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Probabilidad I: Interpretación de las Operaciones con Eventos

Introducción

En la entrada anterior introdujimos finalmente lo que es una medida de probabilidad. Vimos las propiedades que determinan si una función dada es una medida de probabilidad. Sin embargo, antes de continuar con sus propiedades, hagamos una pausa. Para ser exactos, veamos la interpretación de las operaciones con conjuntos en este contexto.

Con frecuencia te enfrentarás con problemas concretos que requerirán que interpretes bien las operaciones entre eventos. En particular, los problemas de conteo son muy importantes en la probabilidad, y suelen requerir de estas habilidades. Por ello, es importante que tengas clara la interpretación de las operaciones con conjuntos.

Complementación

Para empezar, hay que saber interpretar la complementación. Para hacerlo, sea $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ un espacio de probabilidad, y $A$ un evento. Recuerda que el complemento de un conjunto $A$ con respecto a $\Omega$ son todos los elementos de $\Omega$ que no son elementos de $A$. Esto es,

\begin{align*}
A^{\mathsf{c}} = \{ \omega \in \Omega \mid \omega \notin A \}.
\end{align*}

Esta es la definición matemática del complemento. Sin embargo, ¿cómo la interpretamos en el contexto la probabilidad? Para hacerlo, recuerda que un evento $A$ es un subconjunto de $\Omega$. En consecuencia, $A$ tiene algunos de los elementos de $\Omega$. Es decir, $A$ tiene como elementos algunos de los posibles resultados del fenómeno aleatorio.

Por ello, cuando obtenemos la probabilidad de $A$, esto es, $\mathbb{P}(A)$, este número indica «la probabilidad de que ocurra $A$». Por el contrario, el evento $A^{\mathsf{c}}$ incluye todos los elementos de $\Omega$ que no son elementos de $A$. En principio, podríamos decir que $\mathbb{P}(A^{\mathsf{c}})$ es «la probabilidad de que ocurra $A^{\mathsf{c}}$». Sin embargo, una interpretación útil en nuestro contexto es que $\mathbb{P}(A^{\mathsf{c}})$ expresa «la probabilidad de que no ocurra $A$».

Esta dualidad es muy importante, porque puedes encontrarte con problemas en los que te piden la probabilidad de que no ocurra algo. Ante esta situación, lo que debes de hacer es pensar en el complemento del evento en cuestión.

Ejemplo. Sea $\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \}$ y $\mathscr{F} = \mathscr{P}(\Omega)$ un σ-álgebra sobre $\Omega$; y supón que se eligirá uno de estos números al azar. Supongamos que nos interesa el evento en el que «el resultado no es un múltiplo de $3$». Primero, debemos de identificar el evento «el resultado es un múltiplo de $3$». Este sería el evento cuyos elementos son todos los resultados que son múltiplo de $3$. Sea $A$ ese evento. Entonces, matemáticamente, $A$ sería el conjunto

\[ A = \{ \omega \in \Omega \mid \exists k \in \mathbb{Z}\colon \omega = 3k \}. \]

En particular, en este ejemplo basta con revisar los elementos de $\Omega$ que satisfacen esta propiedad. Más precisamente, $A$ sería el conjunto

\[ A = \{ 3, 6, 9 \}. \]

Ahora, el evento que nos interesa es que «el resultado no es un múltiplo de $3$», así que el evento que corresponde sería $A^{\mathsf{c}}$. Es decir, la solución a este ejemplo sería

\[ A^{\mathsf{c}} = \{ 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 \}, \]

el evento cuyos elementos son todos los resultados que no son múltiplos de $3$.


Unión de eventos

En ocasiones puede interesarnos el evento en el que el resultado entra en al menos una de varias posibilidades. Por ejemplo, si dados $A$, $B$ eventos, ¿cuál es el evento que concentra la posibilidad de que ocurra $A$ u ocurra $B$? Este sería $A \cup B$, pues recuerda que

\[ A \cup B = \{ \omega \in \Omega \mid \omega \in A \lor \omega \in B \}. \]

Como $A \cup B$ está definida por el conectivo lógico «ó», se entiende que los elementos de $A \cup B$ satisfacen al menos una de dos posibilidades: ser elemento de $A$, o ser elemento de $B$. Esto es importante, porque entonces, en el contexto de la probabilidad, $\mathbb{P}(A \cup B)$ expresa «la probabilidad de que ocurra $A$ u ocurra $B$». En otras palabras, «la probabilidad de que ocurra al menos uno de dos casos posibles: que ocurra $A$, o que ocurra $B$».

Es muy importante que recuerdes que el «ó» en lógica es inclusivo, es decir, que si el resultado es tal que $A$ y $B$ ocurren, se considera que ocurrió $A$ ó $B$. Además, esta misma interpretación se extiende a cuando tienes $n$ eventos, $\bigcup_{i = 1}^{n} A_{n}$ sería el evento en el que ocurre al menos uno de los $A_{i}$.

Ejemplo. Nuevamente, sea $\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \}$ y $\mathscr{F} = \mathscr{P}(\Omega)$ un σ-álgebra sobre $\Omega$; y supón que se eligirá uno de estos números al azar. Supongamos que nos interesa el evento «el resultado es un número par o el resultado es un múltiplo de $5$». Para verlo, tenemos que identificar los eventos que lo conforman. Estos son dos: «el resultado es un número par» y «el resultado es un múltiplo de $5$». Es decir, son dos eventos $A$, $B$, que expresados matemáticamente son

\begin{align*}
A &= \{ \omega \in \Omega \mid \exists k \in \mathbb{Z}\colon \omega = 2k \}, \\
B &= \{ \omega \in \Omega \mid \exists k \in \mathbb{Z}\colon \omega = 5k \}.
\end{align*}

Explícitamente, en este ejemplo, estos eventos son

\begin{align*}
A &= \{2,4,6,8,10\}, \\
B &= \{5,10\},
\end{align*}

por lo que el evento que buscamos en este ejemplo es $A \cup B$, que sería

\begin{align*}
A \cup B &= \{2,4,5,6,8,10\}.
\end{align*}

Ciertamente, los elementos de $A \cup B$ son todos los elementos de $\Omega$ que son pares o son múltiplos de $5$.


En ocasiones, es bueno que sepas partir de la definición matemática, seas capaz de interpretarla, y obtengas cuál es el resultado de una operación con conjuntos. Por ejemplo, sean

\begin{align*}
C &= \{ \omega \in \Omega \mid \exists k \in \mathbb{Z}\colon \omega = 2k + 1 \}, \\
D &= \{ \omega \in \Omega \mid \exists k \in \mathbb{Z}\colon \omega = 3k \}.
\end{align*}

La interpretación de $C$ es que es el evento en el que «el resultado es impar», y $D$ es el evento en el que «el resultado es múltiplo de $3$».

¿Qué interpretación tendría el evento $C \cup D$? Basta con conectar las expresiones que obtuvimos de interpretar a $C$ y a $D$. Así $C \cup D$ es el evento en el que «el resultado es impar o el resultado es múltiplo de $3$».


Intersección de eventos

También puede resultar interesante el evento en el que múltiples posibilidades se satisfacen a la vez. Por ejemplo, dados $A$, $B$ eventos, ¿cuál es el evento que representa que ocurran $A$ y $B$ a la vez? La respuesta es $A \cap B$. Recuerda que

\[ A \cap B = \{ \omega \in \Omega \mid \omega \in A \land \omega \in B \}. \]

En el caso de $A \cap B$, esta operación está definida por el conectivo lógico «y», así que los elementos de $A \cap B$ satisfacen dos condiciones: son elementos de $A$ y son elementos de $B$. Ambas deben de ser verdaderas para ser elemento de $A \cap B$. Por ello, en el contexto de la probabilidad, $\mathbb{P}(A \cap B)$ expresa «la probabilidad de que ocurra $A$ y ocurra $B$». En otras palabras, expresa «la probabilidad de que se satisfagan dos condiciones: que ocurra $A$ y que ocurra $B$».

Esta misma idea se extiende a más conjuntos. Por ejemplo, si tienes $n$ conjuntos, entonces $\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}$ es el evento en el que ocurren todos los $A_{i}$.

Ejemplo. Veamos ahora un ejemplo menos formal. Con frecuencia te econtrarás con ejercicios de este tipo. Sea $P$ el conjunto cuyos elementos son los habitantes de la colonia donde vives. Supón que escogeremos dos personas distintas de $P$ al azar. Primero, observa que el espacio muestral de este fenómeno aleatorio sería

\[ \Omega = \{ (x,y) \in P\times P \mid x \neq y \}, \]

son todos los pares ordenados de elementos de $P$ en los que las coordenadas son distintas. Esto obedece a que el experimento aleatorio consiste en seleccionar dos personas distintas de $P$. Bien, ahora piensa en los siguientes eventos que nos podrían interesar:

  • $H$ es el evento en el que «las dos personas escogidas son hombres«.
  • $E$ es el evento en el que «las dos personas escogidas tienen la misma edad«.
  • $V$ es el evento en el que «las dos personas escogidas son vecinas«.

Aquí hicimos una elección conveniente de letras que ayudan a identificar lo que significa cada evento. Por ejemplo, utilizamos $H$ para el evento en el que ambas personas son hombres porque la primera letra de la palabra «hombres» es ‘h’.

Ahora, veamos algunas operaciones entre los eventos anteriores.

  • Primero, veamos qué evento es $H \cap E$. Este es el evento en el que se satisfacen $H$ y $E$ a la vez. Por ello, $H \cap E$ sería el evento en el que «las dos personas escogidas son hombres y tienen la misma edad«.
  • $H^{\mathsf{c}}$, el complemento de $H$, es aquel evento en donde $H$ no se cumple. Es decir, $H^{\mathsf{c}}$ es el evento en el que «las dos personas escogidas no son ambas hombres«. En otras palabras, es el evento en el que al menos una de las dos personas elegidas es mujer, porque esto asegura que no son ambas hombres.
  • $H^{\mathsf{c}} \cup V$ es el evento en el que ocurre al menos una de dos posibilidades: no ocurre $H$, u ocurre $V$. Es decir, es el evento en el que «las dos personas escogidas cumplen al menos una de dos condiciones: al menos una de ellas es mujer, o son vecinas«.
  • $H^{\mathsf{c}} \cap V^{\mathsf{c}}$ es el evento en el que cumple que no ocurre $H$ y no ocurre $V$. Esto es, sería el evento en el que «las dos personas escogidas satisfacen dos condiciones: al menos una de ellas es mujer, y no son vecinas«.
  • $E \cap H^{\mathsf{c}}$ es el evento en el que ocurre $E$, pero no ocurre $H$. Por tanto, sería el evento en el que «las dos personas escogidas tienen la misma edad y al menos una de ellas es mujer«.

Para acabar el contenido de esta entrada, presentaremos la interpretación de dos operaciones con eventos que son un poco más especializadas, pero que es bueno tenerlas en cuenta.

Diferencia de eventos

La diferencia de eventos es muy similar a la intersección de eventos, pero también entra en juego el complemento. Dados $A$ y $B$ eventos, puede interesarnos aquel evento en el que ocurre $A$ y no ocurre $B$. Es decir, sí tomamos en cuenta los elementos de $A$, pero queremos que no se tomen en cuenta los de $B$. Esto podemos hacerlo a través de una intersección:

\[ A \cap B^{\mathsf{c}} = \{ \omega \in \Omega \mid \omega \in A \land \omega \notin B \}. \]

Como suponemos que $A$ y $B$ son eventos de un cierto espacio muestral $\Omega$, se cumple que $A \subseteq \Omega$ y $B \subseteq \Omega$. Por ello, el complemento es relativo a $\Omega$, y se tiene que

\[ A \cap B^{\mathsf{c}} = A \smallsetminus B, \]

así que $A \smallsetminus B$ es precisamente aquel evento en el que ocurre $A$ y no ocurre $B$. En consecuencia, $\mathbb{P}(A \smallsetminus B)$ expresa «la probabilidad de que ocurra $A$ y no ocurra $B$».

Diferencia simétrica de eventos

Hay una última operación entre eventos que consideramos importante que sepas interpretar. Esta es la diferencia simétrica de dos eventos. Dados $A$ y $B$ eventos, nos podría interesar aquel evento en el que ocurre $A$ u ocurre $B$, pero no ocurren ambos a la vez. En otras palabras, podría interesarnos el evento en el que ocurre exclusivamente $A$, u ocurre exclusivamente $B$. Este evento sería la diferencia simétrica de $A$ y $B$:

\[ A \triangle B = \{ \omega \in \Omega \mid (\omega \in A \land \omega \notin B) \lor (\omega \in B \land \omega \notin A) \}. \]

Hay varias maneras de escribir a $A \triangle B$, las siguientes son las más tradicionales:

\begin{align*}
A \triangle B &= (A \cup B) \smallsetminus (A \cap B), \\
A \triangle B &= (A \smallsetminus B) \cup (A \smallsetminus B).
\end{align*}

Por si te interesa saber más al respecto, el conectivo lógico que determina a $A \triangle B$ es el «o exclusivo«, frecuentemente denotado por $\mathsf{XOR}$, que se deriva del término en inglés «exclusive or«. Así, $A \triangle B$ es el evento en el que «ocurre $A$ u ocurre $B$, pero no ocurren $A$ y $B$ a la vez». En consecuencia, $\mathbb{P}(A \triangle B)$ expresa «la probabilidad de que ocurra $A$ u ocurra $B$ pero no ocurran $A$ y $B$ a la vez».

Tarea moral

Los siguientes ejercicios son opcionales. Es decir, no formarán parte de tu calificación. Sin embargo, te recomiendo resolverlos para que desarrolles tu dominio de los conceptos abordados en esta entrada.

Retomando el ejemplo en el que $P$ es el conjunto de habitantes de la colonia donde vives, y nuevamente suponiendo que se seleccionarán dos personas distintas al azar, con

\[ \Omega = \{ (x,y) \in P \times P \mid x \neq y \}, \]

considera los siguientes eventos:

  • $M$ el evento en el que las dos personas elegidas son mujeres.
  • $T$ el evento en el que las dos personas elegidas tienen trabajo.
  • $A$ el evento en el que las dos personas elegidas tienen al menos un automóvil.

Determina el significado de los siguientes eventos:

  • $M^{\mathsf{c}}$.
  • $M \cap T$.
  • $A \smallsetminus T$.
  • $M^{\mathsf{c}} \cap A^{\mathsf{c}}$.
  • $T \triangle M$.
  • $M \cap T \cap A$.
  • $A \cup (M^{\mathsf{c}} \triangle T)$.

Más adelante…

En la siguiente entrada retomaremos el rumbo que tomamos en la entrada anterior, ya que varias propiedades interesantes de una medida de probabilidad involucran operaciones con eventos. La interpretación de las operaciones con eventos es una herramienta muy útil que te ayudará en la resolución de problemas, pero no es estrictamente necesaria. La probabilidad de eventos que son el resultado de realizar operaciones con eventos puede obtenerse sin necesidad de estas interpretaciones. Sin embargo, sí resulta de utilidad para que puedas plantear correctamente ciertos problemas en los que los eventos no están definidos explícitamente.

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