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Investigación de Operaciones (4): El problema de la dieta

Por Aldo Romero

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Introducción

En la entrada anterior hablamos un poco de lo que es la Programación Lineal, de su historia y de cuáles son los tipos de problemas que estudia. Dijimos que un problema de programación lineal es aquel en el que se busca optimizar una función lineal bajo ciertas restricciones lineales. En estas entradas y las siguientes veremos algunos ejemplos conocidos de problemas de programación lineal. Comenzaremos hablando del problema de la dieta.

El problema de la dieta fue uno de los primeros problemas sobre optimización. George Joseph Stigler fue quien lo planteo a finales de la década de los años 30. El problema de régimen alimenticio óptimo para tratar de satisfacer la necesidad del ejército americano por hallar la manera más económica de alimentar a sus tropas, asegurándose de satisfacer al mismo tiempo unos determinados requerimientos nutricionales.

Análisis e interpretación

En este tipo de problemas, nos van a dar una cierta cantidad de alimentos diferentes, digamos $m$ alimentos, y cada alimento va a contener una cantidad finita de nutrientes de interés, digamos $n$ nutrientes. Entonces la cantidad de nutrientes j que va a tener el alimento i por unidad va a quedar representado por una constante dada, digamos $a_{i,j}$.

——Nutriente 1Nutriente 2$\ldots$Nutriente $n-1$Nutriente $n$Costo del alimento
Alimento 1$a_{1,1}$$a_{1,2}$$\ldots$$a_{1,n-1}$$a_{1,n}$$c_1$
Alimento 2$a_{2,1}$$a_{2,2}$$\ldots$$a_{2,n-1}$$a_{2,n}$$c_2$
$\vdots$$\vdots$$\vdots$$\ddots$$\vdots$$\vdots$$\vdots$
Alimento m-1$a_{m-1,1}$$a_{m-1,2}$$\ldots$$a_{m-1,n-1}$$a_{m-1,n}$$c_{m-1}$
Alimento m$a_{m,1}$$a_{m,2}$$\ldots$$a_{m,n-1}$$a_{m,n}$$c_m$
Nutrientes
requeridos		$b_1$$b_2$$\ldots$$b_{n-1}$$b_n$——

Cada individuo (ya sea persona u otro ser vivo) tiene el mismo requerimiento mínimo de cada uno de estos nutrientes, digamos $b_j, \quad \forall \ j \in {1, \ldots, n}$.

Sea $x_i$ = el número de unidades del alimento i que vamos a asignar a cada individuo

Entonces vamos a tener la restricción de que cada individuo tiene que recibir los nutrientes requeridos por los alimentos que le son dados. Esto se representa de la siguiente manera:

(Alimento 1: cantidad de nutriente j)(Unidades de alimento 1) + (Alimento 2: cantidad de nutriente j)(Unidades de alimento 2) + $\ldots$ + (Alimento m: cantidad de nutriente j) (Unidades de alimento m)$\geq$ Nutriente j requerido

Usando la notación de la tabla y las variables que creamos, se escribiría:

$a_{1,j}x_1 + a_{2,j}x_2 + \ldots + a_{m,j}x_m \geq b_j$ para cualquiera de los n nutrientes.

Cada alimento va a tener un coste dado por unidad, digamos $c_i$.

Como se mencionó, se busca la manera más económica de alcanzar los nutrimentos requeridos de los alimentos asignados a cada individuo, entonces, el problema busca minimizar el costo de los alimentos que elijamos. Esto se traduce como:

Minimizar z = (Costo alimento 1)(Unidades de alimento 1) + (Costo de alimento 2)(Unidades de alimento 2) + $\ldots$ + (Costo de alimento m)(Unidades de alimento m)

Usando la notación de la tabla y las variables que creamos, se escribiría:

$Min \quad z = c_1x_1 + c_2x_2 + \ldots + c_mx_m$

Como la cantidad de alimentos que vamos a asignar es a lo menos cero, nuestras variables $x_i$ van a ser mayores o iguales a cero.

Entonces, en términos generales, el problema quedaría de esta forma:

\begin{align*}
Min \quad z = c_1&x_1 + c_2x_2 + \ldots + c_mx_m\\
sujeto \quad a \quad &(s. a)\\
&a_{1,1}x_1 + a_{2,1}x_2 + \ldots + a_{m,1}x_m \geq b_1\\
&a_{1,2}x_1 + a_{2,2}x_2 + \ldots + a_{m,2}x_m \geq b_2\\
\vdots\\
&a_{1,n}x_1 + a_{2,n}x_2 + \ldots + a_{m,n}x_m \geq b_n\\
&x_i \geq 0\\
\end{align*}

Ejemplo del problema de la dieta

Vamos a citar el ejemplo que se encuentra en la sección 1.2.1 del libro «Introducción a la programación lineal» de María del Carmen Hernández Ayuso. El problema dice así:

Consideremos el problema de diseñar un desayuno en una escuela que satisfaga ciertos requisitos de nutrición. Supongamos que se tienen cuatro alimentos disponibles: leche, jamón, huevo y pan. El costo de la leche es de \$10 por litro, el del jamón de \$45 por kilogramo, el del huevo \$13 por kilogramo y la pieza de pan cuesta \$0.60.

Cada día los niños deben ingerir por lo menos, entre otras cosas, 25 unidades de cierto nutriente al que llamaremos N1 y 20 unidades de otro denominado N2.

El contenido nutritivo de los alimentos y el costo de éstos se muestra en la siguiente tabla. Debemos diseñar el menú más económico que satisfaga las necesidades mencionadas.

AlimentoCosto por unidad en pesosContenido nutritivo por unidad de alimento
N1N2
Leche$10/lt153
Jamón$45/kg515
Huevo$13/kg88
Pan$0.60/pz14
Necesidades de nutrición2520

Veamos cómo podemos plantear el problema anterior como un problema de programación lineal usando el análisis que hicimos anteriormente.

Vayamos paso por paso, primero identifiquemos que una unidad de cada alimento se va a referir a un litro, kilo o pieza del alimento según corresponda.

Sea $x_1$ los litros de leche, $x_2$ los kilos de jamón, $x_3$ los kilos de huevo y $x_4$ las piezas de pan que vamos a hacer parte del desayuno. En la tabla nos indican los costos de estos por lo que ya tenemos nuestra función objetivo a minimizar:

$Min \quad z = 10x_1 + 45x_2 + 13x_3 + .6x_4$

Luego, tenemos que considerar las restricciones de los nutrientes que son requeridos por cada individuo. Solo tenemos dos nutrientes a considerar entonces tenemos las siguientes restricciones:

(Alimento 1: cantidad de nutriente 1)(Unidades de alimento 1) +
(Alimento 2: cantidad de nutriente 1)(Unidades de alimento 2) +
(Alimento 3: cantidad de nutriente 1)(Unidades de alimento 3) +
(Alimento 4: cantidad de nutriente 1) (Unidades de alimento 4) $\geq$
Nutriente 1 requerido

(Alimento 1: cantidad de nutriente 2)(Unidades de alimento 1) +
(Alimento 2: cantidad de nutriente 2)(Unidades de alimento 2) +
(Alimento 3: cantidad de nutriente 2)(Unidades de alimento 3) +
(Alimento 4: cantidad de nutriente 2) (Unidades de alimento 4) $\geq$
Nutriente 2 requerido

Escrito en la notación general descrita:

\begin{align*}
&a_{1,1}x_1 + a_{2,1}x_2 + a_{3,1}x_3 + a_{4,1}x_4 \geq b_1\\
&a_{1,2}x_1 + a_{2,2}x_2 + a_{3,2}x_3 + a_{4,2}x_4 \geq b_2\\
\end{align*}

Y usando los valores de el problema, tenemos:

\begin{align*}
&15x_1 + 5x_2 + 8x_3 + x_4 \geq 25\\
&3x_1 + 15x_2 + 8x_3 + 4x_4 \geq 20\\
\end{align*}

Y por último solo cabe mencionar que las unidades de alimento que vamos a considerar es un número mayor o igual a cero. Por lo que el planteamiento del problema quedaría de la siguiente manera:

\begin{align*}
Min \quad z = 10&x_1 + 45x_2 + 13x_3 + .6x_4\\
s.a&\\
15&x_1 + 5x_2 + 8x_3 + x_4 \geq 25\\
3&x_1 + 15x_2 + 8x_3 + 4x_4 \geq 20\\
&x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0\\
\end{align*}

Más adelante…

El problema de la dieta es el primer ejemplo de problema de programación lineal que nos encontramos. En las siguientes entradas veremos otros ejemplos más, como el problema de la mochila, el del transporte y otros.

Hasta ahora sólo hemos hablado de qué tipo de problemas queremos resolver, pero no hemos dicho nada con respecto al cómo los resolveremos. Veremos eso un poco más adelante.

Tarea moral

  • ¡Oh no! La inflación llegó y el precio de los alimentos mencionados en la entrada subió en $10\%$. Realiza nuevamente la formulación del problema de la dieta del ejemplo bajo este supuesto.
  • Formula como un PPL el siguiente ejemplo:
    «Se tienen disponibles 4 tipos de inversión cuyos costos son \$12,000, \$20,000, \$16,000, \$15,000 respectivamente. La inversión 1 tiene un valor presente neto de \$14,000, la 2 de \$25,000, la 3 de \$20,000 y la 4 de \$18,000. Se cuenta con un presupuesto de \$50,000. El objetivo es determinar la combinación de inversiones que aporte el valor presente neto máximo.»
  • Imagina que tenemos un problema de la dieta muy sencillo. Sólo se puede adquirir pan y leche. Cuesta \$1 la pieza de pan y \$10 el litro de leche. El pan da 5 unidades de N1 y 1 de N2. La lecha da 3 unidades de N1 y 10 de N2. Imagina que se deben consumir 25 unidades de N1 y 20 unidades de N2. Se quiere encontrar la dieta más económica. Plantea este problema como un problema de programación lineal.
  • Intenta resolver el problema de programación lineal del inciso anterior con las herramientas con las que cuentes hasta ahora de Cálculo, Álgebra Lineal, etc. ¿Cuál sería el menú más económico?
  • ¿Por qué en el problema de la dieta no tiene sentido preguntarse por la dieta menos económica? Intenta argumentarlo desde el punto de vista práctico, como desde el punto de vista matemático.

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Por Aldo Romero

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Introducción

En esta entrada comenzaremos a abordar el primer tema de este curso de Investigación de Operaciones: el de la programación lineal. Hablaremos un poco de por qué es importante estudiar esta disciplina. Luego, explicaremos un poco en qué consiste. Finalmente, veremos el tipo de problemas que podremos responder una vez que hayamos desarrollado más teoría.

¿Por qué estudiar programación lineal?

El desarrollo de la programación lineal ha sido clasificado como uno de los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX. En la actualidad es una herramienta de uso cotidiano que permite efectuar de manera óptima muchas de las operaciones que realizan individuos, gobiernos, compañías y negocios. Esto ha su vez ha permitido el uso eficiente de los recursos y ahorros prácticamente incalculables.

Además de las ventajas que trae usar la programación lineal, también es notable la facilidad con la que hoy en día se aplican sus métodos. El tipo de matemáticas sobre las cuales está construida la programación lineal es en general teoría bien conocida: resultados básicos de álgebra lineal, teoremas importantes de cálculo, teoría de gráficas y redes. Esto se complementa con que en la actualidad es sencillo llevar esta teoría a la práctica, pues existen varios lenguajes de programación para uso científico que cuentan con bibliotecas dedicadas a la programación lineal.

¿Qué es la programación lineal?

La programación lineal es una rama de la programación matemática que estudia problemas de optimización en los cuales se desea maximizar (o minimizar) una función lineal restringida mediante ecuaciones o desigualdades lineales. En este contexto no hablamos de la palabra «programación» en el sentido usual de crear código para diseñar programas en una computadora. Más bien, nos referimos a «programación» más como en el sentido de «la programación de cierto canal de televisión» o bien como en la frase «programé una cita con mi dentista», es decir, como una manera de tomar decisiones para repartir un recurso (el tiempo de aire en el caso de la televisión y el tiempo del doctor y del paciente en el ejemplo del dentista).

Existe una gran variedad de problemas, en diversos campos, que pueden ser formulados o aproximados como modelos lineales. Una de las ventajas de resolver problemas por métodos de programación lineal es que existen técnicas eficientes, sencillas y bien estudiadas para resolverlos. Además, se tiene la comodidad de que una vez que se haya resuelto un problema, es sencillo hacer una variación de los parámetros originales para tener una buena intuición de la nueva respuesta sin tener que volver a hacer un procedimiento largo (a esto se le llama análisis de postoptimalidad).

Aunque una de sus aplicaciones más frecuentes es la asignación de recursos, la programación lineal tiene muchas otras posibilidades. En realidad, cualquier problema cuyo modelo matemático se ajuste al formato general de un problema de programación lineal, puede ser estudiado mediante las herramientas de la teoría.

Formato general de un problema de programación lineal

A un problema de programación lineal y su modelo lo llamaremos programa lineal. Abreviaremos problema de programación lineal como PPL y programa lineal como PL.

Estos problemas tienen que cumplir con las siguientes condiciones:

  • El criterio para seleccionar el mejor valor de las variables desconocidas involucradas en el problema, llamadas variables de decisión, puede describirse como función lineal de éstas. A esta función se le da el nombre de función objetivo.
  • Las reglas de operación que gobiernan el proceso (que definen las alternativas de solución) pueden expresarse mediante un conjunto de ecuaciones o desigualdades lineales a las cuales se les da el nombre de restricciones del problema.

El planteamiento matemático inicial del problema de programación lineal fue desarrollado por George Bernard Dantzig en 1947 junto con el método de solución simplex. El formato general del un modelo de esta clase es:

\begin{align*}
\text{Maximizar (o Minimizar)}&\\
z = c_1x_1+c_2x_2&+\ldots+c_nx_n\\
\text{s.a (sujeto a)}\\
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n \quad &\leq b_1 \quad \text{(o bien $\geq$ o $=$)}\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n \quad &\leq b_2 \quad \text{(o bien $\geq$ o $=$)}\\
&\vdots\\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n \quad &\leq b_m \quad \text{(o bien $\geq$ o $=$)}\\
x_i & \geq 0, i = 1,\ldots,n.
\end{align*}

Este problema de programación lineal PPL puede escribirse en forma matricial:

\begin{align*}
\text{Max. (o Min.)}&\\
z &= c\\
\text{s.a}\\
Ax \quad &\leq b
\quad \text{(o bien $\geq$ o $=$)}\\
x &\geq 0.
\end{align*}

En esta expresión $c$ es un vector renglón en $\mathbb{R}^n$, llamado vector de costos o de coeficientes en la función objetivo. El vector $x$ es un vector columna (formado por las variables de decisión $x_1,\ldots,x_n$) en $\mathbb{R}^n$. La matriz $A$ es de $m$ renglones y $n$ columnas, llamada la matriz de restricciones. Y finalmente $b$ es un vector columna en $\mathbb{R}^n$, llamado el vector de recursos o lado derecho.

Más adelante…

En esta entrada hablamos un poco de qué es la programación lineal y qué es un PPL, pero nos hemos quedado en términos un poco abstractos. La mejor forma de entender qué es un problema lineal es mediante la presentación de ejemplos. En las siguientes entradas formularemos algunos ejemplos comunes, motivados en aplicaciones prácticas. Hablaremos del problema de la dieta, el problema de la mochila, el problema del transporte, y otros.

Tarea moral

  1. Ve el siguiente video de acerca de George Dantzig. ¿Que te pareció la anécdota de su tiempo de estudiante?
  1. Aún no hemos visto ejemplos de Problemas de Programación Lineal (PPL) pero, ¿crees que es siguiente ejemplo pueda formularse como uno? «Encontrar la ruta más corta entre una ciudad y otra teniendo varias rutas posibles que se cruzan entre sí.»
  2. Investiga un poco más de la historia de la programación lineal. ¿Qué gran evento en el mundo ayudó a que la teoría se desarrollara aceleradamente?

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