Introducción

En la entrada anterior mencionamos que cuando un espacio vectorial tiene una norma, esta a su vez induce una métrica. Al final de esa sección enunciamos algunos ejemplos de espacios normados, ahora procederemos a probar que, en efecto, las definiciones dadas cumplen con la desigualdad del triángulo. Esto se hará a través de las desigualdades de Young, Hölder, Minkowski y Cauchy-Schwarz, cuyas demostraciones, por medio de razonamientos algebraicos, pueden consultarse en diversas fuentes (presentamos algunas al final). Si bien, el álgebra nos da la certeza de la prueba, la geometría nos regala la intuición del por qué ocurre así. Esto nos lleva a motivar la argumentación a modo de dibujos «en bonito» para lo que dedicaremos las siguientes líneas.

La desigualdad de Young

Proposición. Desigualdad de Young. Sean $p,q \in (1, \infty)$ tales que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} =1.$ Entonces para cualesquiera $a,b \in \mathbb{R}$ tales que $a,b \geq 0$ se cumple que

$$ab \leq \frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q.$$

Demostración: Lo veremos geométricamente a través de integrales. Una prueba más breve puede consultarse en el libro Clapp, M., Análisis Matemático. Ciudad de México: Editorial Papirhos, IM-UNAM, 2013. Pág, 12.

Siendo $a,b \geq 0,$ considera el rectángulo de base $a$ y altura $b$ posicionado en el primer cuadrante, como muestra la figura.

Ahora considera una función continua y creciente $f: [0, \infty) \to \mathbb{R}$ tal que $f(0) = 0$ y con $[0,b]$ contenido en la imagen de $f.$ Nota que $f$ es una función inyectiva en $[0, \infty]$ y tiene inversa, cuando menos en los siguientes casos:

de modo que en cualquier caso

$$ab \leq \int_{0}^{a} f(x) dx+ \int_{0}^{b} f^{-1}(x) dx$$

Apliquemos esto considerando la función $f(x)= x^{p-1},$ que es creciente. Nota que $f(0)=0$ y que $f^{-1}(x)=x ^{\frac{1}{p-1}}.$ Dado que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} =1,$ se puede ver que $\frac{1}{p -1}=q-1.$ En consecuencia

\begin{align*}
ab &\leq \int_{0}^{a} f(x) dx+ \int_{0}^{b} f^{-1}(x) dx \\
& = \int_{0}^{a} x^{p-1} dx+ \int_{0}^{b}x ^{\frac{1}{p-1}} dx \\
& = \int_{0}^{a} x^{p-1} dx+ \int_{0}^{b}x ^{q-1} dx \\
& = \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}
\end{align*}

por lo tanto

$$ab \leq \frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q$$

que es lo que queríamos probar. Esta desigualdad será aplicada en las siguientes demostraciones.

La función $\norm{\cdot}_p: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ satisface la desigualdad del triángulo.

Proposición. Desigualdad de Hölder en $\mathbb{R}^n$. Sean $p,q \in (1, \infty)$ tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$ Entonces para cualesquiera $x=(x_1,…,x_n), \, y=(y_1,…,y_n) \in \mathbb{R}^n,$ si $xy:= (x_1 y_1,…,x_n y_n),$ se cumple que

\begin{align*}
\norm{xy}_1 &\leq \norm{x \vphantom{y}}_p \norm{y}_q \\
\sum_{i=1}^{n}|x_i y_i| & \leq \left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p \right)^\frac{1}{p} \left(\sum_{i=1}^{n}|y_i|^q \right)^\frac{1}{q}.
\end{align*}

Demostración: Si algunos de los vectores es cero, la desigualdad es inmediata, entonces supongamos que ambos son distintos de cero. Nota que si la desigualdad se cumple para $x=(x_1,…,x_n), \, y=(y_1,…,y_n) \in \mathbb{R}^n,$ entonces, si $\lambda, \mu \in \mathbb{R},$ la desigualdad también se cumple para $\lambda x = (\lambda x_1,…, \lambda x_n)$ y para $\mu y= (\mu y_1,…, \mu y_n).$ Siendo así, basta con probar la desigualdad para vectores de norma uno (en sus respectivos espacios, inducidos por la norma p o la norma q), es decir cuando

\begin{align*}
&& \norm{x \vphantom{y}}_p &= \norm{y}_q &=1 \\
\\
&\iff& \left( \sum_{i=1}^{n}|x_i|^p \right) ^\frac{1}{p} &= \left(\sum_{i=1}^{n}|y_i|^q \right) ^\frac{1}{q} &=1 \\
&\iff& \sum_{i=1}^{n}|x_i|^p &= \sum_{i=1}^{n}|y_i|^q &=1.
\end{align*}

Asumiendo esto, apliquemos la desigualdad de Young a los términos $|x_i|, \, |y_i|,$ $i = 1,…,n,$ de modo que

\begin{align*}
&& |x_i||y_i|&\leq \frac{|x_i|^p}{p} + \frac{|y_i|^q}{q} \\
&\Rightarrow& \sum_{i=1}^{n}|x_i||y_i|&\leq \sum_{i=1}^{n} \frac{|x_i|^p}{p} + \sum_{i=1}^{n} \frac{|y_i|^q}{q} \\
&\Rightarrow& \sum_{i=1}^{n}|x_i||y_i|&\leq \frac{1}{p}\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p + \frac{1}{q}\sum_{i=1}^{n}|y_i|^q \\
&& &=\frac{1}{p} + \frac{1}{q} \\
&& &=1 \\
&& &=\norm{x \vphantom{y}}_p \norm{y}_q .
\end{align*}

Por lo tanto $\norm{xy}_1 \leq \norm{x \vphantom{y}}_p \norm{y}_q.$

Podemos pensar en la desigualdad de Hölder como un control sobre el producto término a término, de dos vectores, pues la suma no excede el producto del «tamaño» de cada vector en su respectiva norma. Cuando $2=p=q, \,$ la «balanza de los exponentes» es simétrica y tenemos la desigualdad de Cauchy-Schwarz. En este caso estaremos en el espacio métrico euclidiano. Veamos el resultado a través de la «sombra» de un vector, que nunca será más larga que el vector en cuestión.

Proposición. Desigualdad de Cauchy Schwarz. Sean $x=(x_1,…,x_n), \, y=(y_1,…,y_n) \in \mathbb{R}^n.$ Se cumple que

$$\left( \sum_{i=1}^{n}x_i y_i \right) ^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n}x_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n}y_i^2 \right)$$

y la igualdad se verifica si y solo si los vectores están en la misma línea, esto es, si uno es producto escalar de otro.

Demostración: Se sigue de la desigualdad de Hölder, que acabamos de probar, y de la desigualdad del triángulo que:

$$\left( \sum_{i=1}^{n}x_i y_i \right) ^2 = \left| \sum_{i=1}^{n}x_i y_i \right| ^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n}\left| x_i y_i \right| \right) ^2 \leq \left( \left( \sum_{i=1}^{n}|x_i|^2 \right)^{\frac{1}{2}}\left( \sum_{i=1}^{n}|y_i|^2 \right)^{\frac{1}{2}} \right) ^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n}x_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n}y_i^2 \right).$$

Queda como ejercicio probar que la igualdad se da si y solo si los vectores están en la misma línea.

Nota que si consideramos el producto punto euclidiano definido como $x \cdot y:= \sum_{i=1}^{n}x_i y_i$

la desigualdad de Cauchy-Schwarz es equivalente a

$$x \cdot y \leq \norm{x \vphantom{y}}_2\norm{y}_2$$

Pero veamos una interpretación geométrica:

Considera $x=(x_1, x_2), \, y = (y_1, y_2) \in \mathbb{R}^2.$

En las notas de Neumann, M., Geometría Analítica. Producto interno. Facultad de Ciencias UNAM. 2021 se puede ver que el producto punto euclidiano
satisface
$x \cdot y = cos \theta \norm{x \vphantom{y}}_2 \norm{y}_2 $

donde $\theta$ es en ángulo entre los vectores $x$ y $y.$

Las propiedades trigonométricas nos dicen que si proyectamos el vector $x$ en el vector $y,$ el valor de $cos \theta \norm{\vphantom{y}x}_2$ coincide con la norma del vector que genera la «sombra» de la proyección. Nota que el «tamaño» de esa sombra es menor igual que el tamaño del vector proyectado (la norma de $x$), por lo tanto se verifica que:

\begin{align*}
x \cdot y &= \textcolor{magenta}{cos \theta\norm{x \vphantom{y}}_2 } \norm{y}_2 \\
&=\textcolor{magenta}{\norm{\text{sombra}}_2} \norm{y}_2 \\
&\leq \textcolor{magenta}{\norm{\vphantom{y}x}_2} \norm{y}_2 .
\end{align*}

A continuación vamos a comprobar que la norma p satisface la desigualdad del triángulo. Es lo que se conoce como:

Proposición. Desigualdad de Minkowski en $\mathbb{R}^n.$ Sean $x=(x_1,…,x_n), \, y=(y_1,…,y_n) \in \mathbb{R}^n$ y $p \in [1,\infty]$ Se cumple que

\begin{align*}
\norm{x+y}_p &\leq \norm{x \vphantom{y}}_p+\norm{y}_p\\
\\
\left( \sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} & \leq \left(\sum_{i=1}^n|x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} +\left(\sum_{i=1}^n|y_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}.
\end{align*}

Demostración:
Si $p=1$ la desigualdad es inmediata. Considera $p>1.$ Para cada $i=1,…,n$ tenemos que

\begin{align*}
(|x_i|+|y_i|)^{p} &= (|x_i|+|y_i|)(|x_i|+|y_i|)^{p-1}\\
&= \textcolor{magenta}{|x_i|(|x_i|+|y_i|)^{p-1}}+\textcolor{RoyalBlue}{|y_i|(|x_i|+|y_i|)^{p-1}}
\end{align*}

Ahora sumemos los términos para obtener

\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n}(|x_i|+|y_i|)^{p} = \textcolor{magenta}{\sum_{i=1}^{n}|x_i|(|x_i|+|y_i|)^{p-1}}+ \textcolor{RoyalBlue}{\sum_{i=1}^{n}|y_i|(|x_i|+|y_i|)^{p-1}}.
\end{align*}

Sea $\textcolor{RedOrange}{q:= \frac{p}{p-1}}.$ Nota que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}= \frac{1}{p}+\frac{p-1}{p}=\frac{p}{p}=1.$ Apliquemos la desigualdad de Hölder a lo siguiente

\begin{align*}
\textcolor{magenta}{\sum_{i=1}^{n}|x_i|(|x_i|+|y_i|)^{p-1}} &\leq \left(\sum_{i=1}^n|x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} \left(\sum_{i=1}^n|(|x_i|+|y_i|)^{p-1}|^\textcolor{RedOrange}{q} \right)^{\frac{1}{q}} \\
& \leq \norm{x \vphantom{y}}_p \left(\sum_{i=1}^n|(|x_i|+|y_i|)^{p-1}|^\textcolor{RedOrange}{q} \right)^{\frac{1}{q}} \\
& \leq \norm{x \vphantom{y}}_p \left(\sum_{i=1}^n|(|x_i|+|y_i|)^{p-1}|^\textcolor{RedOrange}{\frac{p}{p-1}} \right)^{\frac{1}{q}} \\
& \leq \norm{x \vphantom{y}}_p \left(\sum_{i=1}^n(|x_i|+|y_i|)^{p} \right)^{\frac{1}{q}}.
\end{align*}

Análogamente, podemos probar que
\begin{align*}
\textcolor{RoyalBlue}{\sum_{i=1}^{n}|y_i|(|x_i|+|y_i|)^{p-1}}
& \leq \norm{y \vphantom{y}}_p \left(\sum_{i=1}^n(|x_i|+|y_i|)^{p} \right)^{\frac{1}{q}}.
\end{align*}

Sustituyendo tenemos

\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n}(|x_i|+|y_i|)^{p} &= \textcolor{magenta}{\sum_{i=1}^{n}|x_i|(|x_i|+|y_i|)^{p-1}}+ \textcolor{RoyalBlue}{\sum_{i=1}^{n}|y_i|(|x_i|+|y_i|)^{p-1}}\\
&\leq \textcolor{magenta}{\norm{x \vphantom{y}}_p \left(\sum_{i=1}^n(|x_i|+|y_i|)^{p} \right)^{\frac{1}{q}}} + \textcolor{RoyalBlue}{ \norm{y \vphantom{y}}_p \left(\sum_{i=1}^n(|x_i|+|y_i|)^{p} \right)^{\frac{1}{q}}} \\
&= (\norm{x \vphantom{y}}_p+\norm{y \vphantom{y}}_p) \left(\sum_{i=1}^n(|x_i|+|y_i|)^{p} \right)^{\frac{1}{q}}.
\end{align*}

Dividamos ambos lados de la desigualdad entre $\left(\sum_{i=1}^n(|x_i|+|y_i|)^{p} \right)^{\frac{1}{q}}.$ Esto nos lleva a usar las leyes de los exponentes del lado izquierdo. Al calcular $1-\frac{1}{q}= \frac{1}{p}$ se sigue:

\begin{align*}
\left(\sum_{i=1}^n(|x_i|+|y_i|)^{p} \right)^{\frac{1}{p}}
&\leq \norm{x \vphantom{y}}_p+\norm{y \vphantom{y}}_p .
\end{align*}

Finalmente aplicamos la desigualdad del triángulo en números reales en la parte señalada para obtener

\begin{align*}
\norm{x+y}_p &=\left(\sum_{i=1}^n\textcolor{RedOrange}{|x_i+y_i|}^{p} \right)^{\frac{1}{p}}\\
&\leq \left(\sum_{i=1}^n\textcolor{RedOrange}{(|x_i|+|y_i|)}^{p} \right)^{\frac{1}{p}} \\
&\leq \norm{x \vphantom{y}}_p+\norm{y \vphantom{y}}_p .
\end{align*}

que es lo que queríamos probar.

Aplicaremos este resultado para probar la desigualdad del triángulo en espacios de sucesiones $\ell_p$ con la norma definida en Espacios normados:

La función $\norm{\cdot}_{p}: \ell_{p} \to \mathbb{R}$ satisface la desigualdad del triángulo.

Proposición. Desigualdad de Minkowski para series. Sea $p \in [1, \infty)$ y sean $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}, \, (y_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell_p.$ Se cumple que

\begin{align*}
\norm{(x_n)+(y_n)}_p &\leq \norm{(x_n) \vphantom{y}}_p+\norm{(y_n)}_p\\
\\
\left( \sum_{i=1}^{\infty}|x_i+y_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} & \leq \left(\sum_{i=1}^{\infty}|x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} +\left(\sum_{i=1}^{\infty}|y_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}.
\end{align*}

Demostración:
De acuerdo con el criterio de acotación para series de números reales (lo puedes repasar en Cálculo Diferencial e Integral II: Criterio de la divergencia y de acotación), para ver que la serie $\left( \sum_{i=1}^{\infty}|x_i+y_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}$ converge basta probar que su sucesión de sumas parciales está acotada. Como las series $(x_n), \in (y_n) \in \ell_p$ podemos hablar del valor de su norma, donde:

\begin{align*}
\textcolor{magenta}{\norm{(x_n) \vphantom{y}}_p} &= \textcolor{magenta}{\left(\sum_{i=1}^{\infty}|x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}} \\
\text{y } \,
\textcolor{RoyalBlue}{ \, \norm{(y_n) \vphantom{y}}_p} &= \textcolor{RoyalBlue}{\left(\sum_{i=1}^{\infty}|y_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}}.
\end{align*}

Si sumamos los primeros $N$ elementos, por la desigualdad que acabamos de probar se sigue que

\begin{align*}
\left( \sum_{i=1}^N|x_i+y_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} & \leq \textcolor{magenta}{\left(\sum_{i=1}^N|x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}} + \textcolor{RoyalBlue}{\left(\sum_{i=1}^N|y_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}}\\
&\leq \textcolor{magenta}{\left(\sum_{i=1}^{\infty}|x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}} + \textcolor{RoyalBlue}{\left(\sum_{i=1}^{\infty}|y_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}}\\
&= \textcolor{magenta}{\norm{(x_n) \vphantom{y}}_p} + \textcolor{RoyalBlue}{ \, \norm{(y_n) \vphantom{y}}_p}.
\end{align*}

Como $N$ es cualquier número natural, concluimos que la sucesión de sumas parciales está acotada por $\textcolor{magenta}{\norm{(x_n) \vphantom{y}}_p} + \textcolor{RoyalBlue}{ \, \norm{(y_n) \vphantom{y}}_p} \,$ entonces la serie converge y

$$\norm{(x_n+y_n) \vphantom{y}}_p = \left( \sum_{i=1}^{\infty}|x_i+y_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} \leq \norm{(x_n) \vphantom{y}}_p + \, \norm{(y_n) \vphantom{y}}_p$$

que es lo que queríamos probar.

Ahora conozcamos la versión continua de estas desigualdades, esto es, para espacios donde la norma se define a partir de una integral.

La función $\norm{\cdot \vphantom{b}}_{p}: \mathcal{C}^0[a,b] \to \mathbb{R}$ satisface la desigualdad del triángulo.

Proposición. Desigualdad de Hölder para integrales. Sean $f,g \in \mathcal{C}^0[a,b]$ y $p,q \in (1, \infty)$ tales que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q}=1.$ Se cumple que

\begin{align*}
\int_{a}^{b} |f(x)g(x)| \,dx &\leq \left(\int_{a}^{b} |f(x)|^p \,dx \right)^{1/p} \left(\int_{a}^{b} |g(x)|^q \,dx \right)^{1/q} \\
\norm{fg}_1 &\leq \norm{f}_p \norm{g}_q.
\end{align*}

Demostración:
La desigualdad es inmediata si $f=0 \,$ o $\, g=0$ entonces supongamos que tanto $f$ como $g$ son distintas de cero. Es sencillo probar que $\norm{f}_p \neq 0$ y $\norm{g}_p \neq 0.$

Sea $x \in [a,b].$ Apliquemos la desigualdad de Young, vista arriba, a los números:

\begin{align*}
\textcolor{magenta}{\frac{|f(x)|}{\norm{f}_p}} \,\text{ y } \, \textcolor{RoyalBlue}{\frac{|g(x)|}{\norm{g}_q}}
\end{align*}

tenemos que

\begin{align*}
\textcolor{magenta}{\frac{|f(x)|}{\norm{f}_p}} \, \textcolor{RoyalBlue}{\frac{|g(x)|}{\norm{g}_q}} &\leq \frac{1}{p}\left(\textcolor{magenta}{\frac{|f(x)|}{\norm{f}_p}}\right)^p +\frac{1}{q}\left(\textcolor{RoyalBlue}{\frac{|g(x)|}{\norm{g}_q}}\right)^q \\

\Rightarrow \frac{|\textcolor{magenta}{f(x)}\textcolor{RoyalBlue}{g(x)}|}{\textcolor{magenta}{\norm{f}_p} \textcolor{RoyalBlue}{\norm{g}_q}} &\leq \frac{|f(x)|^p}{p\norm{f}_p^p} + \frac{|g(x)|^q}{q\norm{g}_q^q} \\

\Rightarrow \int_{a}^{b} \frac{|f(x)g(x)|}{\norm{f}_p \norm{g}_q} dx &\leq \int_{a}^{b}\frac{|f(x)|^p}{p\norm{f}_p^p} + \frac{|g(x)|^q}{q\norm{g}_q^q} dx \\
\end{align*}

De lo anterior se sigue:

\begin{align*}
\Rightarrow \frac{1}{\norm{f}_p \norm{g}_q} \int_{a}^{b} |f(x)g(x)| dx &\leq \frac{1}{p\norm{f}_p^p}\textcolor{magenta}{\int_{a}^{b}|f(x)|^p dx} + \frac{1}{q\norm{g}_q^q} \textcolor{RoyalBlue}{\int_{a}^{b}|g(x)|^q dx} \\

&= \frac{1}{p\norm{f}_p^p}\textcolor{magenta}{\norm{f}_p^p} + \frac{1}{q\norm{g}_q^q} \textcolor{RoyalBlue}{\norm{g}_q^q} \\
&= \frac{1}{p}+\frac{1}{q}\\
&=1.
\end{align*}

Al multiplicar ambos lados por $\norm{f}_p \norm{g}_q$ se verifica

\begin{align*}
\Rightarrow \int_{a}^{b} |f(x)g(x)| dx &\leq \norm{f}_p \norm{g}_q
\end{align*}

que es lo que queríamos demostrar, pues
$$\int_{a}^{b} |f(x)g(x)| \,dx =
\norm{fg}_1$$
$$ \text{y }\, \left(\int_{a}^{b} |f(x)|^p \,dx \right)^{1/p} \left(\int_{a}^{b} |g(x)|^q \,dx \right)^{1/q} = \norm{f}_p \norm{g}_q$$

Proposición. Desigualdad de Minkowski para integrales. Sean $f,g \in \mathcal{C}^0[a,b]$ y $p \in [1, \infty].$ Entonces se verifica la desigualdad del triángulo en $\norm{\cdot}_p,$ es decir

\begin{align*}
\norm{f+g}_p \leq \norm{f}_p + \norm{g}_p.
\end{align*}

Ver definición de $\norm{\cdot}_p$ en entrada Espacios normados – El blog de Leo.

Demostración:
Comencemos con el caso en que $p= \infty.$ Sea $x \in [a,b].$ Por la desigualdad del triángulo para números reales tenemos

\begin{align*}
|f(x)+g(x)| &\leq |f(x)|+|g(x)| \\
&\leq \underset{a \leq x \leq b}{max} \, |f(x)|
+\underset{a \leq x \leq b}{max} \, |g(x)| \\
&= \norm{f}_{\infty} +\norm{g}_{\infty}
\end{align*}

Dado que $\underset{a \leq x \leq b}{max} \, |f(x)+g(x)|$ es la menor de las cotas superiores concluimos:

$$\norm{f+g}_{\infty} = \underset{a \leq x \leq b}{max} \, |f(x)+g(x)|\leq \norm{f}_{\infty} +\norm{g}_{\infty}.$$

Por otro lado, cuando $p=1$ la desigualdad se sigue de la linealidad de la integral. Supongamos que $p \in (1,\infty).$

Supongamos también que ambas funciones son distintas de la constante cero (si alguna es cero la desigualdad es inmediata). Veamos que

\begin{align*}
\int_{a}^{b}(|f(x)|+|g(x)|)^p dx &= \int_{a}^{b}(|f(x)|+|g(x)|)(|f(x)|+|g(x)|)^{p-1} dx \\
&= \textcolor{magenta}{\int_{a}^{b}|f(x)|(|f(x)|+|g(x)|)^{p-1} dx}+ \textcolor{RoyalBlue}{\int_{a}^{b}|g(x)|(|f(x)|+|g(x)|)^{p-1} dx} \\
\end{align*}

Como $p>1,$ arriba vimos que si $\textcolor{RedOrange}{q:= \frac{p}{p-1}}$ entonces $\frac{1}{q}+\frac{1}{p}=1.$ Apliquemos la desigualdad de Hölder para integrales en $\textcolor{magenta}{\int_{a}^{b}|f(x)|(|f(x)|+|g(x)|)^{p-1} dx}$ de donde

\begin{align*}
\textcolor{magenta}{\int_{a}^{b}|f(x)|(|f(x)|+|g(x)|)^{p-1} dx} &\leq \left(\int_{a}^{b}|f(x)|^p dx\right)^{\frac{1}{p}} \left(\int_{a}^{b}((|f(x)|+|g(x)|)^{p-1})^{\textcolor{RedOrange}{q}} dx\right)^{\frac{1}{q}} \\
&= \norm{f}_p \left(\int_{a}^{b}((|f(x)|+|g(x)|)^{p-1})^{\textcolor{RedOrange}{\frac{p}{p-1}}} dx\right)^{\frac{1}{q}} \\
&= \norm{f}_p \left(\int_{a}^{b}(|f(x)|+|g(x)|)^{p} dx\right)^{\frac{1}{q}}.
\end{align*}

Se puede verificar de forma análoga que

\begin{align*}
\textcolor{RoyalBlue}{\int_{a}^{b}|g(x)|(|f(x)|+|g(x)|)^{p-1} dx} &\leq \norm{g}_p \left(\int_{a}^{b}(|f(x)|+|g(x)|)^{p} dx\right)^{\frac{1}{q}}.
\end{align*}

En consecuencia

\begin{align*}
\int_{a}^{b}(|f(x)|+|g(x)|)^p dx &= \int_{a}^{b}(|f(x)|+|g(x)|)(|f(x)|+|g(x)|)^{p-1} dx \\
&= \textcolor{magenta}{\int_{a}^{b}|f(x)|(|f(x)|+|g(x)|)^{p-1} dx}+ \textcolor{RoyalBlue}{\int_{a}^{b}|g(x)|(|f(x)|+|g(x)|)^{p-1} dx} \\
&\leq \textcolor{magenta}{\norm{f}_p \left(\int_{a}^{b}(|f(x)|+|g(x)|)^{p} dx\right)^{\frac{1}{q}}} + \textcolor{RoyalBlue}{\norm{g}_p \left(\int_{a}^{b}(|f(x)|+|g(x)|)^{p} dx\right)^{\frac{1}{q}}}\\
&\leq (\norm{f}_p +\norm{g}_p)\left(\int_{a}^{b}(|f(x)|+|g(x)|)^{p} dx\right)^{\frac{1}{q}}.
\end{align*}

Ahora dividamos ambos lados de la desigualdad entre $\left(\int_{a}^{b}(|f(x)|+|g(x)|)^{p} dx\right)^{\frac{1}{q}}.$ Del lado izquierdo aplicamos leyes de los exponentes, restando $1- \frac{1}{q}=\frac{1}{p}.$ Usamos también la desigualdad del triángulo en la parte señalada. Finalmente tenemos:

\begin{align*}
\left(\int_{a}^{b}\textcolor{RedOrange}{|f(x)+g(x)|}^p\right) ^{\frac{1}{p}} &\leq \left(\int_{a}^{b}\textcolor{RedOrange}{(|f(x)|+|g(x)|)}^p\right) ^{\frac{1}{p}} \\ &\leq \norm{f}_p +\norm{g}_p \\
\Rightarrow \norm{f+g}_p &\leq \norm{f}_p +\norm{g}_p
\end{align*}

Que es lo que queríamos probar.

Más adelante…

En la siguiente entrada procederemos a identificar todos los puntos que están «cerca» de un punto específico. ¿Te suena familiar? Vamos a ver si el conjunto formado por estos puntos es diferente al que estamos acostumbrados a representar como una bola «redonda» de radio $\varepsilon > 0$.

Tarea moral

1. Prueba que se cumple la igualdad en la desigualdad de Cauchy Schuarz si y solo si los vectores están en la misma línea.
2. Prueba la desigualdad de Hölder para series: Si $p,q \in (1, \infty)$ y $\frac{1}{p} +\frac{1}{q}=1$ y tenemos dos sucesiones tales que $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell_p$ y $(y_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell_q,$ entonces $(x_ny_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell_1$ y
   \begin{align*}
   \norm{(x_ny_n)}_1 &\leq \norm{(x \vphantom{y}_n)}_p \norm{(y_n)}_q \\
   \sum_{i=1}^{\infty}|x_i y_i| & \leq \left(\sum_{i=1}^{\infty}|x_i|^p \right)^\frac{1}{p} \left(\sum_{i=1}^{\infty}|y_i|^q \right)^\frac{1}{q}.
   \end{align*}
3. Prueba que las funciones definidas en Espacios normados en efecto son normas.

Bibliografía

• Apostol, T., Análisis Matemático (2a ed.). México: Editorial Reverté, 1996. Págs: 17 y 18.
• Kolmogorov, A.N., Fomin, S.V., Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional. (2a ed.). Moscú: Editorial MIR, 1975. Págs: 38-41.
• Clapp, M., Análisis Matemático. Ciudad de México: Editorial Papirhos, IM-UNAM, 2013. Pág, 12-20 y 26.
• Hardy, G.H., Littlewood, J.E. Pólya G., Inequalities. London: Cambridge University. Págs: 111 y 112.
• Neumann, M., Geometría Analítica. Producto interno. Facultad de Ciencias UNAM. 2021.

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