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Cálculo Diferencial e Integral II: Integración directa

Por Moisés Morales Déciga

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Introducción

Ahora que hemos recordado las derivadas y de haber estudiado los teoremas fundamentales, podemos definir integrales inmediatas que surgen de estos temas.

La bondad de estos teoremas es que podemos encontrar formas y métodos de integración que se desprenden directamente de los procesos de derivación.

Para facilitar la notación de esta entrada, utilicemos la integral indefinida, es decir, sin considerar los límites de integración.

Recordemos que si tenemos una integral definida, tiene la siguiente representación:

$$\int \limits_a^b f(x) \ dx = \left. F(x) \right|_a^b = F(b) \ – \ F(a).$$

Donde $F(x)$ es la integral de $f(x)$ y posteriormente se evalúa en los límites correspondientes.

En contraste con las integrales sin límites de integración o indefinidas, se verían de la siguiente manera:

$$\int f(x) \ dx = F(x) \ + \ C.$$

Ya que no tenemos límites, al momento de integrar encontramos una función que depende de nuestra variable pero podríamos tener una pérdida de información ya que, si recordamos las derivadas, la derivada de una constante es $0$, lo que, al momento de integrar esta derivada perdemos el valor de esta constante, (constante de integración).

Por ejemplo:

$$f(x) = x^2 + 3x + 5.$$

Si aplicamos derivamos esta función, tenemos lo siguiente.

$$\frac{d}{dx} f(x) = f'(x) = 2x + 3.$$

Lo que, al integrar esta derivada utilizando el teorema fundamental del cálculo, tenemos lo siguiente.

$$\int \frac{d}{dx} f(x) \ dx = f(x) = x^2 + 3x + 5. $$

Pero, si integramos tal cual la derivada que se encontró, se tiene la siguiente integral.

$$\int 2x + 3 = x^2 + 3x. $$

Vemos que no es exactamente lo mismo. En realidad, lo único que difiere es en la constante y esto no nos genera mayor problema, ya que al considerar los límites de integración se puede ajustar.

Nota: Solo se puede ajustar mediante una constante. No se pueden añadir términos que dependan de la misma variable de la función.

Si falta una constante, no hay problema. La integral quedará de la siguiente forma:

$$\int 2x + 3 = x^2 + 3x + C.$$

Donde $C$ se le conoce como la constante de integración.

Entonces, tomando el ejemplo anterior, hay que identificar el valor de $C$, y ya solo se tendría que despejar.

$$ x^2 + 3x + 5= x^2 + 3x + C.$$

$$C = 5.$$

Entonces, por practicidad en la sección, utilizaremos la notación de la integral sin límites de integración sin olvidar la constante de integración.

Integral de una constante

$$\int z \ dx = z \ x +C.$$

En particular, si $z=1$.

$$\int \ dx = x + C.$$

Integral de potencias

Tendríamos funciones del estilo $f(x) = x^n$.

$$\int x^n \ dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}; \ n \neq -1.$$

Integral de un cociente

Tendríamos funciones del estilo $f(x) = \frac{1}{x}$.

\begin{align*}
\int x^{-1} \ dx & = \int \frac{1}{x} \ dx \\
&= ln|x| + C.
\end{align*}

Integral de una exponencial

Son funciones de la forma $f(x) = a^x; \ \ f(x) = e^x$ donde $a$ es un número real y $e$ es el número de Euler y que se utiliza para la «exponencial».

$$\int a^x \ dx = \frac{a^x}{ln \ a} + C.$$

$$\int e^x \ dx = e^x + C .$$

Integrales trigonométricas

Integrales de funciones trigonométricas.

$$\int sin(x) \ dx = -cos(x) + C.$$

$$\ \int cos(x) \ dx = sin(x) + C.$$

$$\int tan(x) \ dx = – \ ln|cos(x)| + C = ln|sec(x)| + C.$$

$$\int cot(x) \ dx = ln|sin(x)| + C.$$

$$\ \int sec(x) \ dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C. $$

$$\int csc(x) \ dx = ln|csc(x) – cot(x)| + C.$$

Así, como algunos productos entre funciones.

$$ \int sec^2(x) \ dx = tan(x) + C.$$

$$\int csc^2(x) \ dx = -cot(x) + C.$$

$$\ \int sec(x) \ tan(x) \ dx = sec(x) + C.$$

$$\int csc(x) \ cot(x) \ dx = -csc(x) + C.$$

Integrales de la forma $x^2 \pm a^2, a^2 – x^2$

$$\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} arc \ tan(\frac{x}{a}) + C.$$

$$\ \int \frac{dx}{x^2 – a^2} = \frac{1}{2a} ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + C.$$

$$\int \frac{dx}{ a^2 – x^2 } = \frac{1}{2a} ln \left|\frac{a + x}{a-x} \right| + C.$$

Integrales de la forma $\sqrt{x^2 \pm a^2} , \sqrt{a^2 – x^2}$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 \ – \ x^2 } } \ = \ arc \ sin \left(\frac{x}{a} \right) + C.$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 \ \pm \ x^2 } } \ = \ ln \left(x + \sqrt{x^2 \pm a^2} \right) + C.$$

$$\ \int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 \ – \ a^2}} \ = \ \frac{1}{a} arc \ sec \left( \frac{x}{a} \right) + C.$$

$$\int \sqrt{a^2 \ – \ x^2} dx \ = \ \frac{x}{2} \sqrt{a^2 \ – \ x^2} \ + \ \frac{a^2}{2} arc \ sin \frac{x}{a} \ + \ C.$$

$$\int \sqrt{x^2 \ \pm \ a^2} dx \ = \ \frac{x}{2} \sqrt{x^2 \pm a^2} \ \pm \ \frac{a^2}{2} ln \left( x + \sqrt{x^2 \ \pm \ a^2} \right) \ + \ C.$$

Más adelante…

A partir de ahora podemos calcular integrales de forma inmediata, solo viendo la función sin necesidad de elaborar o desarrollar la definición.

Esto considerando que las funciones cumplen con los supuestos necesarios, como la continuidad de la función sobre el intervalo de integración.

Entonces, ¿Qué pasa si al momento de integrar, nuestro dominio presenta un problema? ¿Qué se hace si nuestra función original o la que encontramos después de realizar la integral, tiene puntos conflictivos, alguna discontinuidad o el rango de integración se vuelve infinito?

En la siguiente sección se verán las integrales impropias donde se explicará cual es el tratamiento correspondiente a este tipo de funciones o que hacer en esos casos.

Tarea moral

Realice las siguientes integrales.

  1. $\int 3x^2 + x \ – \ 5 \ dx.$
  2. $\int 2 sec^2(x) \ – \ 7sin(x) + e^{x} dx .$
  3. $\ \int 3^x + \frac{1}{4x} dx.$
  4. $\int \frac{1}{1 + x^2} \ – \ \frac{2}{4 \ – \ (2x)^2} dx.$
  5. $\int \frac{3}{\sqrt{27 \ – \ 3(9x^2)}} \ dx.$

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Cálculo Diferencial e Integral II: Primer teorema fundamental del cálculo

Por Moisés Morales Déciga

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Introducción

Dada la introducción de la sección anterior, donde se genera la intuición de lo que son los teoremas fundamentales, podemos ahondar más en ellos.

En está primera sección tomaremos el primer teorema, que nos habla de la relación que existe entre la definición de una función integral y la derivada de esta función.

De forma económica, se dio un ejemplo que ejemplifica el efecto de aplicar la derivada al resultado de una integral, el cual podemos recordar:

\begin{align*}
\int \limits_0^x 4t^3 \ dt = x^4 ;\\
D(x^4)= 4x^3 .
\end{align*}

Recuperando dicho ejemplo, donde vimos que se recupera la función antes de aplicar la primer transformación; ahora es explicar de manera formal este efecto.

Primer teorema fundamental

El primer teorema fundamental nos da la relación entre la integral y la derivada, en ese orden.

Primero se define la integral de una función continua en un intervalo cerrado y se pide que la integral también sea continua y derivable en dicho intervalo. En caso de que se cumplan todas estas hipótesis, entonces la derivada de la integral es la función original, previo a la integral.

Entonces, prácticamente no transformaste en ningún momento la función.

Pero es importante recordar muy bien las hipótesis para poder aplicar el teorema.

Escribamos esto formalmente.

Teorema: (Primer teorema fundamental del cálculo).

Si $f$ es continua sobre un intervalo $[a,b]$; sea $G$ la función definida por:

$$G(x) = \int \limits_a^x f = \int \limits_a^x f(t) \ dt.$$

Donde $x \in [a,b]$ y $G$ es continua y diferenciable sobre $[a,b]$, entonces:

$$G'(x) = f(x), \ sobre \ [a,b].$$

Demostración.

Supongamos que $x_0 \in [a,b]$, sea $h \neq 0$, y se cumple que $ x_0 + h \in [a,b]$, entonces:

$$G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) = \int \limits_a^{x_0 + h} f(t) \ dt \ – \ \int \limits_a^{x_0} f(t) \ dt .$$

Por hipótesis, $f$ es continua sobre el intervalo, por lo tanto es integrable.

Ahora, utilizando las propiedades de los límites de integración, se puede hacer la siguiente igualdad.

$$\int \limits_a^{x_0 + h} f \ – \ \int \limits_a^{x_0} f = \int \limits_{x_0}^{x_0 + h} f .$$

De forma que la expresión queda de la siguiente manera:

$$G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) = \int \limits_{x_0}^{x_0 + h} f(t) \ dt $$

Observación: Utilizando el teorema del valor medio para la integral (se ilustra como recordatorio);

$$f(x_0) = \frac{1}{h} \int \limits_{x_0}^{x_0 + h} f(t) \ dt ,$$

Podemos escribir la función de la siguiente manera, sustituyendo en la expresión anterior:

\begin{align*}
\frac{G(x_0 + h) \ – \ G(x_0)}{h} \ – \ f(x_0) & = \frac{1}{h} \int \limits_{x_0}^{x_0 + h} [f(t) \ – \ f(x_0)] \ dt.
\end{align*}

Como se ha dicho, $f$ es continua en $x_0$, y recordando la definición de la derivada mediante épsilon y delta como sigue: «para cada $\epsilon >0$, existe un $\delta > 0$ tal que $|f(t) \ – \ f(x_0)| < \epsilon$ para todo $t \in [a,b] \cap \{ x_0 \ – \ \delta , x_0 + \delta \}$».

Se puede concluir que si $(0 < |h| < \delta)$ y $(x_0 + h \in [a,b])$ entonces implica que $|f(t) \ – \ f(x_0)| < \epsilon$ siempre que $(x_0 \leq t \leq x_0 + h)$ si $(h>0)$ ó $(x_0 + h \leq t \leq x_0)$ si $(h<0)$.

Esto quiere decir que si tenemos un valor de $h$ lo suficientemente pequeño, menor que una delta y que si consideramos un punto definido por $x_0 + h$ asegurando que se encuentra dentro de nuestro intervalo de integración; entonces la diferencia entre la función evaluada en cualquier punto $t$ y $f(x_0)$ es menor a épsilon, para cualquier punto $t$ entre $x_0$ y $x_0 + h$.

Por lo tanto, esto implica:

\begin{align*}
\left| \frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} \ – \ f(x_0) \right| & < \left| \frac{1}{h} \int \limits_{x_0}^{x_0 + h} [f(t) \ – \ f(x_0)] \ dt \right| \\ &
= \left| \frac{1}{h} \int \limits_{x_0}^{x_0 + h} \epsilon \ dt \right| = \epsilon.
\end{align*}

Siempre que $0 < |h| < \delta$ y $(x_0 + h) \in [a,b]$.

Entonces,

\begin{align*}
\left| \frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} \ – \ f(x_0) \right| & < \epsilon.
\end{align*}

Sin pérdida de generalidad, se puede ver que:

\begin{align*}
\frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} \ – \ f(x_0) < \epsilon \\
\frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} \ < \ f(x_0) + \epsilon.
\end{align*}

De forma que, al aplicar el límite haciendo que $h$ tienda a cero, recuperamos la definición de la derivada:

$$\lim_{h \to 0} \frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} = G'(x_0).$$

Entones, estamos mostrando que:

$$G'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} = f(x_0)$$

para todo $x_0 \in [a,b]$.

Si consideramos el otro valor posible de la desigualdad del valor absoluto, tenemos el siguiente caso:

\begin{align*}
\frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} \ – \ f(x_0) > – \ \epsilon \\
\ f(x_0) \ – \ \frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} \ < \epsilon.
\end{align*}

A pesar del cambio en el signo, la demostración se sigue de forma análoga llegando al mismo resultado.

$~\square$

Ejemplo:

Sea $S(x) = \int \limits_0^3 x^2 dx$. Encuentre $S'(x)$.

Entonces, queremos la derivada de la integral de la función $f(x)=x^2$.

$$\frac{d}{dx} S(x) = \frac{d}{dx} \int \limits_0^3 x^2 dx . $$

Entonces, por el teorema fundamental del cálculo (primera parte), tenemos lo siguiente.

$$S'(x) = f(x), ~sobre ~[0,3].$$

$$ \left. S'(x) = x^2 \right]_0^3 = 3^2 – 0^2 = 9. $$

Corolario: Sea $f$ continua en $[a,b]$ y existe $g$ tal que $f = g’$, entonces:

$$ \int \limits_a^b f = g(b) \ – \ g(a) $$

Más adelante…

Acabamos de presentar formalmente y de demostrar el primer teorema fundamental del cálculo.

En resumen, este teorema nos dice que la derivada de una integral es la función original, siempre y cuando la función es continua y la integral es continua y derivable.

Entonces, cuando tenemos este tipo de funciones, las transformaciones si son funciones inversas, prácticamente no estamos modificando la función al hacerla pasar por estos procesos.

Esto es útil cuando tenemos funciones que sabemos que provienen de una integral y que queremos derivar, pero que su proceso de cálculo tradicional o, coloquialmente, al momento de arrastrar el lápiz el desarrollo puede ser engorroso. Pero al saber su origen o de donde proviene, el procedimiento se simplifica.

En la siguiente entrada veremos la segunda parte del teorema fundamental. Sería la contraposición al teorema que acabamos de analizar.

Si en este partimos de la integral hacia la derivada, en el siguiente que vamos a ver será a partir de la derivada para terminar con la integral.

Tarea moral

  1. Demuestra el Corolario presentando en la parte anterior.
  2. Encuentra las derivadas de las siguientes funciones.
    • $G(x)=\int \limits_0^x \sqrt{1 + t^2}dt.$
    • $G(x)= \int \limits_a^{x^3} sin^3(t) dt .$
    • $G(x)= \int \limits_a^{x^4} sec(t) dt.$
    • $G(x)= \int \limits_1^x \frac{1}{t^3+1}dt .$
    • $G(x)= \int \limits_1^{1-3x} \frac{u^3}{u^2+1}dt .$
  3. Suponga una función $F (x) = \int \limits_1^{\sqrt x} sen(t) \ dt$. Calcule la derivada de $F'(x)$. Observación: utilizar la regla de la cadena.
  4. Suponga una función $F (x) = \int \limits_{x}^{2 x} t^3 \ dt$. Calcule la derivada de $F'(x)$. Observación: utilizar la regla de la cadena y propiedades de la integral, debido a que ambos límites son variables.

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