(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

El cálculo del determinante de una matriz es una operación fundamental en la teoría de matrices y álgebra lineal. En esta entrada estudiaremos el método de los menores o cofactores que es una técnica utilizada para calcular el determinante de una matriz cuadrada de cualquier tamaño.

El método se basa en la expansión del determinante a lo largo de una fila o columna de la matriz, calculando el determinante de una matriz a partir de determinantes de ciertas matrices que resultan de eliminar una fila y una columna de la matriz original, acompañados de algunas entradas de la matriz y signos positivos o negativos que se alternan en función de la posición del elemento en la matriz.

El método de los menores o cofactores puede ser un poco tedioso para matrices grandes, pero es una herramienta poderosa para calcular determinantes de matrices cuadradas de cualquier tamaño y puede usarse junto con las propiedades que hemos estudiado de los determinantes para facilitar el cálculo de los mismos.

Ve el siguiente video con las demostraciones de los dos lemas que estudiaremos en esta entrada.

Definición

Sean $n$ un natural positivo, $A\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$ e $i,j\in \{1,\dots ,n\}.$ Denotamos por $A(i\mid j)$ a la matriz $(n-1)\times (n-1)$ que se obtiene de $A$ quitando el renglón $i$ y la columna $j$ de $A$. El menor $i,j$ de $A$ es el determinante de $A(i\mid j).$

Ejemplo

Considera las siguientes matrices:

$A=\left(\begin{array}{rrr}1& -2& 3\\ 5& 7& 0\\ 2& 4& -1\end{array}\right)$ y $A(1\mid 2)=\left(\begin{array}{rr}5& 0\\ 2& -1\end{array}\right).$

El menor $1,2$ de $A$ es $det\left(\begin{array}{rr}5& 0\\ 2& -1\end{array}\right)=-5.$

$A(2\mid 3)=\left(\begin{array}{rr}1& -2\\ 2& 4\end{array}\right)$, el menor $2,3$ de $A$ es $det\left(\begin{array}{rr}1& -2\\ 2& 4\end{array}\right)=8.$

Lema 1

Sean $n$ un natural positivo y $A\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$ tal que $a_{n1}=\cdots =a_{n(n-1)}=0$, entonces $detA=a_{nn}detA(n\mid n).$

Demostración

Sean $n$ un natural positivo y $A\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$ tal que $a_{n1}=\cdots =a_{n(n-1)}=0$.

Por definición de determinante tenemos que:

$detA={\displaystyle \sum _{\sigma \in S_n}sgn\sigma a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)}.}$

Como todos los elementos de la fila $n$ son cero salvo en $n$-ésimo entonces los únicos sumandos que pueden contribuir con algún valor no nulo son aquellos tales que $\sigma (n)=n$, así:

$detA={\displaystyle \sum _{\sigma \in S_n,\sigma (n)=n}sgn\sigma a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n-1\sigma (n-1)}{a}_{nn}.}$

Factorizando $a_{nn}$ tenemos que:

$detA=a_{nn}{\displaystyle \sum _{\sigma \in S_n,\sigma (n)=n}sgn\sigma a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n-1\sigma (n-1)}.}$

Pero cada $\sigma \in S_n$ tal que $\sigma (n)=n$ da lugar a una $\gamma \in S_{n-1}$, a saber $\gamma :\{1,2,\dots ,n-1\}\to \{1,2,\dots ,n-1\}$ tal que $\gamma (i)=\sigma (i)$ para toda $i\in \{1,2,\dots ,n-1\}$, y recíprocamente, cada $\gamma \in S_{n-1}$ da lugar a una $\sigma \in S_n$ tal que $\sigma (n)=n$, a saber $\sigma :\{1,2,\dots ,n\}\to \{1,2,\dots ,n\}$ tal que $\sigma (i)=\gamma (i)$ para toda $i\in \{1,2,\dots ,n-1\}$ y $\sigma (n)=n$. Podemos reescribir lo anterior entonces como:

$detA=a_{nn}{\displaystyle \sum _{\gamma \in S_{n-1}}sgn\gamma a_{1\gamma (1)}\cdots a_{n-1\gamma (n-1)}}$

y por definición de determinante tenemos que:

$detA=a_{nn}detA(n\mid n).$

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Lema 2

Sean $n$ un natural positivo, $A\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$ e $i,j\in \{1,\dots ,n\}.$ Si todos los elementos del renglón $i$ de $A$ salvo quizás $a_{ij}$ son cero, entonces $detA=(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}detA(i\mid j).$

Al número $(-1{)}^{i+j}detA(i\mid j)$ se le conoce como el cofactor $i,j$ de $A$.

Demostración

Sean $n$ un natural positivo, $A\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$, $i,j\in \{1,\dots ,n\}$ con $a_{il}=0\mathrm{\forall }l\ne j.$

Entonces la matriz $A$ se ve de la siguiente forma (el renglón $i$ está marcador en rojo):

$A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1j}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \cdots & ⋮& \cdots & ⋮\\ 0& \cdots & a_{ij}& \cdots & 0\\ ⋮& \cdots & ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nj}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right).$

Vamos a intercambiar renglones y columnas para llevar esta matriz a una del tipo de las requeridas en la hipótesis del lema 1.

Nuestro objetivo es transformar la matriz $A$ en una equivalente $A^{\prime }$, que tenga en el último renglón ceros en todas sus entradas salvo quizás en la última, y cuyo menor $n,n$ que es $det{A}^{\prime }(n\mid n)$, sea igual al menor $i,j$ de $A$, es decir el determinante de la matriz que se obtiene de quitar el $i-$ésimo renglón y la $j-$ésima columna de $A$. Consideremos $A^{\prime }$ la matriz que se obtiene de $A$ después de intercambiar el renglón $i$ de $A$ con cada uno de los $n-i$ renglones subsecuentes, y después intercambiando la columna $j$ de la matriz obtenida con las $n-j$ columnas subsecuentes.

La matriz $A^{\prime }$ es de la forma:

$A^{\prime }=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1j-1}& a_{1j+1}& \cdots & a_{1n}& a_{ij}\\ ⋮& \cdots & ⋮& ⋮& \cdots & ⋮& ⋮\\ a_{i-11}& \cdots & a_{i-1j-1}& a_{i-1j+1}& \cdots & a_{i-1n}& a_{i-1j}\\ a_{i+11}& \cdots & a_{i+1j-1}& a_{i+1j+1}& \cdots & a_{i+1n}& a_{i+1j}\\ ⋮& \cdots & ⋮& ⋮& \cdots & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nj-1}& a_{nj+1}& \cdots & a_{nn}& a_{nj}\\ 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& a_{ij}\end{array}\right).$

Dado Que $A^{\prime }$ se obtuvo de $A$ realizando $n-i$ intercambios de renglones y $n-j$ intercambios de columnas, por la propiedad $3$ de la nota anterior tenemos que:

$detA=(-1{)}^{(n-i)+(n-j)}det{A}^{\prime }.$

Desarrollando tenemos que:

$detA=(-1{)}^{2n-(i+j)}det{A}^{\prime }=(-1{)}^{2n}(-1{)}^{-(i+j)}det{A}^{\prime }$

y dado que $(-1{)}^{2n}=1$ y que $(-1{)}^{-(i+j)}=\frac{1}{(-1{)}^{i+j}}=(-1{)}^{i+j}.$

Obtenemos por el lema 1 que:

$detA=(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}detA(i\mid j).$

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Teorema

Sean $n$ un natural positivo, $A\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$ e $i,j\in \{1,\dots ,n\}.$ Se tiene que:

$detA=(-1{)}^{i+1}{a}_{i1}detA(i\mid 1)+(-1{)}^{i+2}{a}_{i2}detA(i\mid 2)+\cdots +(-1{)}^{i+n}{a}_{in}detA(i\mid n),$

que se conoce como el desarrollo del determinante por el renglón $i$ de $A$, o bien

$detA=(-1{)}^{1+j}{a}_{1j}detA(1\mid j)+(-1{)}^{2+j}{a}_{2j}detA(2\mid j)+\cdots +(-1{)}^{n+j}{a}_{nj}detA(n\mid j),$

que se conoce como el desarrollo del determinante por la columna $j$ de $A$.

Ve el siguiente video de la demostración del teorema:

Demostración

Sean $n$ un natural positivo, $A\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$ e $i,j\in \{1,\dots ,n\}.$

Vamos a considerar el renglón $i$ y pensaremos que en cada término $a_{ij}$ aparece una suma de $n$ términos, $n-1$ son ceros y el otro $a_{ij}$ en el sumando $j$-ésimo. Así, vamos a escribir a la matriz $A$ como:

$A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1j}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \cdots & ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{i1}+0+\cdots +0& \cdots & 0+\cdots +a_{ij}+\cdots +0& \cdots & 0+\cdots +0+a_{in}\\ ⋮& \cdots & ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nj}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right).$

Desde esta perspectiva podemos visualizar al renglón $i$ como la suma de los siguientes $n$ vectores:

$(a_{i1},0,\dots ,0),(0,a_{i2},0,\dots ,0),\dots ,(0,\dots ,0,a_{in}).$

Consideraremos ahora para cada $j\in \{1,\dots ,n\}$, una matriz que tiene los mismos renglones que $A$, excepto en el $i$-ésimo renglón, en el que tendremos precisamente al vector $j$-ésimo de la lista anterior.

Recordemos la propiedad uno de determinantes vista en la nota 41 que nos dice que: Si $R_k^{\prime }$ y $R_k^{\prime \prime }$ son los renglones $k$ de $A^{\prime }$ y $A^{\prime \prime }$ respectivamente, el renglón $k$ de $A$ es $R_k^{\prime }+R_k^{\prime \prime }$, y el resto de los renglones de $A,A^{\prime }$ y $A^{\prime \prime }$ coinciden, entonces $detA=det{A}^{\prime }+det{A}^{\prime \prime }.$ Gracias a dicha propiedad obtenemos que:

$detA=det\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1j}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \cdots & ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{i1}& \cdots & 0& \cdots & 0\\ ⋮& \cdots & ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nj}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$ $+\cdots +$ $det\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1j}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \cdots & ⋮& \cdots & ⋮\\ 0& \cdots & a_{ij}& \cdots & 0\\ ⋮& \cdots & ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nj}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$ $+\dots +$ $\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1j}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \cdots & ⋮& \cdots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& \cdots & a_{in}\\ ⋮& \cdots & ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nj}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right).$

Finalmente, por el lema 2 obtenemos que:

$detA=(-1{)}^{i+1}{a}_{i1}detA(i\mid 1)+\cdots +(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}detA(i\mid j)+\cdots +(-1{)}^{i+n}{a}_{in}detA(i\mid n).$

La prueba es análoga para las columnas.

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Ejemplos

$1.$ Considera la matriz $A=\left(\begin{array}{rrrrr}1& -2& 8& 0& 4\\ 5& 0& 13& 0& 2\\ 3& 8& 9& 5& 7\\ 0& 0& -2& 0& 0\\ 9& 0& 11& 0& 1\end{array}\right)$

Vamos a desarrollar su determinante. Conviene hacerlo por los renglones o columnas que tengan muchos ceros, en este caso vamos a desarrollar por la cuarta columna.

$detA=det\left(\begin{array}{rrrrr}1& -2& 8& 0& 4\\ 5& 0& 13& 0& 2\\ 3& 8& 9& 5& 7\\ 0& 0& -2& 0& 0\\ 9& 0& 11& 0& 1\end{array}\right)$

Según el teorema tenemos que:

$\begin{array}{ll}detA=& (-1{)}^{1+4}(0)detA(1\mid 4)+(-1{)}^{2+4}(0)detA(2\mid 4)\\ & +(-1{)}^{3+4}(5)detA(3\mid 4)+(-1{)}^{4+4}(0)detA(4\mid 4)+(-1{)}^{1+5}(0)detA(5\mid 4).\end{array}$

Eliminando los términos con cero obtenemos que:

$detA=(-1{)}^{3+4}5detA(3\mid 4)=-5det\left(\begin{array}{rrrr}1& -2& 8& 4\\ 5& 0& 13& 2\\ 0& 0& -2& 0\\ 9& 0& 11& 1\end{array}\right)$

Consideremos ahora la matriz:

$A^{\prime }=\left(\begin{array}{rrrr}1& -2& 8& 4\\ 5& 0& 13& 2\\ 0& 0& -2& 0\\ 9& 0& 11& 1\end{array}\right)$.

Vamos a calcular su determinante desarrollándolo a través de su tercer renglón:

$det{A}^{\prime }=det\left(\begin{array}{rrrr}1& -2& 8& 4\\ 5& 0& 13& 2\\ (0)& (0)& (-2)& (0)\\ 9& 0& 11& 1\end{array}\right)$,

al desarrollar obtenemos que:

$det{A}^{\prime }=(-1{)}^{3+1}0det{A}^{\prime }(3\mid 1)+(-1{)}^{3+2}(0)det{A}^{\prime }(3\mid 2)+(-1{)}^{3+3}(-2)det{A}^{\prime }(3\mid 3)+(-1{)}^{3+4}(0)det{A}^{\prime }(3\mid 4)$

Eliminando los términos con ceros tenemos que:

$det{A}^{\prime }=(-1{)}^{3+3}(-2)det{A}^{\prime }(3\mid 3)=-2det{A}^{\prime }(3\mid 3)=\left(\begin{array}{rrr}1& -2& 4\\ 5& 0& 2\\ 9& 0& 1\end{array}\right)$

y como $detA=-5det{A}^{\prime }=(-5)(-2)det\left(\begin{array}{rrr}1& -2& 4\\ 5& 0& 2\\ 9& 0& 1\end{array}\right)$

Sea $A^{\prime \prime }=\left(\begin{array}{rrr}1& -2& 4\\ 5& 0& 2\\ 9& 0& 1\end{array}\right)$.

Desarrollemos su determinante por la segunda columna:

$det{A}^{\prime \prime }=det\left(\begin{array}{rrr}1& -2& 4\\ 5& 0& 2\\ 9& 0& 1\end{array}\right)=(-1{)}^{1+2}(-2)det{A}^{\prime \prime }(1\mid 2)+(-1{)}^{2+2}(0)det{A}^{\prime \prime }(2\mid 2)+(-1{)}^{3+2}(0)det{A}^{\prime \prime }(3\mid 2)$.

Eliminando los términos con cero tenemos que:

$det{A}^{\prime \prime }=(-1{)}^{1+2}(-2)det{A}^{\prime \prime }(1\mid 2)=2det{A}^{\prime \prime }(1\mid 2)=2\left(\begin{array}{rr}5& 2\\ 9& 1\end{array}\right).$

Finalmente, como $detA=(-5)(-2)det{A}^{\prime \prime }$ obtenemos que:

$detA=(-5)(-2)(2)det\left(\begin{array}{rr}5& 2\\ 9& 1\end{array}\right)=(-5)(-2)(2)[5-18]=(-5)(-2)(2)(-13)=-260$

Para el siguiente ejemplo tienes que tener el consideración las siguientes propiedades de determinantes vistos en la nota anterior.

$2.$ Considera la matriz:

$A=\left(\begin{array}{rrrr}-1& 4& 2& 1\\ 5& 5& 1& 3\\ 2& 2& 2& 1\\ 3& 6& 4& 2\end{array}\right)$

Escalonemos la matriz para obtener una matriz escalonada reducida por renglones, cuyo determinante será más sencillo de obtener. Dado que sabemos cómo cambia el determinante con las operaciones elementales realizadas, podremos decir cuál es el determinante de $A$:

	Explicación de las igualdades y operaciones elementales
$detA=det\left(\begin{array}{rrrr}-1& 4& 2& 1\\ 5& 5& 1& 3\\ 2& 2& 2& 1\\ 3& 6& 4& 2\end{array}\right)$	Efectúa las operaciones elementales: $R_2\to R_2+5R_1$ $R_3\to R_3+2R_1$ $R_4\to R_4+3R_1$
$=det\left(\begin{array}{rrrr}-1& 4& 2& 1\\ 0& 25& 11& 8\\ 0& 10& 6& 3\\ 0& 18& 10& 5\end{array}\right)$	La igualdad se da por la propiedad 5. Efectúa la operación elemental: $\frac{1}{10}{R}_3$
$=10det\left(\begin{array}{rrrr}-1& 4& 2& 1\\ 0& 25& 11& 8\\ 0& 1& \frac{3}{5}& \frac{3}{10}\\ 0& 18& 10& 5\end{array}\right)$	La multiplicación por 10 se da por la propiedad 2. Efectúa la operación elemental: $R_2\leftrightarrow R_3$
$=-10det\left(\begin{array}{rrrr}-1& 4& 2& 1\\ 0& 1& \frac{3}{5}& \frac{3}{10}\\ 0& 25& 11& 8\\ 0& 18& 10& 5\end{array}\right)$	El cambio de signo es por la propiedad 3. Efectúa las operaciones elementales: $R_3\to R_3+(-2)R_2$ $R_4\to R_4+(-18)R_2$
$=-10det\left(\begin{array}{rrrr}-1& 4& 2& 1\\ 0& 1& \frac{3}{5}& \frac{3}{10}\\ 0& 0& -4& \frac{1}{2}\\ 0& 0& -\frac{4}{5}& -\frac{2}{5}\end{array}\right)$	La igualdad se da por la propiedad 5. Efectúa la operación elemental: $R_4\to R_4+(-\frac{1}{5})R_2$
$=-10det\left(\begin{array}{rrrr}-1& 4& 2& 1\\ 0& 1& \frac{3}{5}& \frac{3}{10}\\ 0& 0& -4& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 0& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$	La igualdad se da por la propiedad 5.
$=-10(-1)(1)(-4)(-\frac{1}{2})=20$	Por ser una matriz diagonal inferior su determinante es el producto de los elementos de la diagonal. Pruébalo de tarea moral.

Tarea Moral

$1.$ Una matriz cuadrada $A$ es diagonal si $A_{ij}=0$ para $i\ne j$. Por otro lado una matriz cuadrada $A$ es triangular superior si $A_{ij}=0$ para $i>j$. De acuerdo a la definición del determinante.

$i)$ ¿Cuál es el determinante de una matriz diagonal?

$ii)$ ¿Cuál es el determinante de una matriz triangular superior?

$2.$ Sea $A=\left(\begin{array}{rrrr}1& 2& 3& 4\\ 0& -1& 0& 4\\ 3& 1& 0& 4\\ 4& 2& 1& 4\end{array}\right),$ calcula los menores $3,4$ y $1,1$ de $A$.

$3.$ Calcula el determinante de $A,B,C.$

$A=\left(\begin{array}{rrr}8& 2& -1\\ -3& 4& -6\\ 1& 7& 2\end{array}\right)$

$B=\left(\begin{array}{rrrr}1& -3& 4& 6\\ -2& 4& 1& 7\\ 3& -1& 2& 5\\ 1& 2& 3& 7\end{array}\right)$

$C=\left(\begin{array}{rrr}k& -3& 9\\ 2& 4& k+1\\ 1& k^2& 3\end{array}\right)$

$4.$ Considera la matriz $\left(\begin{array}{rrr}1& 1& 1\\ a& b& c\\ a^2& b^2& c^2\end{array}\right)$

¿Cómo es su determinante en términos de $a,b,c$?, ¿cómo generalizarías el resultado para matrices $n\times n$ con $n$ un natural positivo?

Más adelante

En la siguiente y última nota veremos la propiedad multiplicativa que tiene el determinante y estudiaremos qué condición debe cumplir el determinante de una matriz para saber si es invertible.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 41. Propiedades de los determinantes.

Enlace a la nota siguiente. Nota 43. Propiedad multiplicativa del determinante y teorema de invertibilidad de matrices.