Introducción
Dada la introducción de la sección anterior, donde se genera la intuición de lo que son los teoremas fundamentales, podemos ahondar más en ellos.
En está primera sección tomaremos el primer teorema, que nos habla de la relación que existe entre la definición de una función integral y la derivada de esta función.
De forma económica, se dio un ejemplo que ejemplifica el efecto de aplicar la derivada al resultado de una integral, el cual podemos recordar:
\begin{align*}
\int \limits_0^x 4t^3 \ dt = x^4 ;\\
D(x^4)= 4x^3 .
\end{align*}
Recuperando dicho ejemplo, donde vimos que se recupera la función antes de aplicar la primer transformación; ahora es explicar de manera formal este efecto.
Primer teorema fundamental
El primer teorema fundamental nos da la relación entre la integral y la derivada, en ese orden.
Primero se define la integral de una función continua en un intervalo cerrado y se pide que la integral también sea continua y derivable en dicho intervalo. En caso de que se cumplan todas estas hipótesis, entonces la derivada de la integral es la función original, previo a la integral.
Entonces, prácticamente no transformaste en ningún momento la función.
Pero es importante recordar muy bien las hipótesis para poder aplicar el teorema.
Escribamos esto formalmente.
Teorema: (Primer teorema fundamental del cálculo).
Si $f$ es continua sobre un intervalo $[a,b]$; sea $G$ la función definida por:
$$G(x) = \int \limits_a^x f = \int \limits_a^x f(t) \ dt.$$
Donde $x \in [a,b]$ y $G$ es continua y diferenciable sobre $[a,b]$, entonces:
$$G'(x) = f(x), \ sobre \ [a,b].$$
Demostración.
Supongamos que $x_0 \in [a,b]$, sea $h \neq 0$, y se cumple que $ x_0 + h \in [a,b]$, entonces:
$$G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) = \int \limits_a^{x_0 + h} f(t) \ dt \ – \ \int \limits_a^{x_0} f(t) \ dt .$$
Por hipótesis, $f$ es continua sobre el intervalo, por lo tanto es integrable.
Ahora, utilizando las propiedades de los límites de integración, se puede hacer la siguiente igualdad.
$$\int \limits_a^{x_0 + h} f \ – \ \int \limits_a^{x_0} f = \int \limits_{x_0}^{x_0 + h} f .$$
De forma que la expresión queda de la siguiente manera:
$$G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) = \int \limits_{x_0}^{x_0 + h} f(t) \ dt $$
Observación: Utilizando el teorema del valor medio para la integral (se ilustra como recordatorio);
$$f(x_0) = \frac{1}{h} \int \limits_{x_0}^{x_0 + h} f(t) \ dt ,$$
Podemos escribir la función de la siguiente manera, sustituyendo en la expresión anterior:
\begin{align*}
\frac{G(x_0 + h) \ – \ G(x_0)}{h} \ – \ f(x_0) & = \frac{1}{h} \int \limits_{x_0}^{x_0 + h} [f(t) \ – \ f(x_0)] \ dt.
\end{align*}
Como se ha dicho, $f$ es continua en $x_0$, y recordando la definición de la derivada mediante épsilon y delta como sigue: «para cada $\epsilon >0$, existe un $\delta > 0$ tal que $|f(t) \ – \ f(x_0)| < \epsilon$ para todo $t \in [a,b] \cap \{ x_0 \ – \ \delta , x_0 + \delta \}$».
Se puede concluir que si $(0 < |h| < \delta)$ y $(x_0 + h \in [a,b])$ entonces implica que $|f(t) \ – \ f(x_0)| < \epsilon$ siempre que $(x_0 \leq t \leq x_0 + h)$ si $(h>0)$ ó $(x_0 + h \leq t \leq x_0)$ si $(h<0)$.
Esto quiere decir que si tenemos un valor de $h$ lo suficientemente pequeño, menor que una delta y que si consideramos un punto definido por $x_0 + h$ asegurando que se encuentra dentro de nuestro intervalo de integración; entonces la diferencia entre la función evaluada en cualquier punto $t$ y $f(x_0)$ es menor a épsilon, para cualquier punto $t$ entre $x_0$ y $x_0 + h$.
Por lo tanto, esto implica:
\begin{align*}
\left| \frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} \ – \ f(x_0) \right| & < \left| \frac{1}{h} \int \limits_{x_0}^{x_0 + h} [f(t) \ – \ f(x_0)] \ dt \right| \\ &
= \left| \frac{1}{h} \int \limits_{x_0}^{x_0 + h} \epsilon \ dt \right| = \epsilon.
\end{align*}
Siempre que $0 < |h| < \delta$ y $(x_0 + h) \in [a,b]$.
Entonces,
\begin{align*}
\left| \frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} \ – \ f(x_0) \right| & < \epsilon.
\end{align*}
Sin pérdida de generalidad, se puede ver que:
\begin{align*}
\frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} \ – \ f(x_0) < \epsilon \\
\frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} \ < \ f(x_0) + \epsilon.
\end{align*}
De forma que, al aplicar el límite haciendo que $h$ tienda a cero, recuperamos la definición de la derivada:
$$\lim_{h \to 0} \frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} = G'(x_0).$$
Entones, estamos mostrando que:
$$G'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} = f(x_0)$$
para todo $x_0 \in [a,b]$.
Si consideramos el otro valor posible de la desigualdad del valor absoluto, tenemos el siguiente caso:
\begin{align*}
\frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} \ – \ f(x_0) > – \ \epsilon \\
\ f(x_0) \ – \ \frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} \ < \epsilon.
\end{align*}
A pesar del cambio en el signo, la demostración se sigue de forma análoga llegando al mismo resultado.
$~\square$
Ejemplo:
Sea $S(x) = \int \limits_0^3 x^2 dx$. Encuentre $S'(x)$.
Entonces, queremos la derivada de la integral de la función $f(x)=x^2$.
$$\frac{d}{dx} S(x) = \frac{d}{dx} \int \limits_0^3 x^2 dx . $$
Entonces, por el teorema fundamental del cálculo (primera parte), tenemos lo siguiente.
$$S'(x) = f(x), ~sobre ~[0,3].$$
$$ \left. S'(x) = x^2 \right]_0^3 = 3^2 – 0^2 = 9. $$
Corolario: Sea $f$ continua en $[a,b]$ y existe $g$ tal que $f = g’$, entonces:
$$ \int \limits_a^b f = g(b) \ – \ g(a) $$
Más adelante…
Acabamos de presentar formalmente y de demostrar el primer teorema fundamental del cálculo.
En resumen, este teorema nos dice que la derivada de una integral es la función original, siempre y cuando la función es continua y la integral es continua y derivable.
Entonces, cuando tenemos este tipo de funciones, las transformaciones si son funciones inversas, prácticamente no estamos modificando la función al hacerla pasar por estos procesos.
Esto es útil cuando tenemos funciones que sabemos que provienen de una integral y que queremos derivar, pero que su proceso de cálculo tradicional o, coloquialmente, al momento de arrastrar el lápiz el desarrollo puede ser engorroso. Pero al saber su origen o de donde proviene, el procedimiento se simplifica.
En la siguiente entrada veremos la segunda parte del teorema fundamental. Sería la contraposición al teorema que acabamos de analizar.
Si en este partimos de la integral hacia la derivada, en el siguiente que vamos a ver será a partir de la derivada para terminar con la integral.
Tarea moral
- Demuestra el Corolario presentando en la parte anterior.
- Encuentra las derivadas de las siguientes funciones.
- $G(x)=\int \limits_0^x \sqrt{1 + t^2}dt.$
- $G(x)= \int \limits_a^{x^3} sin^3(t) dt .$
- $G(x)= \int \limits_a^{x^4} sec(t) dt.$
- $G(x)= \int \limits_1^x \frac{1}{t^3+1}dt .$
- $G(x)= \int \limits_1^{1-3x} \frac{u^3}{u^2+1}dt .$
- Suponga una función $F (x) = \int \limits_1^{\sqrt x} sen(t) \ dt$. Calcule la derivada de $F'(x)$. Observación: utilizar la regla de la cadena.
- Suponga una función $F (x) = \int \limits_{x}^{2 x} t^3 \ dt$. Calcule la derivada de $F'(x)$. Observación: utilizar la regla de la cadena y propiedades de la integral, debido a que ambos límites son variables.
Entradas relacionadas
- Página del curso: Cálculo Diferencial e Integral II
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