Volumen

Cuando definimos volumen aceptaremos el hecho de que si se trata de
un cubo de lado a entonces $V(cubo)=a^3$ y si se trata de un
cilíndro circular recto de radio r y altura h entonces
$V(cil\acute{i}ndro)=\pi r^{2}h$

Ejemplo.- Volumen de un cono de altura a.

Para esto, dividamos la altura en n partes iguales, cada una de longitud ${\displaystyle \frac{a}{n}}$. Construyamos los n cilindros de altura ${\displaystyle \frac{a}{n}}$ y radio $r_k$, k=1,…,n donde ${\displaystyle r_k=k\frac{r}{n}}$.

Entonces el volumen del k-ésimo cilindro es
$$V_k=\pi r_k^2{a}_k=\pi {\left(k\frac{r}{n}\right)}^2\left(\frac{a}{n}\right)=\frac{\pi a{r}^2{k}^2}{n^3}$$
Por lo tanto el volumen del cono es
$$V\approx \sum _{k=1}^n\frac{\pi a{r}^2{k}^2}{n^3}=\frac{\pi a{r}^2}{n^3}\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{\pi a{r}^2{k}^2}{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{\pi a{r}^2}{6}(1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})$$
En consecuencia
$$V=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\pi a{r}^2}{6}(1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})=\frac{1}{3}\pi a{r}^2$$

Ejemplo. Volumen de una esfera

Para esto fijémonos en la mitad de la esfera

El radio del k-ésimo cilindro es
$$r_k=\sqrt{r^2-{\left(k\frac{r}{n}\right)}^2}$$
es decir
$$r_k^2=r^2-{\left(k\frac{r}{n}\right)}^2$$
entonces el volumen del k-ésimo cilindro es
$$V=\pi r_k^2\frac{r}{n}=\pi (r^2-{\left(k\frac{r}{n}\right)}^2)\frac{r}{n}=\pi r^2(1-\frac{k^2}{n^2})\frac{r}{n}=\pi r^3(1-\frac{k^2}{n^2})\frac{1}{n}$$
Es la mitad de la esfera, por lo que
$$V\approx 2\sum _{k=1}^n\pi r^3(1-\frac{k^2}{n^2})\frac{1}{n}=2\pi r^3(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}1-\frac{1}{n^3}\sum _{k=1}^n{k}^2)$$
$$=2\pi r^3(1-\frac{1}{6}(1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n}))$$
Por lo tanto
$$V=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2\pi r^3(1-\frac{1}{6}(1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n}))=\frac{4}{3}\pi r^3$$

Ejemplo.- ¿Cual es el volumen del sólido que esta acotado superiormente por un plano e inferiormente por un cilindro?

Para resolver esto, dividimos en triángulos rectángulos

Tenemos que según la figura
$${\left(\frac{l_k}{2}\right)}^2+{\left(\frac{kr}{n}\right)}^2=r^2$$
por lo tanto
$$l_k=2\sqrt{r^2-{\left(k\frac{r}{n}\right)}^2},\overline{PQ}=k\frac{a}{n}$$

se tiene entonces que
$$V_k=\left(2\sqrt{r^2-{\left(k\frac{r}{n}\right)}^2}\right)\left(\frac{ka}{n}\right)\left(\frac{r}{n}\right)$$
$$V\approx 2r^{2}a\sum _{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)\sqrt{1-{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}\left(\frac{1}{n}\right)$$

$$V=2r^{2}a\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)\sqrt{1-{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}\left(\frac{1}{n}\right)=2r^{2}a{\int }_0^{1}x\sqrt{1-x^2}dx=\frac{2r^{2}a}{3}$$