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Probabilidad I-Videos: Función de distribución

Por Aurora Martínez Rivas

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Introducción

Ahora que entendemos lo que es una variable aleatoria, Lo que buscamos con estas cantidades es asignarles probabilidades. Nos interesa entonces calcular la probabilidad del evento tal que la variable aleatoria no excede un cierto valor x. Estas probabilidades asociadas  a la variable aleatoria se describen mediante una función llamada función de distribución.

Función de distribución

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

  • Sea $F$ una función de distribución de $X$, prueba que $P(X>x)=1-F(x)$.
  • Sea $X$ una variable aleatoria con función de distribución $F$, Para cualesquiera números reales $x<y$ demuestra que: $$\begin{array}{ll}  i)&P(X<y)=F(y^-)\\ ii)&P \left( X=y \right)=F \left( y \right ) -F \left( y^- \right ) \\ iii)&P \left ( y<X\le z \right ) =F \left ( z \right ) -F(y) \\ iv)&P \left ( y\le X\le z \right ) =F \left ( z \right ) -F(y^-) \\ v)&P \left ( y<X<z \right ) =F \left ( z^- \right ) -F(y) \\ vi)&P\left ( y\le X<z \right ) =F \left ( z^- \right ) -F(y^-) \end{array}$$
  • Demuestra que toda función de distribución tiene a lo más una cantidad numerable de discontinuidades.
  • Una variable aleatoria $X$ tiene función de distribución $F$, Si $a$ y $b$ son números reales ¿Cuál es la función de distribución de $Y=aX+b$?
  • Demuestra que si $F$ y $G$ funciones de distribución y sea $0\le a\le1$ entonces $aF+(1-a)G$ es una función de distribución.

Más adelante…

Gran parte del estudio de las variables aleatorias se dedica a las funciones de distribución, el estudio de estas funciones y sus aplicaciones se vuelve mucho más fácil si concentramos nuestra atención a ciertas subclases de variables aleatorias; estas son las variables aleatorias discretas y las variables aleatorias continuas, que estudiaremos en los próximos videos.

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