Introducción

Como las capas de una cebolla, los sistemas numéricos se contienen unos a otros, ya en la prehistoria tuvimos la necesidad de contar, de llevar un registro de los días transcurridos, o del número de lunas llenas. Hubo pronto la necesidad de partir esos números, y tomarse la mitad, la tercera parte de una cierta medida, por ejemplo del mes lunar; esto dio origen a los números fraccionarios. Nuestro sistema numérico es posicional y de base $10$, es decir tenemos $10$ símbolos, que son los números $1,2,3,4,5,6,7,8,9,0$, que colocamos en las distintas posiciones: unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etc.

Con el desarrollo de nuestra civilización también se ampliaron los sistemas numéricos, y posiblemente derivado del manejo de la finanzas se concibieron los números negativos, esos números que tienen signo y que localizamos a la izquierda del cero en la recta numérica.

Todos estos números, los naturales, los enteros, las fracciones, los números decimales, se encuentran en la recta numérica, y juntos todos se dice que son los números reales.

• Introducción
• Los números naturales.
• Los números enteros.
• La suma se traga a la resta
• Inversos aditivos
• Más adelante

Los números naturales.

Los primeros números concebidos por la humanidad son los números naturales, y con ellos las $4$ operaciones fundamentales:

• $\textcolor{Red}{Sumar}$, que significa agregar a una cantidad otra.
  
  $\huge{7+5=12}$
  
• $\textcolor{Red}{Restar}$, que significa quitar a una cantidad otra.
  
  $\huge{7-5=2}$
  
• $\textcolor{Red}{Multiplicar}$, que se significa amplificar una cantidad por otra.
  
  $\huge{7\cdot5=5}$
  
• $\textcolor{Red}{Dividir}$, que significa repartir una cantidad entre otra, o compararla.
  
  $\huge{8\div 4=2}$
  

Estas operaciones nos permiten resolver gran cantidad de problemas de la vida cotidiana, identifica con que operación se resolverían las siguientes situaciones en el huerto:

1. Las donaciones al huerto este mes fueron de $1500$ pesos de Andrés, $400$ de Pedro y $350$ de Ana. ¿Cuánto lograron juntar?.
2. De lo juntado en el huerto ese mes, se decidió invertir $300$ pesos para comprar semillas de lechuga, ¿Cuánto quedo?.
3. Si cada sobre de semillas de lechuga cuesta $20$ pesos, ¿Cuántos compraron?.
4. Se decide cultivar una parcela con $500$ lechugas, esperando vender cada pieza en promedio en $10$ pesos, ¿Cuánto se obtendría?.

En el siguiente recurso de geogebra mueve el deslizador para cambiar la posición del punto, los números naturales avanzan de uno en uno en un proceso sin fin.

Los números enteros.

Vamos a considerar la siguiente situación: Juan decide comprar un nuevo teléfono, tiene $3500$ pesos y el teléfono que le gusta cuesta $2800$ pesos, efectúa la compra, ¿Cuánto le quedó?. $\textit{Es claro que tenemos que restar a 3500 los 2800.}$

$\huge{3500-2800=700}$

Pero y si la situación fuese al revés, si Juan solo tuviera $2800$ pesos y se compra un teléfono que vale $3500$, la pregunta es: ¿Cómo le hizo?. Si uno se detiene a pensar está situación, la única manera de que Juan comprara su teléfono, $\textbf{¡es pidiendo prestado!}.$

Vamos a interpretar de ahora en adelante, la resta de $2800$ menos $3500$, con la deuda que se tuvo que adquirir, es decir $700$, añadiremos el signo negativo al resultado y escribiremos:

$\huge{2800-3500=-700}$

Estos números con signo negativo los vamos a situar a la izquierda del número cero, y avanzaran en saltos a la izquierda de uno en uno, creando el conjunto de los números negativos.

En el siguiente recurso de geogebra mueve el deslizador para cambiar la posición del punto. Observa que los números negativos se encuentran a la izquierda del cero.

Juntos, el conjunto de los números negativos y el conjunto de los números naturales, forman el conjunto de los números enteros.

Efectúa las siguientes restas:

$\huge{7-4=?}$

$\huge{4-7=?}$

$\huge{25-5=?}$

$\huge{5-25=?}$

$\huge{25-100=?}$

Reflexiona:
¿En que otras situaciones se usan los números enteros además de la deuda?

Así como se hizo con los números naturales, aprenderemos las operaciones fundamentales con enteros, suma, resta, multiplicación y división.

La suma se traga a la resta

Sumar es añadir, cuando sumamos dos números enteros positivos, a la primera cantidad le agregamos la segunda. En la recta numérica nos situamos en el entero correspondiente a la primera cantidad y avanzamos a la derecha saltos de tamaño uno tantas veces como lo indique la segunda cantidad, para obtener el resultado.

$\huge {5+7=12}$

Pero ahora tenemos estos nuevos números negativos, puedo ahora a un número positivo sumarle un número negativo, y lo voy a interpretar en la recta numérica de la siguiente manera:

Me situó en la primera cantidad (la positiva), y como el número que le voy a sumar es negativo, avanzamos a la izquierda saltos de tamaño uno tantas veces como lo indique la segunda cantidad, para obtener el resultado.

$\huge {5+(-7)=-2}$

Nota que el resultado es lo mismo que la resta de 5 menos 7:

$\huge {5-7=-2}$

Observa que: las restas de números positivos se pueden ver como la suma de un positivo con un número negativo, y viceversa también, las sumas de un positivo con un negativo se pueden ver como la resta de dos positivos.

Transforma las siguientes sumas en restas:

$\huge {9+(-3)}$
$\huge {7+(-8)}$
$\huge {8+(-12)}$

Transforma las siguientes restas en sumas:

$\huge {9-13}$
$\huge {17-8}$
$\huge {8-12}$

Inversos aditivos

Para cada número entero, existe otro de tal forma que al sumarse entre si el resultado es cero:
$\huge{\begin{align*} 7&+(-7)=0\\ 17&+(-17)=0 \\ 177&+(-177)=0 \end{align*}}$

Observa que a cada número se le suma su inverso, es decir el mismo número pero con signo negativo.

Reflexiona lo siguiente:

¿Cuál es el inverso aditivo de $5$?

Después de meditarlo te das cuenta que es el mismo número pero precedido del signo $\huge{\textcolor{red}{-}}$, es decir $\huge{\textcolor{red}{-}5}$, así:

$\huge {5+(\textcolor{red}{-}5)=0}$

Piensa ahora en lo siguiente: ¿Cuál es el inverso aditivo del número negativo $-10$?, recuerda que es un número que sumado con $-10$ te de como resultado cero.

¿Qué número se tiene que poner en el espacio faltante para que el resultado sea cero?
$\huge{-10+\phantom{10}=0}$

Después de pensarlo un momento uno se da cuenta que ese número es el $10$, pero por otra parte como es el inverso de $-10$, es el mismo número $-10$ pero precedido del signo $\huge{\textcolor{red}{-}}$, es decir $\huge{\textcolor{red}{-}(-10)}.$

Por lo que acabamos de obtener que:

$\huge{-10+10=-10+\textcolor{red}{-}(-10)=0}$

De está forma acabamos de ver que $10=\textcolor{red}{-}(-10)$, es decir el inverso del inverso de $10$, es el número positivo $10$.

Como todas las restas se pueden ver como sumas y gracias a los inversos aditivos, ahora tendrá sentido restar números negativos.

Si tenemos la resta de un número positivo con uno negativo:

$\huge {9-(-3)}$

Primero la transformaremos en una suma, sumándole el inverso aditivo del segundo número:

$\huge {9-(-3)=9+(\textcolor{red}{-}(-3))}$

Pero como el inverso aditivo de un negativo es un positivo concluimos que:

$\huge {9-(-3)=9+(\textcolor{red}{-}(-3))}=9+3$

Efectúa las siguientes restas:

$\huge{\begin{align*} 7&-(-17)=\\ 11&-(-10)= \\ 177&-(-1)= \end{align*}}$

Más adelante

El hecho de que toda resta se puede ver como suma, y que el inverso aditivo de un número negativo es un número positivo será el motivo de las llamadas leyes de los signos, que daremos en la siguiente nota.