Introducción

Entre las caracteristicas geometricas básicas de la gráficas de una función estan sus puntos extremos, en los cuales la función alcanza sus valores mayor y menor.

Definición 1. Si $f:u\subset {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ es una función escalar, dado un punto $x_0\in u$ se llama mínimo local de $f$ si existe una vecindad $v$ de $x_0$ tal que $\mathrm{\forall }x\in v$, $f(x)>f(x_0)$. De manera análoga, $x_0\in u$ es un máximo local si existe una vecindad $v$ de $x_0$ tal que $f(x)<f(x_0)$ $\mathrm{\forall }x\in v$. El punto $x_0\in u$ es un extremo local o relativo, si es un mínimo local o máximo local.

Un punto $x_0$ es un punto crítico de $f$ si $Df(x_0)=0$.

Un punto crítico que no es un extremo local se llama punto silla.

Teorema 1. $\mathbf{\text{Criterio de la primera derivada}}$ Si $u\in \mathbb{R}$ es abierto, la función $f:u\subset {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ es diferenciable y $x_0\in u$ es un extremo local entonces $\mathrm{\nabla }f(x_0)=0$, esto es $x_0$ es un punto crítico de $f$.

Demostración. Supongamos que $t$ alcanza su máximo local en $x_0$. Entonces para cualquier $h\in {\mathbb{R}}^n$ la función $g(t)=f(x_0+th)$ tiene un máximo local en $t=0$. Asi, del cálculo de una variable $g^{\prime }(0)=0$ ya que como $g(0)$ es máximo local, $g(t)\le g(0)$ para $t>0$ pequeño
$$\therefore g^{\prime }(0)={\displaystyle \underset{t\to t_0^{+}}{lim}\frac{g(t)-g(0)}{t}=0}$$
Análogamente para $t<0$ pequeño tomamos
$$g^{\prime }(0)={\displaystyle \underset{t\to t_0^{-}}{lim}\frac{g(t)-g(0)}{t}=0}$$
Ahora por regla de la cadena $$g^{\prime }(0)=\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_0)h_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_0)h_2+\cdots +\frac{\partial f}{\partial x_n}(x_0)h_0=\mathrm{\nabla }f(x_0)\cdot h$$
Así $\mathrm{\nabla }f(x_0)\cdot h=0\mathrm{\forall }h$ de modo que $\mathrm{\nabla }f(x_0)=0$. En resumen si $x_0$ es un extremo local, entonces ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)=0\mathrm{\forall }i=1,\dots ,n}$. En otras palabras $\mathrm{\nabla }f(x_0)=0$. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Ejemplo. Hallar los máximos y mínimos de la función $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$, definida por $$f(x,y)=x^2+y^2-2x-6y+14$$

Solución. Debemos identificar los puntos críticos de $f$ resolviendo ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=0}$, ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=0}$ para $x,y$, $$2x-2=02y-6=0$$ De modo que el punto crítico es $(1,3)$. Como $$f(x,y)=(x^2-2x+1)+(y^2-6y+9)+4={(x-1)}^2+{(y-3)}^2+4$$ tenemos que $f(x,y)\ge 4$ por lo tanto en $(1,3)$ $f$ alcanza un mínimo relativo.

Ejemplo. Considerar la función $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$,
$f(x,y)=4-x^2-y^2$ entonces ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=-2x}$, ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=-2y}$. $f$ solo tiene un punto crítico en el origen, donde el valor de $f$ es 4. Como $$f(x,y)=4-(x^2+y^2)$$
tenemos que $f(x,y)\le 4$ por lo tanto en $(0,0)$ $f$ alcanza un máximo relativo.

Ejemplo. En el siguiente ejemplo mostramos que no todo punto critico es un valor extremo\Sea $f(x,y)=x^{2}y+y^{2}x$ tenemos que sus puntos criticos son
$$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+y^2\frac{\partial f}{\partial y}=2xy+x^2=0$$ por lo tanto $$\left(\begin{array}{c}2xy+y^2=0\\ 2xy+x^2=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=y\\ x=-y\end{array}\right)$$ tomando $x=-y$ tenemos que $$2xy+y^2=0\Rightarrow -2y^2+y^2=0\Rightarrow y^2=0\Rightarrow y=0\Rightarrow x=0$$ tomando $x=y$ tenemos que $$2xy+y^2=0\Rightarrow 2y^2+y^2=0\Rightarrow -3y^2=0\Rightarrow y=0\Rightarrow x=0$$ por lo tanto $(0,0)$ es el único punto critico.\Ahora bien para $f(x,y)$ tomamos $x=y$ $$f(x,x)=2x^3$$ la cual es ($<0$ si $x<0$) y ($>0$ si $x>0$) por lo tanto el punto critico $(0,0)$ no es ni máximo ni mínimo local de f \Ahora bien para $f(x,y)$ tomamos $x=-y$ $$f(x,-x)=0\mathrm{\forall }x$$
por lo tanto el punto critico $(0,0)$ no es ni máximo ni mínimo local de $f$

Requerimos un criterio que dependa de la segunda derivada para que un punto sea extremo relativo. En el caso particular $n=1$ el criterio es $f»(x)>0$ y $f»(x)<0$ para máximo o mínimo respectivamente para el contexto de varias variables usaremos el hessiano el cual esta definido por

$$Hf(x_0)h=\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^n\frac{{\partial }^{2}t}{\partial x_i\partial x_j}(x_0{|}_{x_i{x}_j}).$$

Recordando un poco de la expresión de taylor$$f(x,y)=f(x_0,y_0)+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)p(x-x0)+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)p(y-y0)+\frac{1}{2!}(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}p(x-x0{)}^2+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}p(x-x0)(y-y_0)+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}p(y-y0{)}^2)$$

Teorema 2. Sea $B=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right]$ y $H(h)=\frac{1}{2}[h_1,h_2]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\end{array}\right)$ entonces $H(h)$ es definida positiva si y solo si $a>0$ y $ac-b^2>0$.

Demostración. Tenemos $$H(h)=\frac{1}{2}[h_1,h_2]\left[\begin{array}{cc}a{h}_1& b{h}_2\\ b{h}_1& c{h}_2\end{array}\right]=\frac{1}{2}(a{h}_1^2+2b{h}_1{h}_2+c{h}_1^2)$$
si completamos el cuadrado
$$H(h)=\frac{1}{2}a{(h_1+\frac{b}{a}{h}_2)}^2+\frac{1}{2}(c-\frac{b^2}{a})h_2^2$$
supongamos que $h$ es definida positiva. Haciendo $h_2=0$ vemos que $a>0$. Haciendo $h_1=-\frac{b}{a}{h}_2$ $c-\frac{b^2}{a}>0$ ó $ac-b^2>0$ De manera analoga $H(h)$ es definida negativa si y solo si $a<0$ y $ac-b^2>0$. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Criterio del máximo y del mínimo para funciones de dos variables Sea $f(x,y)$ de clase
$C^3$ en un conjunto abierto $u$ de ${\mathbb{R}}^2$. Un punto $x_0,y_0$ es un mínimo local (Estricto) de $f$ si se cumple las siguientes tres condiciones:

I) $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$

II) $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x_0,y_0)>0$

III ) $\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\right)\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}\right)-{\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}\right)}^2>0$ en $(x_0,y_0)$ (Discriminante)

Si en II) tenemos $<0$ en lugar de $>0$ sin cambiar III) hay un máximo local

Ejemplo. Sea $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ la función dada por
$$f(x,y)=2(x-1{)}^2+3(y-2{)}^2$$ tenemos entonces que $\frac{\partial f}{\partial x}=4(x-1)$ $\frac{\partial f}{\partial y}=6(y-2)$ por lo tanto $\frac{\partial f}{\partial x}=0$ $\Rightarrow x=1$

$\frac{\partial f}{\partial y}=0$ $\Rightarrow$ $y=2$

por lo tanto $x_0=(1,2)$ es un punto critico

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=4}$, ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=6}$, ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=0}$, ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=0}$

$H(1,2)=\left|\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 6\end{array}\right|=24>0\mathrm{\forall }(x,y)\in B_{ϵ}(1,2)$
podemos decir que $f$ tiene un mínimo relativo en $(1,2)$