Recordemos la definición de que $f$ es diferenciable para $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$:
$f$ es diferenciable en $x_0$ si existe $f’ (x_0)$, luego
$f’ (x_0) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f (x_0 + h) \, – \, f (x_0) }{h} \iff \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f (x_0 + h) \, – \, f (x_0) }{h} \, – \, f’ (x_0) = 0 \; \; \dotsc (1)$
$f$ es diferenciable en $x_0$ si existe la diferencial de $f$ en $x_0$
$df_{x_0} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ lineal.
$df_{x_0} (h) = mh$ tal que
$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f (x_0 + h) \, – \, f (x_0) \, – \, mh}{h} = 0 $ ocurre si
$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f (x_0 + h) \, – \, f (x_0) }{h} \, – \, m = 0 \; \; \dotsc (2)$
Observemos que, de $(1)$ y $(2)$
$ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f (x_0 + h) \, – \, f (x_0) }{h} \, – \, f’ (x_0) = 0 = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f (x_0 + h) \, – \, f (x_0) }{h} \, – \, m$
Luego $m = f’ (x_0)$ entonces:
Las propiedades que caracterizan a la diferencial de $f$ en $x_0$ son dos.
- Es una transformación lineal de la forma $h \rightarrow mh$
- Es la única tal que el límite del cociente
$$\frac{|f(x_0 + h) – f(x_0) – mh|}{|h|}$$ es igual a cero.
La regla de correspondencia de la diferencial de $f$ en $x_0$ queda $df_{x_0}(h)= f’ (x_0)h$
Tratando de generalizar
$f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$
Diremos que $f$ es diferenciable en un punto $(x_0, y_0)$ si existe la diferencial de $f$ en $(x_0, y_0)$. La diferencial de $f$ en $(x_0, y_0)$ es la transformación lineal $(h, k) \rightarrow m_1h + m_2k$ que cumple la propiedad, de que
$\lim\limits_{(h, k) \to (0,0)} \dfrac{\Big\| f (x_0 +h, y_0 + k) \, – \, f (x_0, y_0) \, – \, m_1h – m_2k \Big\|}{ \Big\| (x_0, y_0) \Big\|} = 0$
La diferencial de $f$ en $(x_0, y_0)$ tiene como regla de correspondencia
$(h,k) \rightarrow \frac{\partial f}{\partial x} (x_0, y_0) h + \frac{\partial f}{\partial y} (x_0, y_0) k$
EN CONCLUSIÓN
Para funciones de $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$:
(*) La derivada es la pendiente de la recta tangente.
(*) La diferencial es la transformación lineal $h \rightarrow mh$, donde $m$ es la pendiente de la recta tangente.
(*) La ecuación de la recta tangente está dada por $$ y = f (x_0) + f’ (x_0) (x \, – \, x_0)$$
Para funciones de $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$:
(*) La derivada de $f$ en $(x_0, y_0)$ es el vector gradiente ( o el vector de derivadas parciales) $$\nabla f (x_0, y_0)= \Big( \dfrac{\partial f}{\partial x} (x_0, y_0) , \dfrac{\partial f}{\partial y} (x_0, y_0)\Big)$$
(*) La diferencial de $f$ en $(x_0, y_0)$ es la función lineal $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} $ tal que a cada $$(h, k) \rightarrow \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) h \, + \, \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) k$$
(*) El plano tangente está dado por la ecuación $$z = f (x_0, y_0) + \dfrac{\partial f}{\partial x} (x_0, y_0) (x \, – \, x_0) + \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) (y \, – \, y_0)$$
donde $x \, – \, x_0 = h$ y $ y \, – \, y_0 = k.$