(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

¿Haz operado funciones? Podemos sumar, restar, multiplicar, hacer producto por escalar, componer y en cada caso se estudia si el resultado es una función, cuál es su dominio y su codominio, y nos preguntamos para cada caso qué condiciones se requieren para conservar esa propiedad.

Veremos la suma de transformaciones y la multiplicación por escalar.
Pero más que eso, veremos que dados dos espacios vectoriales, si para el conjunto de transformaciones lineales entre esos espacios, consideramos estas dos operaciones, formamos un nuevo espacio vectorial. Los dos grandes pilares del Álgebra Lineal por fin se unifican.

SUMA Y PRODUCTO DE TRANSFORMACIONES LINEALES

Definición: Sean $V,W$ $K$ – espacios vectoriales, $T,S\in\mathcal{L}(V,W)$ y $\lambda\in K$. Definimos las siguientes operaciones:

• La suma de $T$ y $S$ es $T +_{\mathcal{L}} S: V \longrightarrow W$ donde $\forall v\in V ((T +_{\mathcal{L}} S)(v)=T(v) +_{\mathcal{W}} S(v))$.
• El producto de $T$ por el escalar $\lambda$ es $\lambda \cdot_{\mathcal{L}} T: V \longrightarrow W$ donde $\forall v\in V ((\lambda \cdot_{\mathcal{L}} T)(v)=\lambda \cdot_{\mathcal{W}} T(v))$.

Ejemplos

• Sean $K=\mathbb{R}$, $V=\{a+bx+cx^2+dx^3|a,b,c,d\in\mathbb{R}\}$ y $W=\mathbb{R}^3$.
  Sean $T:V\longrightarrow W$ dada por $T(a+bx+cx^2+dx^3)=(a-b+2c,b-d,2a+c)$ y $S:V\longrightarrow W$ dada por $S(a+bx+cx^2+dx^3)=(b,2c,3d)$. Entonces:
  $T+S:V\longrightarrow W$ es $(T+S)(a+bx+cx^2+dx^3)=(a+2c,b-d+2c,2a+c+3d)$
  $4\cdot S:V\longrightarrow W$ es $(4\cdot S)(a+bx+cx^2+dx^3)=(4b,8c,12d)$

Justificación. Sea $a+bx+cx^2+dx^3\in V$.

$(T+S)(a+bx+cx^2+dx^3)$$=T(a+bx+cx^2+dx^3)+S(a+bx+cx^2+dx^3)$$=(a-b+2c,b-d,2a+c)+(b,2c,3d)$$=(a-b+2c+b,b-d+2c,2a+c+3d)$$=(a+2c,b+2c-d,2a+c+3d)$

• Sean $F$ un campo, $V=\mathcal{M}_{2\times 3}(F)$ y $W=\mathcal{M}_{2\times 2}(F)$.
  Sean $T:V\longrightarrow W$ dada por $T \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a_{11} – 2a_{12} & a_{13} – 2a_{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ y $S:V\longrightarrow W$ dada por $S \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2b_{21} – 2b_{22} & b_{23} – 2b_{22} \end{pmatrix}$. Entonces
  $T+2S:V\longrightarrow W$ es $(T+2S)\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a_{11} – 2a_{12} & a_{13} – 2a_{12} \\ 4a_{21} – 4a_{22} & 2a_{23} – 4a_{22} \end{pmatrix}$

Justificación. $2S\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}$$=2 \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2a_{21} – 2a_{22} & a_{23} – 2a_{22} \end{pmatrix}$$= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 4a_{21} – 4a_{22} & 2a_{23} – 4a_{22} \end{pmatrix}$

$(T+2S)\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}$$= \begin{pmatrix} 2a_{11} – 2a_{12} & a_{13} – 2a_{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 4a_{21} – 4a_{22} & 2a_{23} – 4a_{22} \end{pmatrix}$$= \begin{pmatrix} 2a_{11} – 2a_{12} & a_{13} – 2a_{12} \ 4a_{21} – 4a_{22} & 2a_{23} – 4a_{22} \end{pmatrix}$

Nota: Para las demostraciones de los siguientes teoremas, se considerará a $T_0 : V\longrightarrow W$ como la transformación donde $\forall v\in V(T_0(v)=\theta_W)$.

Proposición (2.5.1.): Sean $V,W$ $K$ – espacios vectoriales, $T,S\in\mathcal{L}(V,W)$ y $\lambda\in K$. Entonces $T+S\in\mathcal{L}(V,W)$ y $\lambda T\in\mathcal{L}(V,W)$.

Demostración: Sean $V,W$ $K$ – espacios vectoriales. Sean $T,S\in\mathcal{L}(V,W)$ y $\lambda\in K$.

P.D. 1) $T+S\in\mathcal{L}(V,W)$.

Sean $u,v\in V$ y $\lambda\in K$.
Entonces $(T+S)(\lambda u + v)=T(\lambda u + v)+S(\lambda u + v)$$=(\lambda T(u)+T(v))+(\lambda S(u)+S(v))$$=\lambda(T(u)+S(u))+(T(v)+S(v))=\lambda (T+S)(u)+(T+S)(v)$.
Como $(T+S)(\lambda u + v)=\lambda (T+S)(u)+(T+S)(v)$, entonces $T+S\in\mathcal{L}(V,W)$.

P.D. 2) $\lambda T\in\mathcal{L}(V,W)$.

Sean $u,v\in V$ y $\mu\in K$.

Entonces $(\lambda T)(\mu u + v)=\lambda T(\mu u + v)$$=\lambda (\mu T(u)+T(v))=\mu (\lambda T(u))+\lambda T(v)$$=\mu (\lambda T)(u)+(\lambda T)(v)$.
Como $(\lambda T)(\mu u + v)=\mu (\lambda T)(u)+(\lambda T)(v)$, entonces $\lambda T\in\mathcal{L}(V,W)$.

Teorema (2.5.2.): Sean $V,W$ $K$ – espacios vectoriales. Entonces $\mathcal{L}(V,W)$ con la suma y el producto escalar definidos es un $K$ – espacio vectorial.

Demostración: Sean $T,S,R\in\mathcal{L}(V,W)$ y $\lambda, \mu \in K$.

P.D. 1) $T+(S+R)=(T+S)+R$

Sea $v\in V$.
$(T+(S+R))(v)=T(v)+(S+R)(v)=T(V)+(S(v)+R(v))$$=(T(v)+S(v))+R(v)=(T+S)(v)+R(v)$$=((T+S)+R)(v)$.

Así, $\forall v\in V((T+(S+R))(v)=((T+S)+R)(v))$.
Por lo tanto, $T+(S+R)=(T+S)+R$.

P.D. 2) $T+S=S+T$

Sea $v\in V$.

$(T+S)(v)=T(v)+S(v)=S(v)+T(v)=(S+T)(v)$.

Así, $\forall v\in V((T+S)(v)=(S+T)(v))$.
Por lo tanto, $T+S=S+T$.

P.D. 3) $T+T_0=T_0+T=T$.

Sea $v\in V$.

$(T+T_0)(v)=T(v)+T_0(v)=T(v)+\theta_W=T(v)$.
$(T_0+T)(v)=(T+T_0)(v)=T(v)$.

Así, $\forall v\in V((T+T_0)(v)=(T_0+T)(v)=T(v))$.
Por lo tanto, $T+T_0=T_0+T=T$.
De este modo, $T_0$ cumple la función de neutro en $\mathcal{L}(V,W)$.

P.D. 4) Si $\tilde{T} : V\longrightarrow W$ donde $\forall v\in V(\tilde{T}(v)=-T(v))$, entonces $T+\tilde{T}=\tilde{T}+T=T_0$.

Sea $\tilde{T} : V\longrightarrow W$ donde $\forall v\in V(\tilde{T}(v)=-T(v))$.
Sea $v\in V$.

$(T+\tilde{T})(v)=T(v)+\tilde{T}(v)=T(v)+(-T(v))=\theta_W$.
$(\tilde{T}+T)(v)=(T+\tilde{T})(v)=\theta_W$.

Así, $\forall v\in V((T+\tilde{T})(v)=(\tilde{T}+T)(v)=\theta_W)$.
Por lo tanto, $T+\tilde{T}=\tilde{T}+T=T_0$.
De este modo, $\tilde{T}=-T=(-1)T\in\mathcal{L}(V,W)$ cumple la función de inverso de $T$ en $\mathcal{L}(V,W)$.

P.D. 5) $(1)T=T$.

Sea $v\in V$.

$(1T)(v)=(1)T(v)=T(v)$.

Así, $\forall v\in V((1T)(v)=T(v))$.
Por lo tanto, $(1)T=T$.

P.D. 6) $\lambda (\mu T)=(\lambda\mu)T$

Sea $v\in V$.

$(\lambda (\mu T))(v)=(\lambda )(\mu T)(V)$$=(\lambda )(\mu T(v))=(\lambda\mu )T(v)$$=((\lambda\mu )T)(v)$.

Así, $\forall v\in V((\lambda (\mu T))(v)=((\lambda\mu )T)(v))$.
Por lo tanto, $\lambda (\mu T)=(\lambda\mu )T$.

P.D. 7) $(\lambda + \mu)T=\lambda T + \mu T$.

Sea $v\in V$.

$((\lambda + \mu )T)(v)=(\lambda + \mu)T(v)=\lambda T(v)+\mu T(v)$$=(\lambda T)(v)+(\mu T)(v)=(\lambda T + \mu T)(v)$.

Así, $\forall v\in V((\lambda +\mu ) T)(v)=(\lambda T + \mu T)(v))$.
Por lo tanto, $(\lambda +\mu )T=\lambda T + \mu T$.

P.D. 8) $\lambda (T+S)=\lambda T + \lambda S$.

Sea $v\in V$.

$(\lambda (T+S))(v)=(\lambda )(T+S)(v)=\lambda (T(v)+S(v))$$=\lambda T(v)+ \lambda S(v)=(\lambda T)(v)+(\lambda S)(v)$$=(\lambda T + \lambda S)(v)$.

Así, $\forall v\in V((\lambda (T+S))(v)=(\lambda T + \lambda S)(v))$.
Por lo tanto, $\lambda (T+S)=\lambda T + \lambda S$.

Tarea Moral

1. Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales sobre el campo $K$ y $S\subseteq V$.
   Defina $S^0 = \{ T \in \mathcal{L}(V,W) | \forall x\in S(T(x) = \theta_W) \}$.
   ¿Es $S^0$ un subespacio de $\mathcal{L}(V,W)$ con las operaciones anteriormente vistas?
2. Sea $W \leqslant V$ un $K$ – espacio vectorial.
   Definimos la clase lateral de $W$ que contiene a $v$ como $\forall v\in V ( { v } + W = { v+w|w \in W } )$ que para simplificar notación lo escribiremos como $v + W$
   Sea $W \leqslant V$ un $K$ – espacio vectorial.
   Definimos la clase lateral de $W$ que contiene a $v$ como $\forall v\in V ( { v } + W = { v+w|w \in W } )$ que para simplificar notación lo escribiremos como $v + W$
   a) Demuestra que $v + W$ es un subespacio de $V$ si y sólo si $v \in W$
   b) Demuestra que $v_1 + W = v_2 + W$ si y sólo si $v_1 – v_2 \in W$

Más adelante…

En la siguiente entrada veremos una nueva operación: la composición.
Y al igual que en las funciones reales, esta operación da lugar a un nuevo concepto: la identidad
¿Qué propiedades cumple la composición? ¿Cómo funciona en este caso la identidad?

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