(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

El cálculo del determinante de una matriz es una operación fundamental en la teoría de matrices y álgebra lineal. El método de los menores o cofactores es una técnica utilizada para calcular el determinante de una matriz cuadrada de cualquier tamaño.

El método se basa en la expansión del determinante a lo largo de una fila o columna de la matriz. Para cada elemento de esa fila o columna, se calcula su «menor», que es el determinante de la matriz que resulta de eliminar la fila y columna correspondientes al elemento en cuestión. Luego, se multiplican estos menores por los signos positivos o negativos que se alternan en función de la posición del elemento en la matriz, para obtener los cofactores correspondientes.

Finalmente, se suman estos productos para obtener el determinante de la matriz original. Este proceso puede ser repetido recursivamente para calcular el determinante de cualquier submatriz de la matriz original.

El método de los menores o cofactores puede ser un poco tedioso para matrices grandes, pero es una herramienta poderosa para calcular determinantes de matrices de cualquier tamaño y puede usarse junto con las propiedades que hemos estudiado de los determinantes para facilitar el cálculo de los mismos.

Ve el siguiente video con las demostraciones de los dos lemas.

Definición

Sea $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R),\,\,i,j\in\set{1,\dotsc,n}.$ Denotamos por $A(i\mid j)$ a la matriz $(n-1)\times (n-1)$ que se obtiene de $A$ quitando el renglón $i$ y la columna $j$. El menor $i,j$ de $A$ es el determinante de $A(i\mid j).$

Ejemplo

Considera las siguientes matrices:

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 5 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & -1 \end{array}\right) \end{equation*}$ y $A(1\mid 2)=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 5 & 0 \\ 2 & -1 \end{array}\right) \end{equation*}.$

El menor $1,2$ de $A$ es $det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 5 & 0 \\ 2 & -1 \end{array}\right) \end{equation*}=-5.$

$A(2\mid 3)=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 2 & 4 \end{array}\right) \end{equation*}$, el menor $2,3$ de $A$ es $det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 2 & 4 \end{array}\right) \end{equation*}=8.$

Lema 1

Sea $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ tal que $a_{n1}=\cdots=a_{nn-1}=0$, entonces $det\,A=a_{nn}det\,A(n\mid n).$

Demostración

Sea $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ tal que $a_{n1}=\cdots=a_{nn-1}=0$.

Por definición de determinante tenemos que:

$\det\,A=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn\,\sigma\,a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}.$

Como todos los elementos de la fila $n$ son cero salvo en $n$-ésimo entonces los únicos sumandos que pueden contribuir con algún valor no nulo son aquellos tales que $\sigma(n)=n$, así:

$\det\,A=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n, \sigma(n)=n}sgn\,\sigma\,a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n-1\sigma(n-1)} a_{nn}.$

Factorizando $a_{nn}$ tenemos que:

$\det\,A=a_{nn}\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n, \sigma(n)=n}sgn\,\sigma\,a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n-1\sigma(n-1)}.$

Pero cada $\sigma\in S_n$ tal que $\sigma(n)=n$ da lugar a una $\gamma\in S_{n-1}$, a saber $\gamma:\{1,2,\dots ,n-1\}\rightarrow\{1,2,\dots ,n-1\}$ tal que $\gamma(i)=\sigma(i)$ para toda $i\in\{1,2,\dots ,n-1\}$, y recíprocamente, cada $\gamma\in S_{n-1}$ da lugar a una $\sigma\in S_{n}$ tal que $\sigma(n)=n$, a saber $\sigma:\{1,2,\dots ,n\}\rightarrow\{1,2,\dots ,n\}$ tal que $\sigma(i)=\gamma(i)$ para toda $i\in\{1,2,\dots ,n-1\}$ y $\sigma(n)=n$. Podemos reescribir lo anterior entonces como:

$\det\,A= a_{nn} \displaystyle\sum_{\gamma\in S_{n-1}}sgn\,\gamma\,a_{1\gamma(1)}\cdots a_{n-1\gamma(n-1)}$

y por definición de determinante tenemos que:

$det\,A=a_{nn}det\,A(n\mid n).$

$\square$

Lema 2

Sea $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R),\,\,i,j\in\set{1,\dotsc,n}.$ Si todos los elementos del renglón $i$ de $A$ salvo quizás $a_{ij}$ son cero, entonces $det\,A=(-1)^{i+j}a_{ij}det\,A(i\mid j).$

Al número $(-1)^{i+j}det\,A(i\mid j)$ se le conoce como el cofactor $i,j$ de $A$.

Demostración

Sea $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R),\,\,i,j\in\set{1,\dotsc,n},\,\,a_{il}=0\,\,\forall l\neq j.$

Entonces todos los elementos del renglón $i$ de $A$ son cero salvo quizás $a_{ij}$, la matriz $A$ se ve de la siguiente forma (el renglón $i$ está marcador en rojo):

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots& a_{1j} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\\colorbox{Red}{$0$}& \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$a_{ij}$} & \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0$}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right) \end{equation*}.$

Vamos a intercambiar renglones y columnas para llevar esta matriz a una del tipo de las requeridas en las hipótesis del lema 1.

Nuestro objetivo es transformar la matriz $A$ en una equivalente $A’$, que tenga en el último renglón ceros en todas sus entradas salvo en la última, y cuyo menor $n,n$ que es $det\,A'(n\mid n)$, sea igual al menor $i,j$ de $A$, es decir el determinante de la matriz que se obtiene de quitar el $i$-ésimo renglón y la $j$-ésima columna de $A$.

La matriz $A’$ es de la forma:

$A’=\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccccc} a_{11} & \cdots& a_{1j-1} & a_{1j+1} & \cdots & a_{1n} & a_{ij}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots &\vdots &\vdots \\ a_{i-11} & \cdots & a_{i-1j-1} & a_{i-1j+1} &\cdots & a_{i-1n} & a_{i-1j} \\ a_{i+11} & \cdots & a_{i+1j-1} & a_{i+1j+1} &\cdots & a_{i+1n} & a_{i+1j} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots &\vdots &\vdots\\ a_{n1} & \cdots& a_{nj-1} & a_{nj+1} & \cdots & a_{nn} & a_{nj} \\ \colorbox{Red}{$0$}& \colorbox{Red}{$\cdots$}&\colorbox{Red}{$0$} & \colorbox{Red}{$0$}& \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0$} & \colorbox{Red}{$a_{ij}$} \end{array}\right) \end{equation*}.$

Observa que para llegar a $A’$, movimos primero el renglón $i$ de $A$ $n-1$ veces, intercambiándolo con cada uno de los renglones subsecuentes, y después intercambiando la columna $j$ de la matriz obtenida $n-j$ veces con las columnas subsecuentes.

Por la propiedad $3$ de la nota anterior tenemos que:

$det\,A=(-1)^{(n-i)+(n-j)}det\,A’.$

Desarrollando tenemos que:

$det\,A=(-1)^{2n-(i+j)}det\,A’=(-1)^{2n}(-1)^{-(i+j)}det\,A’$

y dado que $(-1)^{2n}=1$ y que $(-1)^{-(i+j)}=\frac{1}{(-1)^{i+j}}=(-1)^{i+j}.$

Obtenemos por el lema 1 que:

$det\,A=(-1)^{i+j}a_{ij}det\,A(i\mid j).$

$\square$

Teorema

Sea $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ se tiene que:

$det\,A=(-1)^{i+1}a_{i1}det\,A(i\mid 1)+(-1)^{i+2}a_{i2}det\,A(i\mid 2)+\cdots+(-1)^{i+n}a_{in}det\,A(i\mid n).$

O bien

$det\,A=(-1)^{1+j}a_{1j}det\,A(1\mid j)+(-1)^{2+j}a_{2j}det\,A(2\mid j)+\cdots+(-1)^{n+j}a_{nj}det\,A(n\mid j).$

Ve el siguiente video de la demostración del teorema

Demostración

Sea $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$

Vamos a considerar el renglón $i$, y pensaremos que en cada término $a_{ij}$ aparece una suma de $n$ términos, $n-1$ son ceros y el otro $a_{ij}$ en el sumando $j$-ésimo. Así vamos a escribir $A$ como:

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots& a_{1j} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\\colorbox{Red}{$a_{i1}+0+\cdots+0$}& \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0+\cdots+a_{ij}+\cdots+0$} & \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0+\cdots+0+a_{in}$}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right) \end{equation*}.$

Desde esta perspectiva podemos visualizar al renglón $i$ como la suma de los siguientes $n$ vectores:

$(a_{i1},0,\dotsc,0),(0,a_{i2},0,\dotsc,0),\dotsc, (0,\dotsc,0,a_{in}).$

Consideraremos ahora para cada renglón $i$, una matriz que tiene los mismos renglones que $A$, excepto en el $i$-ésimo renglón, en el que tendremos precisamente al vector $i$-ésimo de la lista anterior.

Recordemos la propiedad uno de determinantes vista en la nota 41 que nos dice que: Si $R_t^{\prime}$ y $R_t^{\prime\prime}$ son los renglones $t$ de $A’$ y $A^{\prime\prime}$ respectivamente, el renglón $t$ de $A$ es $R_t^{\prime}+R_t^{\prime\prime}$, y el resto de los renglones de $A, A’$ y $ A^{\prime\prime}$ coinciden, entonces $det\,A=det\,A’+det\,A^{\prime\prime}.$ Gracias a dicha propiedad obtenemos que:

$detA=det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots& a_{1j} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\\colorbox{Red}{$a_{i1}$}& \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0$} & \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0$}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right) \end{equation*}$ $+\cdots+$ $det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots& a_{1j} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\\colorbox{Red}{$0$}& \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$a_{ij}$} & \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0$}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right) \end{equation*}$ $+\dotsc+$ $\, \begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots& a_{1j} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\\colorbox{Red}{$0$}& \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0$} & \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$a_{in}$}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right) \end{equation*}.$

Y así por el lema 2 obtenemos que:

$det\,A=(-1)^{i+1}a_{i1}det\,A(i\mid 1)+\cdots+(-1)^{i+j}a_{ij}det\,A(i\mid j)+\cdots+(-1)^{i+n}a_{in}det\,A(i\mid n).$

La prueba es análoga para las columnas.

$\square$

Ejemplos

$1.$ Considera la matriz $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrr} 1 & -2 & 8 & 0 & 4 \\ 5 & 0 & 13 & 0 & 2 \\ 3 & 8 & 9 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0\\ 9 & 0 & 11 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$

Vamos a desarrollar su determinante. Conviene al desarrollar hacerlo por los renglones o columnas que tengan muchos ceros, vamos a desarrollar por la cuarta columna.

$det\,A=det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrr} 1 & -2 & 8 & \colorbox{Red}{$0$} & 4 \\ 5 & 0 & 13 & \colorbox{Red}{$0$} & 2 \\ 3 & 8 & 9 & \colorbox{Red}{$5$} & 7 \\ 0 & 0 & -2 & \colorbox{Red}{$0$} & 0\\ 9 & 0 & 11 & \colorbox{Red}{$0$} & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$

Según el teorema tenemos que:

$det\,A=(-1)^{1+4}\,\colorbox{Red}{$0$}\,det\,A(1\mid 4)+(-1)^{2+4}\,\colorbox{Red}{$0$}\,det\,A(2\mid 4)+(-1)^{3+4}\,\colorbox{Red}{$5$}\,det\,A(3\mid 4)+(-1)^{4+4}\,\colorbox{Red}{$0$}\,det\,A(4\mid 4)+(-1)^{1+5}\,\colorbox{Red}{$0$}\,det\,A(5\mid 4).$

Eliminando los términos con cero obtenemos que:

$det\,A=(-1)^{3+4}\,5\,det\,A(3\mid 4)=5\,det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 8 & 4 \\ 5 & 0 & 13 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & 0\\ 9 & 0 & 11 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$

Al desarrollar los términos con ceros no aportan a la suma, este nuevo determinante lo vamos a desarrollar por el tercer renglón que también tiene muchos ceros, sea: $A’=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 8 & 4 \\ 5 & 0 & 13 & 2 \\ \colorbox{Red}{$0$} & \colorbox{Red}{$0$} & \colorbox{Red}{$-2$} & \colorbox{Red}{$0$} \\ 9 & 0 & 11 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$.

Vamos a considerar su determinante

$det\,A’=det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 8 & 4 \\ 5 & 0 & 13 & 2 \\ \colorbox{Red}{$0$} & \colorbox{Red}{$0$} & \colorbox{Red}{$-2$} & \colorbox{Red}{$0$} \\ 9 & 0 & 11 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$.

Desarrollando por el tercer renglón, según el teorema tenemos que:

$det\,A’=(-1)^{3+1}\,\colorbox{Red}{$0$}\,det\,A'(3\mid 1)+(-1)^{3+2}\,\colorbox{Red}{$0$}\,det\,A'(3\mid 2) +(-1)^{3+3}\,\colorbox{Red}{$-2$}\,det\,A'(3\mid 3)+(-1)^{3+4}\,\colorbox{Red}{$0$}\,det\,A'(3\mid 4)$

Eliminando los términos con ceros tenemos que:

$det\,A’=(-1)^{3+3}\,\colorbox{Red}{$-2$}\,det\,A'(3\mid 3)=-2\,det\,A'(3\mid 3)=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 4 \\ 5 & 0 & 2 \\ 9 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$

Y como $det\,A=5\,det\,A’=(5)(-2)\,det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 4 \\ 5 & 0 & 2 \\ 9 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$

Sea $A^{\prime\prime}=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & \colorbox{Red}{$-2$} & 4 \\ 5 & \colorbox{Red}{$0$} & 2 \\ 9 & \colorbox{Red}{$0$} & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$.

Obtenemos su determinante desarrollándolo por la segunda columna

$det\,A^{\prime\prime}=det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & \colorbox{Red}{$-2$} & 4 \\ 5 & \colorbox{Red}{$0$} & 2 \\ 9 & \colorbox{Red}{$0$} & 1 \end{array}\right) \end{equation*}= (-1)^{1+2}\,\colorbox{Red}{$-2$}\,det\, A^{\prime\prime} (1\mid 2) + (-1)^{2+2}\,\colorbox{Red}{$0$}\,det\, A^{\prime\prime} (2\mid 2) + (-1)^{3+2}\,\colorbox{Red}{$0$}\,det\, A^{\prime\prime} (3\mid 2)$.

Eliminando los términos con cero tenemos que:

$det\,A^{\prime\prime} = (-1)^{1+2}\,\colorbox{Red}{$-2$}\,det\, A^{\prime\prime} (1\mid 2) =2\,det\, A^{\prime\prime} (1\mid 2) = 2\, \begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 9 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$

Y como $det\,A=(-5)(-2)det\,A^{\prime\prime}$ obtenemos que:

$det\, A= (-5)(-2)(2)\,det\, \begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 9 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}=(-5)(-2)(2)[5-18]=(-5)(-2)(2)(-13)=-260$

Para el siguiente ejemplo tienes que tener el consideración las siguientes propiedades de determinantes vistos en la nota anterior.

$2.$ Si $A$ se obtiene de $A’$ multiplicando el renglón $t$ por $\lambda$, entonces:

$det\,A=\lambda det\,A’.$

$3.$ Si $A$ se obtiene de $A’$ intercambiando dos renglones, entonces:

$det\,A=- det\,A’.$

$5.$ Si $A$ se obtiene de $A’$ sumando a un renglón un múltiplo de otro, entonces:

$det\,A= det\,A’.$

Esto es por que es mucho mas fácil obtener el determinante de una matriz escalonada reducida.

Considera la matriz:

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 2 & 1 \\ 5 & 5 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 4 & 2 \end{array}\right) \end{equation*}$

	Explicación de las igualdades y operaciones elementales
$det\,A=det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 2 & 1 \\ 5 & 5 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 4 & 2 \end{array}\right) \end{equation*}$	Efectúa las operaciones elementales: $R_2\to R_2+5R_1$ $R_3\to R_3+2R_1$ $R_4\to R_4+3R_1$
$=det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 25 & 11 & 8 \\ 0 & 10 & 6 & 3 \\ 0 & 18 & 10 & 5 \end{array}\right) \end{equation*}$	La igualdad se da por la propiedad 5. Efectúa la operación elemental: $\frac{1}{10} R_3$
$=10\,det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 25 & 11 & 8 \\ 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{10} \\ 0 & 18 & 10 & 5 \end{array}\right) \end{equation*}$	La multiplicación por 10 se da por la propiedad 2. Efectúa la operación elemental: $R_2\leftrightarrow R_3$
$=-10\,det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{10}\\ 0 & 25 & 11 & 8 \\ 0 & 18 & 10 & 5 \end{array}\right) \end{equation*}$	El cambio de signo es por la propiedad 3. Efectúa las operaciones elementales: $R_3\to R_3+(-2)R_2$ $R_4\to R_4+(-18)R_2$
$=-10\,det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{10}\\ 0 & 0 & -4 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{4}{5} & -\frac{2}{5} \end{array}\right) \end{equation*}$	La igualdad se da por la propiedad 5. Efectúa la operación elemental: $R_4\to R_4+(-\frac{1}{5})R_2$
$=-10\,det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{10}\\ 0 & 0 & -4 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \end{array}\right) \end{equation*}$	La igualdad se da por la propiedad 5.
$=-10(-1)(1)(-4)(-\frac{1}{2})=20$	Por ser una matriz diagonal inferior su determinante es el producto de los elementos de la diagonal. Pruébalo de tarea moral.

Tarea Moral

$1.$ Una matriz cuadrada $A$ es diagonal si $A_{ij}=0$ para $i\neq j$. Por otro lado una matriz cuadrada $A$ es triangular superior si $A_{ij}=0$ para $i>j$. De acuerdo a la definición del determinante.

$i)$ ¿Cuál es el determinante de una matriz diagonal?

$ii)$ ¿Cuál es el determinante de una matriz triangular superior?

$2.$ Sea $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & 0 & 4\\ 3 & 1 & 0 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 4 \end{array}\right) \end{equation*},$ calcula los menores $3\ 4$ y $1\,1$ de $A$.

$3.$ Calcula el determinante de $A,B,C.$

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 8 & 2 & -1\\ -3 & 4 & -6\\ 1 & 7 & 2 \end{array}\right) \end{equation*}$

$B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & -3 & 4 & 6 \\ -2 & 4 & 1 & 7\\ 3 & -1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 7 \end{array}\right) \end{equation*}$

$C=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} k & -3 & 9\\ 2 & 4 & k+1\\ 1 & k^2 & 3 \end{array}\right) \end{equation*}$

$4.$ Considera la matriz $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}\right) \end{equation*}$

¿Cómo es su determinante en términos de $a,b,c$?. ¿Cómo generalizarías el resultado para matrices $n\times n$?

Más adelante

En la siguiente nota veremos la propiedad multiplicativa que tiene el determinante, así como condiciones del determinante para saber si una matriz es invertible.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 41. Propiedades de los determinantes.

Enlace a la nota siguiente. Nota 43. Propiedad multiplicativa del determinante y teorema de invertibilidad de matrices.