. $\ln e$
4. $\ln 1$
5. $\ln e^5$

c. Propiedades de los logaritmos
1. Simplifica $\log_2 (8 \cdot 4)$
2. Calcula $\log_3 \left( \frac{27}{3} \right)$
3. Evalúa $\log_5 (25^3)$
4. Resuelve $\log_7 1$
5. Resuelve $\log_{10} 10$

d. Cambio de base
1. Calcula $\log_2 100$ usando logaritmos base 10.
2. Calcula $\log_4 20$ usando logaritmos naturales.
3. Expresa $\log_3 81$ como cociente de logaritmos naturales.
4. Calcula $\log_7 49$ usando logaritmos base 10.
5. Escribe una expresión equivalente para $\log_b a$ con base $e$.

Respuestas modelo

a. Definición de logaritmo
1. $\log_2 8 = 3$, porque $2^3 = 8$
2. $\log_5 125 = 3$, porque $5^3 = 125$
3. $\log_{10} 100 = 2$, porque $10^2 = 100$
4. $\log_3 81 = 4$, porque $3^4 = 81$
5. $\log_4 64 = 3$, porque $4^3 = 64$

b. Logaritmos comunes y naturales
1. $\log 1000 = \log_{10} 1000 = 3$
2. $\log 0.01 = \log_{10} 10^{-2} = -2$
3. $\ln e = 1$
4. $\ln 1 = 0$
5. $\ln e^5 = 5 \cdot \ln e = 5$

c. Propiedades de los logaritmos
1. $\log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5$
2. $\log_3 \left( \frac{27}{3} \right) = \log_3 27 – \log_3 3 = 3 – 1 = 2$
3. $\log_5 (25^3) = 3 \cdot \log_5 25 = 3 \cdot 2 = 6$
4. $\log_7 1 = 0$
5. $\log_{10} 10 = 1$

d. Cambio de base
1. $\log_2 100 = \frac{\log_{10} 100}{\log_{10} 2} = \frac{2}{0.3010} \approx 6.64$
2. $\log_4 20 = \frac{\ln 20}{\ln 4} \approx \frac{2.9957}{1.3863} \approx 2.16$
3. $\log_3 81 = \frac{\ln 81}{\ln 3} = \frac{4.394}{1.099} \approx 4$
4. $\log_7 49 = \frac{\log 49}{\log 7} = \frac{1.6902}{0.8451} \approx 2$
5. $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$

Problemas 

Problema 1. Crecimiento poblacional con logaritmos
Una población de bacterias sigue el modelo $P(t) = 200 \cdot e^{0.5t}$, donde $t$ está en horas.
a. ¿Cuántas bacterias habrá después de 4 horas?
b. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar las 1600 bacterias?

Problema 2. Cálculo del pH
La concentración de iones de hidrógeno en una muestra de agua es de $[H^+] = 3.16 \times 10^{-5}$ mol/L.
a. Calcula el pH de la muestra.
b. ¿Es ácida o básica?

Respuestas modelo

Problema 1. Crecimiento poblacional con logaritmos
a. $P(4) = 200 \cdot e^{0.5 \cdot 4} = 200 \cdot e^2 \approx 200 \cdot 7.389 = 1477.8$
b. $1600 = 200 \cdot e^{0.5t} \Rightarrow 8 = e^{0.5t} \Rightarrow \ln 8 = 0.5t \Rightarrow t = \frac{\ln 8}{0.5} \approx \frac{2.079}{0.5} = 4.158$ horas

Problema 2. Cálculo del pH
a. $\text{pH} = -\log_{10} [H^+] = -\log(3.16 \times 10^{-5}) = -(\log 3.16 + \log 10^{-5}) = -(0.5 – 5) = 4.5$
b. Es una solución ácida porque $\text{pH} < 7$

Recursos digitales

• https://www.geogebra.org/m/kJXr8xKg

11. Iteración

Ejercicios

a. Iteraciones simples con reglas lineales
1. Si $x_0 = 3$ y $x_{n+1} = x_n + 5$, calcula los primeros cinco términos de la sucesión.
2. Si $x_0 = -2$ y $x_{n+1} = x_n + 4$, encuentra $x_1$ hasta $x_5$.
3. Si $x_0 = 10$ y $x_{n+1} = x_n – 3$, calcula los primeros cinco valores.
4. Si $x_0 = 0$ y $x_{n+1} = 2x_n + 1$, determina los primeros cinco términos.
5. Si $x_0 = 5$ y $x_{n+1} = 0.5x_n$, encuentra $x_1$ hasta $x_5$.

b. Iteraciones con crecimiento exponencial o logístico
1. Si $P_0 = 100$ y $P_{n+1} = 2P_n$, halla $P_1$ a $P_5$.
2. Si $P_0 = 80$ y $P_{n+1} = 1.5P_n$, determina los primeros cinco valores.
3. Si $P_0 = 50$ y $P_{n+1} = P_n + 0.2P_n(1 – \frac{P_n}{500})$, encuentra $P_1$ hasta $P_5$.

Respuestas modelo

a. Iteraciones simples con reglas lineales
1. $x_0 = 3$
$x_1 = 3 + 5 = 8$
$x_2 = 8 + 5 = 13$
$x_3 = 13 + 5 = 18$
$x_4 = 18 + 5 = 23$
$x_5 = 23 + 5 = 28$

2. $x_0 = -2$
$x_1 = -2 + 4 = 2$
$x_2 = 2 + 4 = 6$
$x_3 = 6 + 4 = 10$
$x_4 = 10 + 4 = 14$
$x_5 = 14 + 4 = 18$

3. $x_0 = 10$
$x_1 = 10 – 3 = 7$
$x_2 = 7 – 3 = 4$
$x_3 = 4 – 3 = 1$
$x_4 = 1 – 3 = -2$
$x_5 = -2 – 3 = -5$

4. $x_0 = 0$
$x_1 = 2(0) + 1 = 1$
$x_2 = 2(1) + 1 = 3$
$x_3 = 2(3) + 1 = 7$
$x_4 = 2(7) + 1 = 15$
$x_5 = 2(15) + 1 = 31$

5. $x_0 = 5$
$x_1 = 0.5(5) = 2.5$
$x_2 = 0.5(2.5) = 1.25$
$x_3 = 0.5(1.25) = 0.625$
$x_4 = 0.5(0.625) = 0.3125$
$x_5 = 0.5(0.3125) = 0.15625$

b. Iteraciones con crecimiento exponencial o logístico
1. $P_0 = 100$
$P_1 = 2(100) = 200$
$P_2 = 2(200) = 400$
$P_3 = 2(400) = 800$
$P_4 = 2(800) = 1600$
$P_5 = 2(1600) = 3200$

2. $P_0 = 80$
$P_1 = 1.5(80) = 120$
$P_2 = 1.5(120) = 180$
$P_3 = 1.5(180) = 270$
$P_4 = 1.5(270) = 405$
$P_5 = 1.5(405) = 607.5$

3. $P_0 = 50$
$P_1 = 50 + 0.2(50)(1 – \frac{50}{500}) = 50 + 0.2(50)(0.9) = 50 + 9 = 59$
$P_2 = 59 + 0.2(59)(1 – \frac{59}{500}) \approx 59 + 0.2(59)(0.882) \approx 69.4$
$P_3 \approx 69.4 + 0.2(69.4)(1 – \frac{69.4}{500}) \approx 81.1$
$P_4 \approx 81.1 + 0.2(81.1)(0.838) \approx 94.7$
$P_5 \approx 94.7 + 0.2(94.7)(0.811) \approx 110.1$

Problemas

Problema 1. Dinámica de una población en ambiente limitado
Una población de insectos sigue el modelo logístico iterativo:
$P_{n+1} = P_n + 0.1P_n\left(1 – \frac{P_n}{1000}\right)$
Si al inicio hay $P_0 = 100$ insectos, calcula $P_1$ a $P_5$.

Problema 2. Dilución de una sustancia
Una sustancia disminuye su concentración en un 30% con cada paso de purificación. Si la concentración inicial es $C_0 = 120\ \text{mg/L}$, y se aplica la regla: $C_{n+1} = 0.7C_n$. Determina $C_1$ a $C_5$.

Respuestas modelo

Problema 1. Dinámica de una población en ambiente limitado
$P_0 = 100$
$P_1 = 100 + 0.1(100)(1 – \frac{100}{1000}) = 100 + 0.1(100)(0.9) = 100 + 9 = 109$
$P_2 = 109 + 0.1(109)(1 – \frac{109}{1000}) \approx 109 + 9.72 = 118.72$
$P_3 \approx 118.72 + 0.1(118.72)(1 – 0.11872) \approx 129.2$
$P_4 \approx 141.1$
$P_5 \approx 153.8$

Problema 2. Dilución de una sustancia
$C_0 = 120$
$C_1 = 0.7(120) = 84$
$C_2 = 0.7(84) = 58.8$
$C_3 = 0.7(58.8) = 41.16$
$C_4 = 0.7(41.16) = 28.81$
$C_5 = 0.7(28.81) = 20.17$

Recursos digitales

• https://www.geogebra.org/m/rrBCBftz
• https://www.geogebra.org/m/YKpNC2hR
• https://www.geogebra.org/m/rTgKYS4U
• https://www.geogebra.org/m/YXU5hmEZ
• https://ncase.me/polygons-es/

12. Funciones y sus gráficas

Ejercicios

a. Definición de función
1. Si $f(x) = 3x – 2$, calcula: $f(0)$, $f(1)$, $f(4)$
2. Si $f(x) = x^2 + 1$, halla: $f(-1)$, $f(2)$, $f(3)$
3. Dada $f(x) = 5 – 2x$, encuentra: $f(0)$, $f(2)$, $f(5)$
4. Sea $f(x) = \frac{1}{x+1}$. Calcula: $f(0)$, $f(1)$, $f(-1)$
5. Si $f(x) = \sqrt{x + 4}$, determina: $f(0)$, $f(5)$, $f(-3)$

b. Función lineal
1. Grafica $f(x) = 2x + 1$ para $x = -2, -1, 0, 1, 2$
2. Identifica la pendiente y ordenada al origen de $f(x) = -3x + 4$
3. Determina si la recta $f(x) = 0.5x – 2$ es creciente o decreciente
4. Encuentra el punto de corte con el eje Y de $f(x) = -x + 6$
5. Calcula $x$ cuando $f(x) = 0$ en la función $f(x) = 4x – 8$

c. Funciones no lineales
1. Cuadrática: Para $f(x) = x^2 – 6x + 8$, encuentra las raíces
2. Cuadrática: Halla el vértice de $f(x) = -2x^2 + 4x + 1$
3. Exponencial: Evalúa $f(x) = 2 \cdot 3^x$ para $x = 0, 1, 2$
4. Logarítmica: Si $f(x) = 2\log(x)$, encuentra $f(1)$, $f(10)$
5. Racional: Para $f(x) = \frac{1}{x}$, determina $f(1)$, $f(-2)$, $f(0.5)$

d. Dominio y codominio
1. Determina el dominio de $f(x) = \sqrt{x – 2}$
2. Encuentra el dominio de $f(x) = \frac{1}{x^2 – 4}$
3. ¿Cuál es el dominio de $f(x) = \log(x+3)$?
4. Da un ejemplo de una función cuyo dominio sean todos los reales
5. Describe el codominio de $f(x) = x^2$ si $x \in [-3, 2]$

e. Coeficientes de correlación
1. Una correlación de r = 0.95 entre masa y altura sugiere qué tipo de relación?
2. Si r = –0.88 entre tiempo de ejercicio y frecuencia cardiaca, ¿cómo se interpreta?
3. ¿Qué indica r = 0 entre la cantidad de agua y la temperatura?
4. ¿Cuál valor de r indica una correlación lineal perfecta positiva?
5. Explica por qué una correlación alta no implica causalidad

Respuestas modelo

a. Definición de función
1. $f(0) = -2$, $f(1) = 1$, $f(4) = 10$
2. $f(-1) = 2$, $f(2) = 5$, $f(3) = 10$
3. $f(0) = 5$, $f(2) = 1$, $f(5) = -5$
4. $f(0) = 1$, $f(1) = \frac{1}{2}$, $f(-1) = \text{indefinida}$
5. $f(0) = \sqrt{4} = 2$, $f(5) = \sqrt{9} = 3$, $f(-3) = \sqrt{1} = 1$

b. Función lineal
1. Puntos: $(-2, -3)$, $(-1, -1)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 5)$
2. Pendiente $m = -3$, ordenada al origen $b = 4$
3. Es decreciente, ya que $m = 0.5 > 0$
4. Punto: $(0, 6)$
5. $4x – 8 = 0 \Rightarrow x = 2$

c. Funciones no lineales
1. $x^2 – 6x + 8 = 0 \Rightarrow (x – 2)(x – 4) = 0 \Rightarrow x = 2,\ 4$
2. Vértice: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{-4} = 1$, $y = f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = 3$, vértice: $(1, 3)$
3. $f(0) = 2$, $f(1) = 6$, $f(2) = 18$
4. $f(1) = 0$, $f(10) \approx 2$
5. $f(1) = 1$, $f(-2) = -0.5$, $f(0.5) = 2$

d. Dominio y codominio
1. $x – 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$, dominio: $[2, \infty)$
2. $x^2 – 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm2$, dominio: $\mathbb{R} \setminus {-2,\ 2}$
3. $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$, dominio: $(-3, \infty)$
4. Ejemplo: $f(x) = x^3$, dominio: $\mathbb{R}$
5. $x^2 \in [0, 9]$ para $x \in [-3, 2]$, codominio: $[0, 9]$

e. Coeficientes de correlación
1. Fuerte correlación positiva: al aumentar la masa, también aumenta la altura
2. Fuerte correlación negativa: a más ejercicio, menor frecuencia cardiaca
3. No hay relación lineal entre agua y temperatura
4. r = 1
5. Porque pueden estar influenciadas por una tercera variable o por coincidencia estadística

Problemas

Problema 1. Crecimiento de células inmunes
Durante una respuesta inmune, una población de células T se duplica cada 12 horas.
a. Si se parte de 1000 células, ¿cuántas habrá en 24 horas?
b. ¿Cuántas habrá después de 36 horas?
c. ¿Después de cuántas horas se superarán las 32,000 células?
Usa: $f(t) = 1000 \cdot 2^{t/12}$, donde $t$ está en horas.

Problema 2. Efecto de dosis de fármaco en respuesta fisiológica
Una investigadora estudia el efecto de un fármaco, midiendo la respuesta como: $R(x) = 10 \cdot \log(x + 1)$
a. ¿Cuál es la respuesta cuando la dosis es de 1 mg?
b. ¿Y cuando es de 9 mg?
c. ¿Qué ocurre si se duplica la dosis de 4 mg a 8 mg?

Respuestas modelo

Problema 1. Células inmunes
a. $f(24) = 1000 \cdot 2^{2} = 1000 \cdot 4 = 4000$
b. $f(36) = 1000 \cdot 2^{3} = 1000 \cdot 8 = 8000$
c. Buscamos $t$ tal que $1000 \cdot 2^{t/12} > 32000$
Dividiendo: $2^{t/12} > 32$
Como $2^5 = 32$, entonces $\frac{t}{12} > 5 \Rightarrow t > 60$
Respuesta: después de 60 horas

Problema 2. Dosis y respuesta
a. $R(1) = 10 \cdot \log(2) \approx 10 \cdot 0.301 = 3.01$
b. $R(9) = 10 \cdot \log(10) = 10 \cdot 1 = 10$
c. $R(4) = 10 \cdot \log(5) \approx 10 \cdot 0.699 = 6.99$,
$R(8) = 10 \cdot \log(9) \approx 10 \cdot 0.954 = 9.54$
La respuesta no se duplica, el crecimiento es más lento por la naturaleza logarítmica

13. Sistemas de ecuaciones lineales

Ejercicios

a. Tipos de soluciones
Para cada sistema, indica el tipo de solución (única, infinitas o ninguna).
1. $\begin{cases} x + y = 4 \ x – y = 2 \end{cases}$
2. $\begin{cases} 2x – y = 4 \ 4x – 2y = 8 \end{cases}$
3. $\begin{cases} 3x + y = 7 \ 3x + y = 2 \end{cases}$
4. $\begin{cases} y = 2x + 1 \ y = -x + 4 \end{cases}$
5. $\begin{cases} 2x + 3y = 6 \ 4x + 6y = 12 \end{cases}$

b. Método gráfico
Grafica cada sistema y determina visualmente su solución.
1. $\begin{cases} y = x + 1 \ y = -x + 5 \end{cases}$
2. $\begin{cases} y = 2x – 3 \ y = 2x + 1 \end{cases}$
3. $\begin{cases} x + y = 3 \ x – y = 1 \end{cases}$
4. $\begin{cases} y = -x + 2 \ y = x – 4 \end{cases}$
5. $\begin{cases} y = 0.5x \ y = -2x + 5 \end{cases}$

c. Método de sustitución
Resuelve cada sistema usando sustitución.
1. $\begin{cases} x + y = 7 \ x – y = 1 \end{cases}$
2. $\begin{cases} x = 2y \ x + y = 6 \end{cases}$
3. $\begin{cases} y = 3x – 5 \ 2x + y = 7 \end{cases}$
4. $\begin{cases} x = y + 4 \ x + y = 10 \end{cases}$
5. $\begin{cases} y = -x + 2 \ 2x + y = 4 \end{cases}$

d. Método de igualación
Resuelve cada sistema usando igualación.
1. $\begin{cases} y = 2x + 1 \ y = -x + 4 \end{cases}$
2. $\begin{cases} y = x – 3 \ y = -2x + 6 \end{cases}$
3. $\begin{cases} y = 3x + 2 \ y = x + 6 \end{cases}$
4. $\begin{cases} y = \frac{1}{2}x + 4 \ y = -x + 1 \end{cases}$
5. $\begin{cases} y = 4x – 5 \ y = 2x + 1 \end{cases}$

e. Método de reducción
Resuelve cada sistema usando reducción (suma o resta).
1. $\begin{cases} x + y = 8 \ x – y = 2 \end{cases}$
2. $\begin{cases} 3x + 2y = 12 \ 5x – 2y = 8 \end{cases}$
3. $\begin{cases} 4x + y = 11 \ -4x + 2y = -6 \end{cases}$
4. $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \ 4x + 6y = 14 \end{cases}$
5. $\begin{cases} x – 2y = 1 \ 2x + y = 7 \end{cases}$

Respuestas modelo

a. Tipos de soluciones
1. Una única solución
2. Infinitas soluciones
3. Ninguna solución
4. Una única solución
5. Infinitas soluciones

b. Método gráfico (estimación visual)
1. Se cortan en (2, 3)
2. Son paralelas → ninguna solución
3. Se cortan en (2, 1)
4. Se cortan en (3, -1)
5. Se cortan en (2, 1)

c. Método de sustitución
1. $x = 4$, $y = 3$ → (4, 3)
2. $x = 4$, $y = 2$ → (4, 2)
3. Sustituimos: $2x + (3x – 5) = 7 \Rightarrow 5x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{5}$
$y = 3 \cdot \frac{12}{5} – 5 = \frac{36}{5} – 5 = \frac{11}{5}$ → $\left( \frac{12}{5}, \frac{11}{5} \right)$
4. $x = y + 4$, sustituyendo: $y + 4 + y = 10 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$, $x = 7$ → (7, 3)
5. $y = -x + 2$, sustituyendo en la otra: $2x + (-x + 2) = 4 \Rightarrow x = 2$, $y = 0$ → (2, 0)

d. Método de igualación
1. $2x + 1 = -x + 4 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1$, $y = 3$ → (1, 3)
2. $x – 3 = -2x + 6 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$, $y = 0$ → (3, 0)
3. $3x + 2 = x + 6 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$, $y = 8$ → (2, 8)
4. $\frac{1}{2}x + 4 = -x + 1 \Rightarrow \frac{3}{2}x = -3 \Rightarrow x = -2$, $y = 3$ → (-2, 3)
5. $4x – 5 = 2x + 1 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$, $y = 7$ → (3, 7)

e. Método de reducción
1. Sumamos: $2x = 10 \Rightarrow x = 5$, $y = 3$ → (5, 3)
2. Sumamos: $8x = 20 \Rightarrow x = 2.5$, $y = 2.25$ → (2.5, 2.25)
3. Sumamos: $3y = 5 \Rightarrow y = \frac{5}{3}$, $x = \frac{11 – \frac{5}{3}}{4} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$ → $\left( \frac{7}{3}, \frac{5}{3} \right)$
4. Reducción directa: las ecuaciones son múltiplos → infinitas soluciones
5. Multiplicamos primera por 2: $2x – 4y = 2$
Restamos: $2x – 4y – (2x + y) = 2 – 7 \Rightarrow -5y = -5 \Rightarrow y = 1$
$x = 1 + 2 = 3$ → (3, 1)

Problemas

Problema 1. Mezcla de soluciones
En un laboratorio necesita preparar 10 litros de una solución al 40% de sal. Se tiene disponibles soluciones al 30% y al 60%.
Sea x la cantidad (en litros) de solución al 30% e y la del 60%.
a. ¿Cuántos litros de cada solución debe mezclar?

Problema 2. Nutrición celular
Una célula requiere exactamente 12 mg de proteína y 18 mg de glucosa. Dos soluciones nutritivas ofrecen:
• Solución A: 2 mg de proteína y 3 mg de glucosa por gota
• Solución B: 4 mg de proteína y 3 mg de glucosa por gota
¿Cuántas gotas de cada solución se necesitan para satisfacer los requerimientos?

Respuestas modelo

Problema 1. Mezcla de soluciones
Sistema:
$\begin{cases} x + y = 10 \ 0.30x + 0.60y = 0.40 \cdot 10 = 4 \end{cases}$
Multiplicamos segunda por 100:
$30x + 60y = 400$
Reducimos usando la primera:
$x = 10 – y$
$30(10 – y) + 60y = 400 \Rightarrow 300 – 30y + 60y = 400 \Rightarrow 30y = 100 \Rightarrow y = \frac{10}{3}$
$x = \frac{20}{3}$
Solución: Mezclar $\frac{20}{3} \approx 6.67$ L de solución al 30% y $\frac{10}{3} \approx 3.33$ L de la del 60%.

Problema 2. Nutrición celular
Sistema:
$\begin{cases} 2x + 4y = 12 \ 3x + 3y = 18 \end{cases}$
Simplificamos segunda: $x + y = 6$
Primera: $2x + 4y = 12$
Multiplicamos segunda por 2: $2x + 2y = 12$
Restamos: $2x + 4y – (2x + 2y) = 12 – 12 \Rightarrow 2y = 0 \Rightarrow y = 0$
$x = 6$
Solución: 6 gotas de solución A y 0 gotas de B.

14. Matrices y determinantes

Ejercicios

a. Definición de matriz
1. Identifica $$a_{12}$ en la matriz $A = \begin{bmatrix} 7 & 8 & 9 \ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$
2. Determina el tamaño de la matriz $$B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 5 & 6 \ 8 & 9 \end{bmatrix}$$
3. ¿Cuánto vale $a_{31}$ en la matriz? $$C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ 5 & 6 \end{bmatrix}$$
4. Da el valor de $a_{22}$ en la matriz $$D = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}$$
5. ¿Qué posición ocupa el número 4 en la matriz? $$E = \begin{bmatrix} 1 & 4 \ 2 & 3 \end{bmatrix}$$

b. Tipos de matrices
Clasifica la matriz
1. $F = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$
2. $G = \begin{bmatrix} 7 \ 8 \ 9 \end{bmatrix}$
3. $H = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$
4. $I = \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$
5. $J = \begin{bmatrix} 6 & 0 \ 0 & 3 \end{bmatrix}$

c. Operaciones con matrices
Resuelve
• Suma y resta de matrices
1. $\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 3 \ 2 & 1 \end{bmatrix}$
2. $\begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$
3. $\begin{bmatrix} 9 & 0 \ -2 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -4 & 5 \ 6 & -1 \end{bmatrix}$

• Multiplicación por un escalar
1. $3 \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \ 0 & 4 \end{bmatrix}$
2. $-2 \cdot \begin{bmatrix} 3 & 5 \ -1 & 2 \end{bmatrix}$
3. $\frac{1}{2} \cdot \begin{bmatrix} 6 & 8 \ 4 & 2 \end{bmatrix}$

• Multiplicación de matrices
1. $\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 \ 4 \end{bmatrix}$
2. $\begin{bmatrix} 2 & 0 \ 1 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 4 \ 2 & 5 \end{bmatrix}$
3. $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \ 0 \ 3 \end{bmatrix}$

d. Determinantes
1. Calcula el determinante de $$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 4 \end{bmatrix}$$
2. Calcula el determinante de $$B = \begin{bmatrix} 0 & 5 \ -2 & 3 \end{bmatrix}$$
3. Usa la regl de Sarrus para $$C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \ -1 & 3 & 1 \ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$
4. ¿Cuál es el determinante de D? $$D = \begin{bmatrix} 2 & -3 \ 4 & 5 \end{bmatrix}$$
5. Usa la regla de Sarrus en E. $$E = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \ 0 & -1 & 2 \ 4 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$

e. Matriz inversa
1. Verifica si la matriz $A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \ 1 & 3 \end{bmatrix}$ tiene inversa
2. Calcula la inversa de $A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \ 2 & 6 \end{bmatrix}$
3. Verifica si $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 4 \end{bmatrix}$ es invertible
4. Encuentra $A^{-1}$ si $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \ 2 & 3 \end{bmatrix}$
5. Verifica que $A \cdot A^{-1} = I$ para $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$

f. Resolución de sistemas con matrices
Resuelve
1. $\begin{cases} x + y = 6 \ 2x – y = 3 \end{cases}$
2. $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \ x – y = 1 \end{cases}$
3. $\begin{cases} x + 2y = 5 \ 4x + y = 6 \end{cases}$
4. $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \ x – 2y = -3 \end{cases}$
5. $\begin{cases} x + y = 4 \ x – y = 2 \end{cases}$

Respuestas modelo

a. Definición de matriz
1. $a_{12} = 8$
2. Matriz $3 \times 2$
3. $a_{31} = 5$
4. $a_{22} = 4$
5. Está en la posición $(1,2)$

b. Tipos de matrices
1. Rectangular
2. Columna
3. Identidad (cuadrada)
4. Nula
5. Diagonal (cuadrada)

c. Operaciones con matrices
• Suma y resta de matrices
1. $\begin{bmatrix} 5 & 5 \ 5 & 5 \end{bmatrix}$
2. $\begin{bmatrix} 4 & 4 \ 4 & 4 \end{bmatrix}$
3. $\begin{bmatrix} 5 & 5 \ 4 & 2 \end{bmatrix}$

• Multiplicación por un escalar
1. $\begin{bmatrix} 3 & -6 \ 0 & 12 \end{bmatrix}$
2. $\begin{bmatrix} -6 & -10 \ 2 & -4 \end{bmatrix}$
3. $\begin{bmatrix} 3 & 4 \ 2 & 1 \end{bmatrix}$

• Multiplicación de matrices
1. $1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = \boxed{11}$
2. $\begin{bmatrix} 2 & 8 \ 7 & 19 \end{bmatrix}$
3. $1 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 + 2 \cdot 3 = 2 + 0 + 6 = \boxed{8}$

d. Determinantes
1. $\det = 2 \cdot 4 – 3 \cdot 1 = 8 – 3 = 5$
2. $\det = 0 \cdot 3 – 5 \cdot (-2) = 10$
3. $\det = (1)(3)(1) + (0)(1)(2) + (2)(-1)(1) – (2)(3)(2) – (1)(1)(1) – (0)(-1)(1) = 3 + 0 – 2 – 12 – 1 – 0 = -12$
4. $\det = 2 \cdot 5 – (-3) \cdot 4 = 10 + 12 = 22$
5. $\det = 2(-1)(0) + 1(2)(4) + 3(0)(1) – 3(-1)(4) – 2(2)(1) – 1(0)(0) = 0 + 8 + 0 – (-12) – 4 – 0 = 16$

e. Matriz inversa
1. $\det = 2 \cdot 3 – 1 \cdot 5 = 6 – 5 = 1 \Rightarrow$ sí tiene inversa
2. $\det = 4 \cdot 6 – 7 \cdot 2 = 24 – 14 = 10$
$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \ -2 & 4 \end{bmatrix}$
3. $\det = 1 \cdot 4 – 2 \cdot 2 = 0 \Rightarrow$ no es invertible
4. $\det = 1 \cdot 3 – (-1) \cdot 2 = 3 + 2 = 5$
$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 3 & 1 \ -2 & 1 \end{bmatrix}$
5. $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \ -1 & 2 \end{bmatrix}$
$A \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -1 \ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$

f. Resolución de sistemas con matrices
1. $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 2 & -1 \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 6 \ 3 \end{bmatrix},\ \det = -3$
$A^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix} -1 & -1 \ -2 & 1 \end{bmatrix}$
$X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} 3 \ 3 \end{bmatrix}$
2. $x = 3,\ y = 2$
3. $x = 1,\ y = 2$
4. $x = 0,\ y = \frac{8}{3}$
5. $x = 3,\ y = 1$

Problemas

Problema 1. Transporte de proteínas
Si se modela el flujo de proteínas entre dos compartimientos celulares con la matriz de transferencia:
$A = \begin{bmatrix} 0.7 & 0.3 \ 0.4 & 0.6 \end{bmatrix}$
y la distribución inicial es $B = \begin{bmatrix} 100 \ 50 \end{bmatrix}$.
a. ¿Cuál es la distribución luego de un ciclo?
b. ¿Y luego de dos ciclos?

Problema 2. Ecuaciones químicas
Un sistema de ecuaciones químicas está dado por:
$\begin{cases} 2x + 3y = 16 \ 4x – y = 10 \end{cases}$
a. Escribe el sistema como $AX = B$
b. Encuentra $X$ usando matrices
c. Interpreta el resultado si $x$ y $y$ representan cantidades de reactivos

Respuestas modelo

Problema 1. Transporte de proteínas
a. $AB = \begin{bmatrix} 0.7 & 0.3 \ 0.4 & 0.6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 100 \ 50 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 85 \ 70 \end{bmatrix}$
b. Repetimos:
$A \cdot \begin{bmatrix} 85 \ 70 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.7(85) + 0.3(70) \ 0.4(85) + 0.6(70) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 79.5 + 21 = 100.5 \ 34 + 42 = 76 \end{bmatrix}$

Problema 2. Ecuaciones químicas
a. $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 4 & -1 \end{bmatrix},\ X = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 16 \ 10 \end{bmatrix}$
b. $\det = 2(-1) – 3(4) = -2 – 12 = -14$
$A^{-1} = \frac{1}{-14} \begin{bmatrix} -1 & -3 \ -4 & 2 \end{bmatrix}$
$X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} 2 \ 4 \end{bmatrix}$
c. Se necesitan 2 unidades del primer reactivo y 4 del segundo para cumplir la reacción.

Recursos digitales

• https://www.geogebra.org/m/KNRxr9bn
• https://www.geogebra.org/m/un4g8hkx
• https://www.geogebra.org/m/xtr5qmcb

¡Ahora nos encontramos en la sección práctica!

Ahora que ya has revisado la teoría, es momento de ejercitar para entender los nuevos conceptos. En esta sección encontrarás ejercicios para ayudarte a reforzar lo aprendido y, sobre todo, para que ganes confianza resolviendo problemas paso a paso. Cada conjunto de ejercicios está organizado para que vaya aumentando de dificultad progresivamente.

La idea no es que sepas todo desde el principio, sino que practiques, cometas errores, aprendas de ellos y sigas avanzando. También encontrarás problemas aplicados a la biología para que veas cómo estos conceptos matemáticos se conectan con las ciencias aplicadas.

Tú decides el ritmo: puedes resolver un par de ejercicios por día, retomar aquellos que se te dificulten o revisar las respuestas modelo cuando lo necesites. Este material está hecho para apoyarte en tu proceso de aprendizaje, no para evaluarte.

Recuerda: cada problema resuelto es un paso más hacia una mejor comprensión de los modelos que dan sentido a los fenómenos biológicos.

¡Sigue adelante, estás haciendo un gran trabajo!

Módulo 1

1. Fracciones

Ejercicios

a. Definición de fracción
Indica en cada caso cuál es el numerador y cuál es el denominador.
1. En la fracción $\frac{3}{7}$:
2. En la fracción $\frac{9}{2}$:
3. En la fracción $\frac{5}{5}$:

b. Simplificación de fracciones
Simplifica cada una de las siguientes fracciones:
1. $\frac{8}{12}$
2. $\frac{15}{25}$
3. $\frac{30}{45}$
4. $\frac{21}{49}$
5. $\frac{18}{27}$

c. Operaciones con fracciones
• Suma y resta con distinto denominador
1. $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$
2. $\frac{5}{12} – \frac{1}{8}$
3. $\frac{2}{5} + \frac{3}{10}$
4. $\frac{7}{15} – \frac{2}{9}$
5. $\frac{3}{8} + \frac{1}{3}$

• Multiplicación
1. $\frac{2}{5} \times \frac{3}{4}$
2. $\frac{7}{8} \times \frac{1}{2}$
3. $\frac{5}{6} \times \frac{6}{10}$
4. $\frac{4}{9} \times \frac{3}{7}$
5. $\frac{1}{3} \times \frac{9}{2}$

• División
1. $\frac{3}{5} \div \frac{2}{3}$
2. $\frac{7}{9} \div \frac{1}{6}$
3. $\frac{8}{11} \div \frac{4}{11}$
4. $\frac{6}{7} \div \frac{3}{2}$
5. $\frac{10}{13} \div \frac{5}{13}$

d. Fracciones equivalentes
Escribe tres fracciones equivalentes a cada una de las siguientes:
1. $\frac{1}{3}$
2. $\frac{2}{5}$
3. $\frac{4}{7}$
4. $\frac{3}{8}$
5. $\frac{5}{6}$

e. Conversión de fracciones a decimales
Convierte cada fracción a su forma decimal.
1. $\frac{1}{2}$
2. $\frac{3}{4}$
3. $\frac{2}{5}$
4. $\frac{7}{8}$
5. $\frac{5}{6}$

f. Decimales exactos y periódicos
Clasifica cada uno de los siguientes decimales como exacto o periódico:
1. 0.25
2. $0.\overline{6}$
3. 0.125
4. $0.\overline{1}$
5. 0.75

g. Convertir decimales a fracciones
Convierte los siguientes decimales finitos a fracción:
1. 0.4
2. 0.05
3. 0.125
4. 0.2
5. 0.375

h. Convertir decimales periódicos a fracciones
Convierte los siguientes decimales periódicos a fracción:
1. $0.\overline{3}$
2. $0.\overline{6}$
3. $0.\overline{12}$
4. $0.\overline{45}$
5. $0.\overline{142857}$

Respuestas modelo 

a. Definición de fracción
1. Numerador: 3, Denominador: 7
2. Numerador: 9, Denominador: 2
3. Numerador: 5, Denominador: 5

b. Simplificación
1. $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
2. $\frac{15}{25} = \frac{3}{5}$
3. $\frac{30}{45} = \frac{2}{3}$
4. $\frac{21}{49} = \frac{3}{7}$
5. $\frac{18}{27} = \frac{2}{3}$

c. Operaciones
• Suma/resta con igual denominador
1. $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
2. $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
3. $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
4. $\frac{5}{11}$
5. $\frac{5}{7}$

• Suma/resta con diferente denominador
1. $\frac{5}{12}$
2. $\frac{10}{96} = \frac{5}{48}$
3. $\frac{7}{10}$
4. $\frac{21}{45} – \frac{10}{45} = \frac{11}{45}$
5. $\frac{17}{24}$

• Multiplicación
1. $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
2. $\frac{7}{16}$
3. $\frac{30}{60} = \frac{1}{2}$
4. $\frac{12}{63} = \frac{4}{21}$
5. $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

• División
1. $\frac{9}{10}$
2. $\frac{42}{9} = \frac{14}{3}$
3. $\frac{8}{4} = 2$
4. $\frac{12}{21} = \frac{4}{7}$
5. $\frac{10}{5} = 2$

d. Fracciones equivalentes
1. $\frac{2}{6}, \frac{3}{9}, \frac{4}{12}$
2. $\frac{4}{10}, \frac{6}{15}, \frac{8}{20}$
3. $\frac{8}{14}, \frac{12}{21}, \frac{16}{28}$
4. $\frac{6}{16}, \frac{9}{24}, \frac{12}{32}$
5. $\frac{10}{12}, \frac{15}{18}, \frac{20}{24}$

e. Fracción a decimal
1. 0.5
2. 0.75
3. 0.4
4. 0.875
5. ≈ 0.833

f. Decimales exactos/periódicos
1. Exacto
2. Periódico
3. Exacto
4. Periódico
5. Exacto

g. Decimal a fracción
1. $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
2. $\frac{5}{100} = \frac{1}{20}$
3. $\frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$
4. $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
5. $\frac{375}{1000} = \frac{3}{8}$

h. Decimal periódico a fracción
1. $\frac{1}{3}$
2. $\frac{2}{3}$
3. $\frac{12}{99} = \frac{4}{33}$
4. $\frac{45}{99} = \frac{5}{11}$
5. $\frac{142857}{999999} = \frac{1}{7}$

Problemas 

Problema 1. Conteo de células en una muestra
En una muestra de tejido observada en microscopio se encuentra que $\frac{3}{8}$ de las células están en división activa, $\frac{1}{4}$ están en reposo, y el resto están muriendo o muertas.
a. ¿Qué fracción del total representan las células muertas?
b. ¿Qué porcentaje del total representan las células en reposo?
c. Si hay 800 células en total, ¿cuántas están en cada estado?

Problema 2. Dilución de una sustancia
Se necesita preparar una dilución de un antibiótico en un laboratorio. Se mezcla $\frac{2}{5}$ de solución con $\frac{3}{5}$ de agua destilada.
a. Si se preparan 100 mL de la mezcla, ¿cuántos mL corresponden a agua y cuántos a antibiótico?
b. Si la solución original tiene una concentración de 50 mg/mL, ¿cuál es la concentración final de antibiótico en la dilución?

Respuestas modelo

Problema 1. Conteo de células
a. Total = 1 (unidad).
Células en división: $\frac{3}{8}$
Células en reposo: $\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$
Células muertas: $1 – \left( \frac{3}{8} + \frac{2}{8} \right) = \frac{3}{8}$
b. $\frac{1}{4} = 25%$
c. Total: 800 células
En división: $\frac{3}{8}$ × 800 = 300 células
En reposo: $\frac{1}{4}$ × 800 = 200 células
Muertas: 800 – (300 + 200) = 300 células

Problema 2. Dilución
a. 100 mL totales:
Agua: $\frac{3}{5} \times 100 = 60$ mL
Antibiótico: $\frac{2}{5} \times 100 = 40$ mL
b. Solución madre: 50 mg/mL
En los 40 mL: 50 × 40 = 2000 mg totales
Disueltos en 100 mL → concentración final: $\frac{2000\ \text{mg}}{100\ \text{mL}} = 20\ \text{mg/mL}$

Recursos digitales

• https://polypad.amplify.com/p#fraction-circles
• https://phet.colorado.edu/sims/html/fractions-intro/latest/fractions-intro_es.html

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2. Porcentajes

Ejercicios

a. Definición de porcentajes
Completa las siguientes oraciones con la fracción equivalente al porcentaje dado:
1. El 25 % de una cantidad es equivalente a $\frac{\quad}{100}$.
2. El 40 % de una muestra se puede expresar como $\frac{\quad}{100}$.
3. El 10 % de algo equivale a dividir entre ________.
4. El 100 % de una cantidad representa $\frac{\quad}{100} =$ ________.
5. Si tienes el 5 % de una población, eso representa una fracción de: ________.

b. Conversión de fracciones y decimales a porcentajes
Convierte las siguientes fracciones y decimales a porcentajes:
1. $\frac{1}{5}$
2. $\frac{2}{3}$
3. $\frac{3}{8}$
4. 0.45
5. 0.125

c. Conversión de porcentajes a decimales o fracciones
Convierte los siguientes porcentajes a decimales y fracciones simplificadas:
1. 60 %
2. 25 %
3. 12.5 %
4. 75 %
5. 5 %

d. Operaciones con porcentajes
Calcula el porcentaje indicado de la cantidad dada:
1. ¿Cuánto es el 20 % de 80?
2. ¿Cuánto es el 15 % de 200?
3. ¿Cuánto es el 60 % de 150?
4. ¿Cuánto es el 7.5 % de 400?
5. ¿Cuánto es el 2.5 % de 320?

Respuestas modelo 

a. Definición
1. $\frac{25}{100}$
2. $\frac{40}{100}$
3. 10
4. $\frac{100}{100} = 1$
5. $\frac{5}{100} = \frac{1}{20}$

b. Fracciones y decimales a porcentaje
1. $\frac{1}{5} = 0.2 \Rightarrow 20%$
2. $\frac{2}{3} \approx 0.666 \Rightarrow 66.6%$
3. $\frac{3}{8} = 0.375 \Rightarrow 37.5%$
4. $0.45 \times 100 = 45%$
5. $0.125 \times 100 = 12.5%$

c. Porcentajes a decimal y fracción
1. 60 % = $\frac{60}{100} = \frac{3}{5}$ = 0.6
2. 25 % = $\frac{1}{4}$ = 0.25
3. 12.5 % = $\frac{1}{8}$ = 0.125
4. 75 % = $\frac{3}{4}$ = 0.75
5. 5 % = $\frac{1}{20}$ = 0.05

d. Porcentaje de una cantidad
1. 20 % de 80 = 0.20 × 80 = 16
2. 15 % de 200 = 0.15 × 200 = 30
3. 60 % de 150 = 0.60 × 150 = 90
4. 7.5 % de 400 = 0.075 × 400 = 30
5. 2.5 % de 320 = 0.025 × 320 = 8

Problemas

Problema 1. Porcentaje de germinación
Una investigadora siembra 240 semillas de una especie vegetal en condiciones controladas. Después de una semana, observa que el 62.5 % ha germinado.
a. ¿Cuántas semillas han germinado?
b. ¿Qué fracción del total representa este porcentaje?
c. ¿Qué porcentaje de semillas no ha germinado?

Problema 2. Porcentaje de proteína en la dieta
Una estudiante de biología analiza la dieta de un animal en cautiverio. Detecta que el 18 % del alimento es proteína, el 25 % grasa y el resto carbohidratos.
a. ¿Qué porcentaje de la dieta corresponde a carbohidratos?
b. Si el animal consume 500 gramos de alimento al día, ¿cuántos gramos de proteína consume?
c. ¿Cuál es la fracción que representa la grasa en la dieta?

Respuestas modelo

Problema 1. Porcentaje de germinación
a. 62.5 % de 240 = 0.625 × 240 = 150 semillas germinadas
b. 62.5 % = $\frac{5}{8}$
c. 100 % – 62.5 % = 37.5 % no germinadas → 0.375 × 240 = 90 semillas

Problema 2. Porcentaje de proteína en la dieta
a. 100% – (18 % + 25 %) = 57 % → carbohidratos
b. 18% de 500 = 0.18 × 500 = 90 gramos de proteína
c. 25 = $\frac{1}{4}$

Recursos digitales

• https://www.mathsisfun.com/percentage.html 
• https://polypad.amplify.com/p#fraction-circles

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3. Proporciones y razones

Ejercicios

a. Cálculo de proporciones
Resuelve las siguientes proporciones utilizando el producto cruzado:
1. $\frac{3}{4} = \frac{6}{x}$
2. $\frac{x}{5} = \frac{8}{10}$
3. $\frac{7}{x} = \frac{21}{9}$
4. $\frac{2}{x} = \frac{10}{25}$
5. $\frac{x}{12} = \frac{6}{18}$

b. Proporciones directas e inversas
Relaciona cada situación con proporción directa o inversa, y resuélvela si es posible:
1. Si 4 trabajadores construyen una cerca en 6 días, ¿cuántos días tomarán 2 trabajadores?
2. Una receta requiere 200 g de harina para 4 porciones. ¿Cuánta harina se necesita para 10 porciones?
3. Si un automóvil recorre 120 km en 2 horas, ¿cuántos km recorrerá en 5 horas a la misma velocidad?
4. Si 3 bombas vacían un tanque en 8 horas, ¿cuánto tardarán 6 bombas?
5. Si 6 estudiantes necesitan 12 libros, ¿cuántos libros necesitarán 9 estudiantes?

Respuestas modelo

a. Cálculo de proporciones
1. $3 × x = 4 × 6 \Rightarrow x = 8$
2. $x = \frac{5 × 8}{10} = 4$
3. $7 × 9 = 63 \Rightarrow x = 3$
4. $2 × 25 = 10 × x \Rightarrow x = 5$
5. $x = \frac{12 × 6}{18} = 4$

b. Proporciones directas e inversas
1. Inversa: $4 × 6 = 2 × x \Rightarrow x = 12$ días
2. Directa: $200 × \frac{10}{4} = 500$ g
3. Directa: $120 ÷ 2 = 60$ km/h × 5 = 300 km
4. Inversa: $3 × 8 = 6 × x \Rightarrow x = 4$ horas
5. Directa: $12 ÷ 6 = 2$ libros/estudiante → $2 × 9 = 18$ libros

Problemas 

Problema 1. Cultivo de bacterias
En un experimento de laboratorio, se cultivan bacterias en un medio durante 5 horas, observándose una relación directa entre el tiempo de cultivo y la población de bacterias. Si en 5 horas se observan 1 200 bacterias, ¿cuántas se esperan en 8 horas, suponiendo el mismo ritmo de crecimiento?

Problema 2. Dosis proporcional de medicamento
Una veterinaria prescribe 15 mg de un fármaco por cada kg de peso corporal. ¿Cuántos mg necesita administrar a un animal que pesa 12 kg?

Problema 3. Proporción inversa en filtración
Un filtro puede purificar un volumen de agua en 10 horas. Si se utilizan 4 filtros trabajando a la vez, ¿en cuántas horas se hará el mismo trabajo?

Respuestas modelo 

Problema 1. Cutivo de bacterias
Proporción directa: $\frac{1200}{5} = x / 8 \Rightarrow x = \frac{1200 \times 8}{5} = 1920$ bacterias

Problema 2. Dosis proporcional de medicamento
15 mg por kg → 15 × 12 = 180 mg necesarios

Problema 3. Proporción inversa en filtración
Proporción inversa:
1 filtro → 10 horas
4 filtros: $1 \times 10 = 4 \times x \Rightarrow x = \frac{10}{4} = 2.5$ horas

Recursos digitales

• https://phet.colorado.edu/sims/html/ratio-and-proportion/latest/ratio-and-proportion_es.html

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4. Medidas de tendencia central

Ejercicios

a. Calcular la media
1. 6, 8, 10, 12, 14
2. 3, 7, 7, 9, 11, 13
3. 1.2, 2.5, 3.0, 2.8
4. 10, 10, 10, 10
5. 5, 10, 15, 20, 25

b. Calcular la mediana
1. 4, 8, 10, 12, 14
2. 3, 7, 7, 9, 11, 13
3. 2.5, 1.0, 3.0, 2.0
4. 15, 10, 20, 5, 25
5. 4, 6, 6, 6, 8, 10

c. Calcular la moda
1. 4, 6, 4, 7, 4, 8
2. 2, 3, 3, 4, 4, 5
3. 5, 5, 3, 5, 5
4. 1, 2, 3, 4, 5
5. 3, 3, 6, 6, 6, 3

Respuestas modelo 

a. Media
1. $(6 + 8 + 10 + 12 + 14)/5 = 50/5 = 10$
2. $50/6 ≈ 8.33$
3. $1.2 + 2.5 + 3.0 + 2.8 = 9.5 \Rightarrow 9.5/4 = 2.375$
4. $40/4 = 10$
5. $75/5 = 15$

b. Mediana
1. Datos ordenados: 4, 8, 10, 12, 14 → Mediana = 10
2. Ordenados: 3, 7, 7, 9, 11, 13 → Mediana = $(7 + 9)/2 = 8$
3. Ordenados: 1.0, 2.0, 2.5, 3.0 → Mediana = $(2.0 + 2.5)/2 = 2.25$
4. Ordenados: 5, 10, 15, 20, 25 → Mediana = 15
5. Ordenados: 4, 6, 6, 6, 8, 10 → Mediana = $(6 + 6)/2 = 6$

c. Moda
1. Moda = 4
2. Modas = 3 y 4 (bimodal)
3. Moda = 5
4. No hay moda
5. Modas = 3 y 6 (ambas se repiten 3 veces)

Problemas

Problema 1. Longitud de hojas
Una bióloga mide la longitud (en cm) de las hojas de una planta: 8.5, 9.0, 10.2, 9.5, 9.0
a. ¿Cuál es la media de las longitudes?
b. ¿Cuál es la mediana?
c. ¿Cuál es la moda?

Problema 2. Conteo de semillas
En un estudio de campo, se cuenta el número de semillas por fruto en una muestra de 7 frutos: 15, 18, 15, 19, 20, 15, 17
a. ¿Cuál es la media de semillas por fruto?
b. ¿Cuál es la moda?
c. ¿Cuál es la mediana?

Respuestas modelo

Problema 1. Longitud de hojas
Datos: 8.5, 9.0, 10.2, 9.5, 9.0
a. Media: $(8.5 + 9.0 + 10.2 + 9.5 + 9.0)/5 = 46.2/5 = 9.24$ cm
b. Mediana: Datos ordenados → 8.5, 9.0, 9.0, 9.5, 10.2 → Mediana = 9.0 cm
c. Moda: 9.0 (aparece 2 veces)

Problema 2. Conteo de semillas
Datos: 15, 18, 15, 19, 20, 15, 17
a. Media: $(15 + 18 + 15 + 19 + 20 + 15 + 17)/7 = 119/7 = 17$
b. Moda: 15 (aparece 3 veces)
c. Mediana: Ordenados → 15, 15, 15, 17, 18, 19, 20 → Mediana = 17

Recursos digitales

• https://www.geogebra.org/m/VwrBs6Pd
• https://www.geogebra.org/m/DHd6tXbh
• https://phet.colorado.edu/es/simulations/center-and-variability/activities

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5. Sucesiones

Ejercicios

a. Sucesiones aritméticas
1. Encuentra el término número 10 de la sucesión $4, 7, 10, 13, \dots$
2. ¿Cuál es la razón y el término 15 de la sucesión $-3, 0, 3, 6, \dots$?
3. Si $a_1 = 12$ y $d = -4$, encuentra $a_6$.
4. Encuentra el valor de $n$ tal que $a_n = 31$ en la sucesión $1, 5, 9, 13, \dots$
5. Determina los cinco primeros términos de una sucesión aritmética con $a_1 = 2$ y $d = 5$.

b. Sucesiones geométricas
1. Calcula el término número 6 de la sucesión $1, 2, 4, 8, \dots$
2. Si $a_1 = 5$ y $r = 3$, encuentra $a_4$.
3. ¿Cuál es la razón y el valor de $a_7$ para la sucesión $729, 243, 81, \dots$?
4. Encuentra los cinco primeros términos de la sucesión geométrica con $a_1 = 2$ y $r = -2$.
5. Si $a_3 = 36$, $a_1 = 4$, encuentra la razón $r$.

c. Sucesiones especiales
1. Escribe los primeros 10 términos de la sucesión de Fibonacci.
2. Escribe los primeros 6 términos de la sucesión de cuadrados.
3. Determina si la sucesión $1, 2, 4, 7, 11, 16, \dots$ sigue un patrón. ¿Cuál es?
4. Escribe una sucesión que representa el doble de los números naturales.
5. En la sucesión de cubos $1, 8, 27, 64, \dots$, encuentra el término número 5.

Respuestas modelo

a. Sucesiones aritméticas
1. $a_{10} = 4 + (10 – 1) \cdot 3 = 4 + 27 = 31$
2. $d = 3$; $a_{15} = -3 + (15 – 1) \cdot 3 = -3 + 42 = 39$
3. $a_6 = 12 + (6 – 1)(-4) = 12 – 20 = -8$
4. $a_n = 1 + (n – 1) \cdot 4 = 31 \Rightarrow 4(n – 1) = 30 \Rightarrow n = 9$
5. Términos: 2, 7, 12, 17, 22

b. Sucesiones geométricas
1. $a_6 = 1 \cdot 2^5 = 32$
2. $a_4 = 5 \cdot 3^3 = 135$
3. $r = \frac{243}{729} = \frac{1}{3}$; $a_7 = 729 \cdot (\frac{1}{3})^6 = 1$
4. Términos: 2, -4, 8, -16, 32
5. $a_3 = a_1 \cdot r^2 \Rightarrow 36 = 4 \cdot r^2 \Rightarrow r^2 = 9 \Rightarrow r = 3$ o $r = -3$

c. Sucesiones especiales
1. Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
2. Cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36
3. La diferencia entre términos crece en +1: $+1, +2, +3, +4, +5 \dots$
→ Sucesión con incremento creciente
4. Sucesión: $2, 4, 6, 8, 10, 12, \dots$
5. $a_5 = 5^3 = 125$

Problemas

Problema 1. División celular
Una bacteria se divide en dos cada hora. Si comenzamos con una sola célula, ¿cuántas habrá después de 10 horas?

Problema 2. Longitud de una planta
Una planta crece 3 cm por semana. Si mide 10 cm en la semana 1, ¿cuánto medirá en la semana 12?

Problema 3. Semillas en espiral
Una flor presenta una espiral de semillas que sigue la sucesión de Fibonacci. Si el número de semillas en cada fila sigue esa regla, ¿cuántas semillas habrá en la 9ª fila?

Respuestas modelo

Problema 1. División celular
Sucesión: $1, 2, 4, 8, 16, \dots$ (geométrica, $a_1 = 1$, $r = 2$)
$a_{11} = 1 \cdot 2^{10} = 1024$ células

Problema 2. Longitud de una planta
Sucesión: aritmética con $a_1 = 10$, $d = 3$
$a_{12} = 10 + (12 – 1) \cdot 3 = 10 + 33 = 43$ cm

Problema 3. Semillas en espiral
Fibonacci: $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34$
→ 9ª fila: 34 semillas

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6. Potencias y exponentes

Ejercicios

a. Definición de potencia
1. $(-2)^5$
2. $-2^5$
3. $3^4$
4. $5^{-3}$
5. $2^{-5}$

b. Propiedades de las potencias
1. $\frac{4^7}{4^4}$
2. $\frac{3^8}{3^5}$
3. $(2^6)^2$
4. $(2a^2b^3)(3a^4b^2)$
5. $\left(\frac{2x^{3/4}y^2}{x^{1/2}y^{1/3}}\right)^2$

c. Exponentes especiales
1. $7^0$
2. $\frac{4^7}{4^7}$
3. $\left(\frac{8}{15}\right)^{-3}$
4. $\left(\frac{5}{9}\right)^{-1}$
5. $\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}$

d. Potencias con fracciones
1. $\left(\frac{3}{5}\right)^{-4}$
2. $\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}$
3. $\left(\frac{5}{11}\right)^{-6}$
4. $\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}$
5. $\left(\frac{2}{3}\right)^{-5}$

e. Exponentes fraccionarios
1. $27^{2/3}$
2. $8^{3/2}$
3. $16^{1/4}$
4. $32^{-4/5}$
5. $16^{-5/4}$

Respuestas modelo

a. Evaluación de potencias
1. $(-2)^5 = -32$
2. $-2^5 = -(2^5) = -32$
3. $3^4 = 81$
4. $5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$
5. $2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$

b. Propiedades de las potencias
1. $\frac{4^7}{4^4} = 4^{7-4} = 4^3 = 64$
2. $\frac{3^8}{3^5} = 3^{8-5} = 3^3 = 27$
3. $(2^6)^2 = 2^{6 \cdot 2} = 2^{12} = 4096$
4. $(2a^2b^3)(3a^4b^2) = 6a^{2+4}b^{3+2} = 6a^6b^5$
5. $\left( \frac{2x^{3/4}y^2}{x^{1/2}y^{1/3}} \right)^2 = \left( 2x^{3/4 – 1/2}y^{2 – 1/3} \right)^2 = \left( 2x^{1/4}y^{5/3} \right)^2 = 4x^{1/2}y^{10/3}$

c. Exponentes especiales
1. $7^0 = 1$
2. $\frac{4^7}{4^7} = 4^{7 – 7} = 4^0 = 1$
3. $\left(\frac{8}{15}\right)^{-3} = \left(\frac{15}{8}\right)^3 = \frac{3375}{512}$
4. $\left(\frac{5}{9}\right)^{-1} = \frac{9}{5}$
5. $\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{1}\right)^2 = 16$

d. Potencias con fracciones
1. $\left(\frac{3}{5}\right)^{-4} = \left(\frac{5}{3}\right)^4 = \frac{625}{81}$
2. $\left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = 2^4 = 16$
3. $\left(\frac{5}{11}\right)^{-6} = \left(\frac{11}{5}\right)^6 = \frac{1771561}{15625}$
4. $\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$
5. $\left(\frac{2}{3}\right)^{-5} = \left(\frac{3}{2}\right)^5 = \frac{243}{32}$

e. Exponentes fraccionarios
1. $27^{2/3} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$
2. $8^{3/2} = (\sqrt{8})^3 = (2\sqrt{2})^3 = 8\sqrt{2} \approx 11.31$
3. $16^{1/4} = \sqrt[4]{16} = 2$
4. $32^{-4/5} = \left( \sqrt[5]{32} \right)^{-4} = (2)^{-4} = \frac{1}{16}$
5. $16^{-5/4} = \left( \sqrt[4]{16} \right)^{-5} = (2)^{-5} = \frac{1}{32}$

Problemas

Problema 1. Crecimiento bacteriano
En un cultivo de laboratorio, una cepa bacteriana se reproduce por mitosis, duplicando su cantidad cada hora. Si se empieza con 1 bacteria:
a. ¿Cuántas bacterias habrá después de 6 horas?
b. ¿Y después de 10 horas?
c. ¿Después de cuántas horas habrá más de 1 000 bacterias?
Pista: Usa la fórmula $N = 2^t$, donde $N$ es el número de bacterias y $t$ el tiempo en horas.

Problema 2. Concentración de una sustancia
Una sustancia radiactiva utilizada en un experimento biológico se desintegra siguiendo la ley: $C(t) = C_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}$, donde: $C_0$ es la concentración inicial, $t$ es el tiempo en horas. Si $C_0 = 80$ mg/L, responde:
a. ¿Cuál es la concentración después de 3 horas?
b. ¿Y después de 6 horas?
c. ¿Después de cuánto tiempo la concentración será menor a $10\ \text{mg/L}$?

Respuestas modelo

Problema 1. Crecimiento bacteriano
a. $2^6 = 64$ bacterias
b. $2^{10} = 1024$ bacterias
c. Buscamos $t$ tal que $2^t > 1000$.
Como $2^{10} = 1024$, la respuesta es después de 10 horas.

Problema 2. Sustancia radioactiva
Dada la fórmula: $C(t) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}$
a. $C(3) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 80 \cdot \frac{1}{2} = 40\ \text{mg/L}$
b. $C(6) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 80 \cdot \frac{1}{4} = 20\ \text{mg/L}$
c. Buscamos $t$ tal que:
$80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3} < 10 \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3} < \frac{1}{8} \Rightarrow \frac{t}{3} > 3 \Rightarrow t > 9$
Entonces, la concentración será menor a $10\ \text{mg/L}$ después de 9 horas.

Recursos digitales

• https://www.geogebra.org/m/gVCB8NH5
• https://www.geogebra.org/m/MVHA2rAU
• https://www.geogebra.org/m/RF9x43uA

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7. Radicales y racionalización

Ejercicios

a. Simplifica las raíces
1. $\sqrt{72}$
2. $\sqrt{50}$
3. $\sqrt{98}$
4. $\sqrt{200}$
5. $\sqrt{432}$

b. Aplica las propiedades de raíces y simplifica
1. $\sqrt{8 \cdot 2}$
2. $\sqrt{\frac{9}{16}}$
3. $\sqrt{49x^2}$
4. $\sqrt[3]{27x^3}$
5. Escribe como potencia de exponente fraccionario y simplifica: $\sqrt[4]{16x^8}$

c. Racionaliza 
1. $\frac{1}{\sqrt{5}}$
2. $\frac{3}{\sqrt{2}}$
3. $\frac{5}{2\sqrt{3}}$
4. $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$
5. $\frac{7}{\sqrt{11}}$

d. Racionaliza con conjugados (binomios)
1. $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$
2. $\frac{3}{\sqrt{5} – 2}$
3. $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} – 1}$
4. $\frac{2}{3 + \sqrt{7}}$
5. $\frac{4}{\sqrt{2} – \sqrt{3}}$

Respuestas modelo

a. Simplifica las raíces
1. $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$
2. $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$
3. $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$
4. $\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$
5. $\sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3}$

b. Aplica las propiedades de raíces y simplifica
1. $\sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4$
2. $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$
3. $\sqrt{49x^2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{x^2} = 7|x|$
4. $\sqrt[3]{27x^3} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{x^3} = 3x$
5. $\sqrt[4]{16x^8} = (16x^8)^{1/4} = 2x^2$

c. Racionaliza
1. $\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
2. $\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$
3. $\frac{5}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$
4. $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$
5. $\frac{7}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}} = \frac{7\sqrt{11}}{11}$

d. Racionaliza con conjugados (binomios)
1. $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} – 1}{\sqrt{2} – 1} = \frac{\sqrt{2} – 1}{2 – 1} = \sqrt{2} – 1$
2. $\frac{3}{\sqrt{5} – 2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{3(\sqrt{5} + 2)}{5 – 4} = 3(\sqrt{5} + 2) = 3\sqrt{5} + 6$
3. $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} – 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{6}(\sqrt{3} + 1)}{3 – 1} = \frac{\sqrt{18} + \sqrt{6}}{2} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$
4. $\frac{2}{3 + \sqrt{7}} \cdot \frac{3 – \sqrt{7}}{3 – \sqrt{7}} = \frac{2(3 – \sqrt{7})}{9 – 7} = \frac{6 – 2\sqrt{7}}{2} = 3 – \sqrt{7}$
5. $\frac{4}{\sqrt{2} – \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{2 – 3} = \frac{4(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{-1} = -4\sqrt{2} – 4\sqrt{3}$

Problemas 

Problema 1. Transporte de nutrientes
Un estudio calcula que la velocidad de absorción de nutrientes en una raíz sigue una relación proporcional a $\sqrt{t}$, donde $t$ es el tiempo en horas.
Si después de 4 horas la velocidad es de 2 cm/h, ¿cuál sería la velocidad después de 9 horas?

Problema 2. Células bajo el microscopio
La superficie visible de una célula vista al microscopio se modela con $\sqrt{A}$, donde $A$ es el área proyectada en $\mu m^2$. Si un biólogo observa dos células con áreas de 72 y 50 $\mu m^2$, ¿cuál es la diferencia entre sus superficies visibles simplificadas?

Respuestas modelo

Problema 1. Transporte de nutrientes
La relación es proporcional a $\sqrt{t}$.
Después de 4 horas: $\sqrt{4} = 2 \Rightarrow 2$ cm/h
Después de 9 horas: $\sqrt{9} = 3 \Rightarrow 3$ cm/h
Respuesta: La velocidad después de 9 horas es de 3 cm/h

Problema 2. Células bajo el microscopio
Área 1: $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
Área 2: $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
Diferencia: $6\sqrt{2} – 5\sqrt{2} = \sqrt{2}$
Respuesta: La diferencia entre las superficies visibles es de $\sqrt{2} , \mu m$

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