Teorema:

Sea $f : \mathcal{K} \subset \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m.$

Si $f$ es continua en $\mathcal{K}$ y $\mathcal{K}$ es compacto, entonces $f$ es uniformemente continua en $\mathcal{K}.$

Demostración:

Sea $\epsilon > 0.$

Como $f$ es continua, para cada $x \in \mathcal{K}$ existe $\delta_x > 0$ tal que si $ \| x-y \| < \delta_x $ entonces $\big\|f(x) – f(y) \big\| < \frac{\epsilon}{2}$

Como $\mathcal{K}$ es compacto, $\mathcal{K} \subseteq \bigcup\limits_{x \in \mathcal{K}} B_{\frac{\delta_x}{2}}(x)$ es una cubierta abierta de $\mathcal{K}.$

Entonces, existe una subcubierta finita $B_{\frac{\delta_1}{2}}(x_1), \dots , B_{\frac{\delta_l}{2}}(x_l).$

Tomemos $ \delta = mín \big\{ \frac{\delta_1}{2} , \dots , \frac{\delta_l}{2} \big\}.$

Si $\big\| x \, – \, y \big\| < \delta $ entonces $ y \in B_{\delta}(x)$ pero $ x \in B_{\frac{\delta_j}{2}}(x_j) $ para alguna $j$

$$\big\| x \, – \, x_j \big\| < \frac{\delta_j}{2} \Rightarrow x_j \in B_{\frac{\delta_j}{2}}(x)$$

$$\big\| f(x) \, – \, f(x_j) \big\| < \frac{\epsilon}{2} $$

Luego, si $\big\| y \, – \, x_j \big\| = \big\| y \, – \, x \, + \, x \, – \, x_j \big\| \leq \big\| y \, – \, x \big\| + \big\|x \, – \, x_j \big\| < \delta + \frac{\delta_j}{2} \leq \frac{\delta_j}{2} + \frac{\delta_j}{2} = \delta $

$y \in B_{\delta_j}(x_j) \Rightarrow \big\| f(y) \, – \, f(x_j) \big\| < \frac{\epsilon}{2}$

En consecuencia,

$$\big\| f(x) \, – \, f(y) \big\| \leq \big\| f(x) \, – \, f(x_j) \big\| + \big\| f(x_j) \, – \, f(y) \big\| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \; _{\blacksquare}$$

Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$

$$f(x, y) = \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{y}{x} & si & x \neq 0 \\ 0 & si & x = 0\end{array} \right.$$

Queremos saber:

• ¿En qué puntos $f$ tiene límite?
• ¿En qué puntos $f$ no tiene límite?
• ¿Cómo es la gráfica de $f$ ?

Analicemos diferentes cortes para poder responder estas preguntas.

1. Cortes paralelos al plano $yz$

$x = x_0$ constante.

$$f(x_0, y) = \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{y}{x_0} & si & x_0 \neq 0 \\ 0 & si & x_0 = 0\end{array} \right.$$

Corte especial para $x = 0$

para $x = x_0 = 0$

$$f(0, y) = 0$$

En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $x_0$.

https://www.geogebra.org/classic/vaquauek

2. Cortes con el plano $x=1$

$z=f(1, y) = \frac{y}{1}$

https://www.geogebra.org/classic/mt9rgkzj

3. Cortes paralelos al plano $xz$

$y = y_0$ constante.

$$f(x, y_0) = \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{y_0}{x} & si & x \neq 0 \\ 0 & si & x = 0\end{array} \right.$$

Corte especial para $y=0$

para $y=y_0=0$

$f(x, 0) = 0$

$$f(x, 0) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & si & x \neq 0 \\ 0 & si & x = 0\end{array} \right.$$

En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $y_0$.

https://www.geogebra.org/classic/cmppwyss

Demostración:

Supongamos que $f(A)$ no es conexo.

Entonces existen $\mathcal{V_1}, \mathcal{V_2} \subseteq \mathbb{R}^m$ abiertos, ajenos, tales que $$f(A) \subseteq \mathcal{V_1} \cup \mathcal{V_2}$$ $$f(A) \cap \mathcal{V_1} \neq \emptyset$$ $$f(A) \cap \mathcal{V_2} \neq \emptyset$$

Como $f$ es continua, entonces $f^{-1}(\mathcal{V_1})$ y $f^{-1}(\mathcal{V_2})$ son abiertos.

Afirmación: $f^{-1}(\mathcal{V_1}) \cap f^{-1}(\mathcal{V_2}) = \emptyset$

Supongamos que la intersección no es el conjunto vacío.

Entonces existe $\vec{x} \in f^{-1}(\mathcal{V_1}) \cap f^{-1}(\mathcal{V_2})$ por lo que se cumple que $f(\vec{x}) \in \mathcal{V_1}$ y $f(\vec{x}) \in \mathcal{V_2}$ por lo tanto $ \mathcal{V_1} \cap \mathcal{V_2} \neq \emptyset$ (CONTRADICCIÓN: ya que los supusimos ajenos).

Entonces $A \subseteq f^{-1}(\mathcal{V_1}) \cup f^{-1}(\mathcal{V_2}).$

Sea $\vec{x} \in A$. Calculamos $f(\vec{x}) \in f(A).$

Entonces $f(A) \subseteq \mathcal{V_1} \cup \mathcal{V_2}$, es decir, se tiene que $\vec{x} \in \mathcal{V_1}$ o $\vec{x} \in \mathcal{V_2}$, por lo tanto $$\vec{x} \in f^{-1}(\mathcal{V_1}) \; \text{o} \; \vec{x} \in f^{-1}(\mathcal{V_2})$$

Si $f(\vec{x}) \in \mathcal{V_1}$ entonces $\vec{x} \in f^{-1}(\mathcal{V_1}).$

Si $f(\vec{x}) \in \mathcal{V_2}$ entonces $\vec{x} \in f^{-1}(\mathcal{V_2}).$

Por lo tanto, $$\vec{x} \in f^{-1}\mathcal{V_1}\cup f^{-1}(\mathcal{V_2}).$$

Falta ver que $$A \cap f^{-1} (\mathcal{V_1}) \neq \emptyset$$ $$A \cap f^{-1} (\mathcal{V_2}) \neq \emptyset$$

Como $f(A) \cap \mathcal{V_1} \neq \emptyset$ entonces, existe $\vec{a_1} \in A$ tal que $f^{-1}(\vec{a_1}) \in \mathcal{V_1}$ es decir $\vec{a_1} \in f^{-1}(\vec{a_1}) \cap A \neq \emptyset.$

Análogamente, como $f(A) \cap \mathcal{V_2} \neq \emptyset$ entonces, existe $\vec{a_2} \in A$ tal que $f^{-1}(\vec{a_2}) \in \mathcal{V_2}$ es decir $\vec{a_2} \in f^{-1}(\vec{a_2}) \cap A \neq \emptyset.$ $_{\blacksquare}$

Definición:

Sea $A \subseteq \mathbb{R}^n$

Se dice que $A$ es conexo por trayectorias (c.p.t.) si para todo par de puntos $\vec{p}, \vec{q} \in A$ existe una curva poligonal tal que une $\vec{p}$ con $\vec{q}$ y está contenida en $A.$

Ejemplo:

$$A = \mathbb{R}^n \setminus \big\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \big| x \leq 0, y = 0 \big\}$$

Ejemplo:

$$\mathcal{C} = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \big| x\neq 0 ; y = \sin \left( \frac{1}{x} \right) \right\} \cup \; \mathcal{U} = \big\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = 0 , -1 \leq y \leq 1 \big\}$$

$\mathcal{C}$ es conexa pero $\mathcal{C}$ no es conexa por trayectorias poligonales.

Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$

$$f(x, y) = \dfrac{2xy}{x^2+y^2}$$

* ¿Cuál es la gráfica de $f$?

* ¿Cuáles son los puntos de discontinuidad?

Cortes con el plano $x = x_0$ constante.

$z = f(x_0, y) = \dfrac{2x_0 y}{x_0^2+y^2}$

Por ejemplo, si $x_0 = 1$

$f(1, y) = \dfrac{2y}{1 + y^2}$

si $x_0 = 2$

$f(2, y) = \dfrac{4y}{4 + y^2}$

si $x_0 = \dfrac{1}{2}$

$f(\frac{1}{2}, y) = \dfrac{y}{\frac{1}{4} + y^2}$

CASO ESPECIAL $x = x_0 = 0$

$$z = f(0, y) = \dfrac{2(0)y}{0+y^2}$$

$z = 0$

https://www.geogebra.org/classic/r5c2eu76

Curvas de nivel

$f(x, y)=c $ con $ c \neq 0$

$\dfrac{2xy}{x^2+y^2} = c $

$2xy = c (x^2+y^2)$

$\dfrac{2}{c}xy = x^2+y^2$

$y^2 \, – \, \dfrac{2}{c}xy + x^2 = 0$

Calculamos los valores de $y$.

$$y = \dfrac{\frac{2}{c}x \pm \sqrt{\frac{4}{c^2}x^2 \, – \, 4x^2}}{2}$$

$$y = \dfrac{\frac{2}{c}x \pm \sqrt{\frac{4x^2}{c^2}(1-c^2)}}{2}$$

Simplificando obtenemos que:

$$y = \dfrac{x}{c} \pm \dfrac{x}{c} \sqrt{(1-c^2)}$$

Son dos rectas y solo hay curvas para el intervalo $c=[-1, 1].$

En el siguiente enlace puedes observar vistas simultáneas de las curvas de nivel y la gráfica de la función.

https://www.geogebra.org/classic/u8kxbxq5

Para cada constante $c \in \mathbb{R}$, el conjunto de nivel $c$ es $\Big\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \, | f(x, y) = c \Big\} = f^{-1}(c)$.

$c= 0$

$f(x, y)=0$ lo cumplen los puntos de la forma $(0, y)$ con $y \in \mathbb{R}$ y los puntos de la forma $(x, 0)$ con $x \in \mathbb{R}$.

$c=1$

$f(x, y)=1$ se cumple cuando $\dfrac{y}{x}=1$ es decir cuando $y=x$ pero $x \neq 0$.

$c=2$

$f(x, y)=2$ se cumple cuando $\dfrac{y}{x} = 2$ es decir cuando $y=2x$ pero $x \neq 0$.

$c=\frac{1}{2}$

$f(x, y)=\frac{1}{2}$ se cumple cuando $\dfrac{y}{x} = \frac{1}{2}$ es decir cuando $y=\frac{1}{2}x$ pero $x \neq 0$.

$c= -1$

$f(x, y)=-1$ se cumple cuando $\dfrac{y}{x}=-1$ es decir cuando $y= -x$ pero $x \neq 0$.

Sabemos que la ecuación de una recta está dada por $y=mx+b$ de donde $m=\dfrac{y}{x}$ entonces podemos observar que el plano se llena con rectas de diferentes pendientes, incluso la recta vertical, que es cuando $c=0$.

Por lo que podemos concluir que los puntos donde $f$ es discontinua son los de la forma $(0, y_0)$ que son los que forman la recta $x=0$ y el eje $y$.

En la siguiente animación puedes observar las curvas de nivel que se calcularon.

https://www.geogebra.org/classic/tgfk7smx