Diferenciación de funciones ${\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$

Sea $f:A\subseteq {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ y $\bar{a}=(a_1,\dots ,a_n)ϵA$. Se define la derivada pacial $i$-esima en $\bar{a}$ denotada $f_x(\bar{a})$, $D_{x}f(\overline{a})$ ó ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(\overline{a})}$ de la forma $f_x={\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a_1,\dots ,a_i+h,\dots .a_n)-f(\overline{a})}{h}={\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h{e}_i)-f(a)}{h}}}$ siendo
${\overline{e}}_i=(0,\dots ,\underset{i-esimo}{1},\dots ,0)$. Si $n=2$ existen 2 derivadas parciales.

Sea $\overline{a}=(x_0,y_0)$ un punto del interior del dominio de $f:A\subseteq {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ las derivas parciales de $f$ en el punto $\overline{a}$ denotada respectivamente por $f_x(x_0,y_0)$, $f_y(x_0,y_0)$
son:

$$f_x(x_0,y_0)={\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}}$$

$$f_y(x_0,y_0)={\displaystyle \underset{k\to 0}{lim}\frac{f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)}{k}}$$

Sea $f:I\subset {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^2{y}^3$

Calcular $f_x,f_y$

En este caso

$$f_x=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$$
$$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(x+h{)}^2{y}^3-x^2{y}^3}{h}$$
$$=\underset{h\to 0}{lim}2x{y}^3+h{y}^3=2x{y}^3$$
$$f_y=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}$$
$$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{x^2(y+h{)}^3-x^2{y}^3}{h}$$
$$=\underset{h\to 0}{lim}3x^2{y}^2+h{y}^3$$
$$=3x^2{y}^2$$

Ejemplo. Sea

Calculemos $f_x(0,0)$
$$f_x(0,0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}$$
$$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{h(0)}{h^2}}{h}$$
$$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{0}{h^3}=0$$
$$f_y(0,0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}$$
$$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{(0)h}{h^2}}{h}$$
$$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{0}{h^3}=0$$
En este caso $f_x=0=f_y$ sin embargo la función no es continua

Derivada Direccional en un punto

Sea $f:A\subseteq {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ $x_0\in A$. Sea $u\in {\mathbb{R}}^n$ con $|u|=1$ la derivada direcional de $f$ en
la dirección del vector $u$, en el punto $x_0$ denotada por ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}(x_0)}$, se define por
$${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}(x_0)={\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+hu)-f(x_0)}{h}}}$$

Ejemplo. Sea $f(x,y)=x^{2}y$ y sea ${\displaystyle u=(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}})}$ por lo tanto la derivada direccional en $(x_0,y_0)$ es:
$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f((x_0,y_0)+h(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}))-f(x_0,y_0)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{{(x_0+\frac{h}{\sqrt{5}})}^2(y_0+\frac{2h}{\sqrt{5}})-x_0^2{y}_0}{h}=$$
$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{(x_0^2+\frac{2x_{0}h}{\sqrt{5}}+\frac{h^2}{5})(y_0+\frac{2h}{\sqrt{5}})-x_0^2{y}_0}{h}=\frac{2x_0^2}{\sqrt{5}}+\frac{2x_0{y}_0}{\sqrt{5}}$$

Notas: 1) La derivada direccional indica la variación de la función en la dirección de $\overline{u}$.
2)Las derivadas parciales son derivadas direccionales respecto a los vectores de la base canonica.

Diferenciabilidad

$\mathbf{\text{Idea Geometrica}}$

$y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$
si $x=x_0$
$y=f(x_0)$
si $x=x_0+h$
$y=f^{\prime }(x_0)h$
$\therefore$ \qquad $r(h)=f(x_0+h)-f(x_0)-f^{\prime }(x_0)h$ (Diferencial)
donde
$$\frac{r(h)}{h}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-f^{\prime }(x_0)$$
Debería ocurrir
$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{r(h)}{h}=0$$

Definición. Sea $A\subset {\mathbb{R}}^2$, un abierto, $f:A\to \mathbb{R}$ y $(x_0,y_0)\in A$. Se dice que f es diferenciable en $(x_0,y_0)$ si existen constantes $A_1,A_2$ tal que
$$f((x_0,y_0)+(h_1,h_2))=f(x_0,y_0)+A_1{h}_1+A_2{h}_2+r(h_1,h_2)$$donde
$$\underset{(h_1,h_2)\to (0,0)}{lim}\frac{r(h_1,h_2)}{|(h_1,h_2)|}=0$$

En la definición anterior si se toma $h=(h_1,0)$ se tiene
$$f((x_0,y_0)+(h_1,0))=f(x_0,y_0)+A_1{h}_1+A_2(0)+r(h_1,0)$$donde
$$\underset{h_1\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h_1,y_0)-f(x_0,y_0)}{h_1}-A_1=\underset{h_1\to 0}{lim}\frac{r(h_1,0)}{h_1}$$
como

$$\underset{h_1\to 0}{lim}\frac{r(h_1,0)}{h_1}=0$$se tiene
$$\underset{h_1\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h_1,y_0)-f(x_0,y_0)}{h_1}-A_1=0$$
en consecuencia

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{h_1\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h_1,y_0)-f(x_0,y_0)}{h_1}=A_1$$
En la definición anterior si se toma $h=(0,h_2)$ se tiene
$$f((x_0,y_0)+(0,h_2))=f(x_0,y_0)+A_1(0)+A_2{h}_2+r(0,h_2)$$donde
$$\underset{h_2\to 0}{lim}\frac{f(x_0,y_0+h_2)-f(x_0,y_0)}{h_2}-A_2=\underset{h_2\to 0}{lim}\frac{r(0,h_2)}{h_2}$$
como
$$\underset{h_2\to 0}{lim}\frac{r(0,h_2)}{h_2}=0$$se tiene
$$\underset{h_0\to 0}{lim}\frac{f(x_0,y_0+h_2)-f(x_0,y_0)}{h_2}-A_2=0$$
en consecuencia

$$\frac{\partial f}{\partial y}=\underset{h_2\to 0}{lim}\frac{f(x_0,y_0+h_2)-f(x_0,y_0)}{h_2}=A_2$$

Definición. Sea $A\subset {\mathbb{R}}^2$, un abierto, $f:A\to \mathbb{R}$ y $(x_0,y_0)\in A$. Se dice que f es diferenciable en $(x_0,y_0)$ si existen las derivadas parciales ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)}$ tal que
$$f((x_0,y_0)+(h_1,h_2))=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)h_1+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)h_2+r(h_1,h_2)$$donde
$$\underset{(h_1,h_2)\to (0,0)}{lim}\frac{r(h_1,h_2)}{|(h_1,h_2)|}=0$$

Más adelante

Tarea Moral

1.- Si $f(x,y)=x^{2}y+y^3$, hallar ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}$ y ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}$

2.-Si $z=cosxy+xcosy=f(x,y)$ hallar las derivadas parciales ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}(x_0,y_0)}$, ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}(x_0,y_0)}$

3.- Evaluar las derivadas parciales ${\displaystyle {\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}}$, ${\displaystyle {\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}}$ para las funciones dadas en los puntos indicados.

a) $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$, $(0,0)$, $(a/2,a/2)$

b) $z=log\sqrt{1+xy}$, $(1,2)$, $(0,0)$

4.-Mostrar que la siguiente función es diferenciable en cada punto de su dominio.

$f(x,y)={\displaystyle {\displaystyle \frac{2xy}{(x^2+y^2{)}^2}}}$

5.- Sea $f(x,y)={\displaystyle {\displaystyle \frac{cosx+e^{xy}}{x^2+y^2}}}$ , muestra que $f$ es diferenciable en todos los puntos $(x,y)\ne (0,0)$

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