Dada una función de dos variables que está definida sobre el rectángulo cerrado
$$R=[a,b]\times[c,d]={(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid a\leq x\leq b,
c\leq y \leq d}$$

suponiendo que $f(x,y)\geq 0$. La gráfica de f es
una superfície con ecuación $z=f(x,y)$. Sea S el sólido que esta
encima de R y debajo de la gráfica de f, es decir
$$S={(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}\mid 0\leq z\leq f(x,y),(x,y)\in R}$$

El volumen en esta caso de S es una aproximación al volumen por debajo de la superficie. Ahora bien si dividimos el rectángulo R en subrectángulos. Para el intervalo [a,b] tenemos m subintervalos $[x_{i-1},x_{i}]$ con una longitud de $\displaystyle{\Delta_{x}=\frac{b-a}{m}}$. Para el intervalo [c,d] tenemos n
subintervalos $[y_{j-1},y_{j}]$ con una longitud de $\displaystyle{\Delta_{y}=\frac{d-c}{n}}$. Al trazar rectas paralelas a los ejes coordenados a través de los puntos extremos de las particiones formamos los subrectángulos
$$R_{ij}=[x_{i-1},x_{i}]\times[y_{j-1},y_{j}]={(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x_{i-1}\leq x\leq
x_{i},y_{j-1}\leq y \leq y_{j}}$$ cada uno con un área igual a $\Delta_{A}=\Delta_{x}\Delta_{y}$. Si elegimos un punto muestra $$(x^{*}_{i},y ^{*} _{j})\in R_{ij}$$, entonces podemos aproximar la parte de S que esta encima de cada $R_{ij}$ mediante una caja rectangular delgada con base $R_{ij}$ y altura $$f( x^{*}_{i},y ^{*} _{j} )$$

El volumen de la caja es el producto del área de su base por su
altura, por lo tanto una aproximación al volumen de S es:

$$ V\approx\sum\limits_{i=1}^{m} \sum\limits_{j=1}^{n} f( x^{*}_{i},y ^{*} _{j}) \Delta_{x}\Delta_{y}$$

Con un desarrollo análogo para un conjunto S el sólido que esta
encima de R y encima de la gráfica de f, es decir
$$S={(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}\mid 0\leq f(x,y)\leq z~|~(x,y)\in R}$$

Obtenemos también una aproximación al volumen que se encuentra por debajo de la superficie.
Si consideramos ahora $M_{ij}=sup {f(x_{i},y_{j})}$ y
$m_{ij}=\acute{i}nf{ f(x_{i},y_{j})}$ con $(x_{i},y_{j})\in
R_{ij}$ podemos deducir que
$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}m_{ij}\Delta R_{ij}\leq V(S)\leq \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}M_{ij}\Delta R_{ij}$$
Definición.-Sean f una función (de valores reales) definida y
acotada sobre un rectángulo R contenido en $\mathbb{R}^{n}$ y P una
partición de R. Si $R_{1},R_{2},…,R_{k}$ son los subrectángulos de
R inducidos por la partición P, definimos la suma inferior de f
correspondiente a la partición P denotada por $\underline{S}(f,p)$
como $$\underline{S}(f,p)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}m_{ij}\Delta
R_{ij}$$ Analogamente definimos la suma superior de f
correspondiente a la partición P denotada por $\overline{S}(f,p)$
como
$$\overline{S}(f,p)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}M_{ij}\Delta
R_{ij}$$

Estas sumas tienen una serie de propiedades
Proposición 1: Si P es cualquier partición de R, entonces $$\underline{S}(f,p)\leq\overline{S}(f,p)$$
Demostración: Como $m_{ij}=\acute{i}nf{ f(x_{i},y_{j})}$ y $M_{ij}=sup
{f(x_{i},y_{j})}$ se tiene que $$m_{ij}\leq M_{ij}\Rightarrow
m_{ij}\Delta R_{ij}\leq M_{ij}\Delta
R_{ij}\Rightarrow\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}m_{ij}\Delta R_{ij}\leq
\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}M_{ij}\Delta R_{ij}\Rightarrow
\underline{S}(f,p)\leq \overline{S}(f,p)~\blacksquare$$
Proposición 2: Si $P,Q\in P_{R}$. Si Q refina a P entonces
$$\underline{S}(f,P)\leq\underline{S}(f,Q)\quad y\quad \overline{S}(f,Q)\leq\overline{S}(f,P)$$
Demostración: Sean $R_{1},…,R_{k}$ los subrectángulos inducidos por
P y $R_{1}^{i},…,R_{k}^{i}$ los subrectángulos inducidos por Q.
Dado que cada $R_{j}^{i}$ está contenido en $R_{i}$, tenemos que
${f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{j}^{i}}\subset
{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}}$ y por lo tanto
$inf{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}}\leq
inf{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}^{j}}$ y
$sup{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{j}^{i}}\leq
sup{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}}$ $\therefore$
$$inf{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}}\times\Delta R_{ij}\leq
inf{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}^{j}}\times\Delta
R_{ij}$$
$$sup{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{j}^{i}}\times\Delta R_{ij}\leq
sup{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}}\times\Delta
R_{ij}$$ Si ahora sumamos ambas desigualdades corriendo los índices
i,j se tiene que
$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}inf{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}}\leq\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}inf{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}^{j}}$$
$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}sup{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{j}^{i}}\leq\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}sup{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}}$$
Recordando la definición de suma inferior y suma superior se tiene
que$$\underline{S}(f,P)\leq\underline{S}(f,Q)\quad y\quad
\overline{S}(f,Q)\leq\overline{S}(f,P) ~\blacksquare $$
Proposición 3: Si P y Q son cualesquiera dos particiones del
rectángulo R entonces se cumple $$\underline{S}(f,P)\leq
\overline{S}(f,Q)$$
Demostración: Consideremos la partición $P\bigcup Q$. Esta partición
refina tanto a P como a Q de tal forma que, por la proposición 2 se
tiene $$\underline{S}(f,P)\leq\underline{S}(f,P\bigcup Q)$$ y
también
$$\overline{S}(f,P\bigcup Q)\leq\overline{S}(f,Q)$$ Como $$\underline{S}(f,P\bigcup Q)\leq\overline{S}(f,P\bigcup
Q)$$ por la proposición 1, se tiene que
$$\underline{S}(f,P)\leq\overline{S}(f,Q) ~\blacksquare $$
Ejemplo: Estimar el volúmen de la superfície delimitada por el
rectángulo $[0,\pi]\times[0,\pi]$ y la superfície
$f(x,y)=\sin(x+y)$

Vamos a subdividir el rectángulo $[0,\pi]\times[0,\pi]$ como se
muestra en la figura

Tenemos por tanto que $$V\approx
\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}f(x_{i},y_{j})\triangle
A=f(0,0)\triangle A+f(0,\frac{\pi}{2})\triangle
A+f(\frac{\pi}{2},0)\triangle
A+f(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\triangle A$$
$$=0\times\left(\frac{\pi^{2}}{2}\right)+1\times\left(\frac{\pi^{2}}{2}\right)+1\times\left(\frac{\pi^{2}}{2}\right)+0\times\left(\frac{\pi^{2}}{2}\right)=\frac{\pi^{2}}{2}\approx4.935$$
Definición: Al supremo del conjunto $\underline{S}(f)$ lo
llamamos integral inferior de f sobre R y se puede denotar

$$\underline{\int}R_{f}$$
Y al ínfimo del conjunto $\overline{S}(f)$ lo llamamos integral superior de f sobre R y podemos denotar

$$\overline{\int}R_{f}$$

Definición: Sea
$f:R\subset\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$ acotada sobre el
rectángulo R. Decimos que f es integrable según Riemann sobre R si
se tiene que la integral inferior y la integral superior de f sobre
R son iguales. Es decir

$$\underline{\int}R_{f}=\overline{\int}R_{f}$$

En este caso, a este número lo llamaremos la integral de f y lo denotaremos por
$\displaystyle{\int\int_{R_{f}}}$

Ejemplo: Calcular $\displaystyle{\underline{\int}R_{f}}~~y~~\displaystyle{\overline{\int}R_{f}}$ para $f(x,y)=x+4y$ en el rectángulo $R=[0,2]\times[0,1]$

Solución: Tenemos que para $[0,2]$
consideramos una partición $P={x_{0},x_{1},…,x_{n}}$ con
longitud $\displaystyle{\frac{2-0}{2n}=\frac{1}{n}}$

de esta manera se tiene que $\displaystyle{x_{i}=\frac{i}{n}}$ y
$\displaystyle{x_{i-1}=\frac{i-1}{n}}$. Mientras que para $[0,1]$ consideramos una
partición $P={y_{0},y_{1},…,y_{n}}$ con longitud
$\displaystyle{\frac{1-0}{n}=\frac{1}{n}}$ de esta manera se tiene que
$\displaystyle{y_{j}=\frac{j}{n}}$ y $\displaystyle{y_{j-1}=\frac{j-1}{n}}$.

$\therefore$ Para todo rectángulo $R_{ij}$,
$M_{ij}=sup{f(x_{i,j})|x_{ij}\in
[x_{i-1},x:{i}]\times[y_{j-1},y_{j}]}=x_{i}+4y_{j}$ y
$m_{ij}=sup{f(x_{i,j})|x_{ij}\in
[x_{i-1},x:{i}]\times[y_{j-1},y_{j}]}=x_{i-1}+4y_{j-1}$
$\therefore$
$$\underline{S}(f,P)=\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{n}\left(x_{i-1}+4y_{j-1}\right)\left(\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)=\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{i-1}{n}+4\frac{j-1}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)$$
$$=\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{i-1}{n}+4\frac{j-1}{n}\right)=\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{n}i+4j-5=\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\sum_{i=1}^{2n}n(i-5)+4\left(n\left(\frac{n+1}{2}\right)\right)$$
$$=\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\sum_{i=1}^{2n}(i-5)+2(n+1)=\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\sum_{i=1}^{2n}i+2n-3=\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\left(2n(2n-3)+\frac{2n(2n+1)}{2})\right)=$$
$$\left(\frac{1}{n}\right)\left(2(2n-3)+2n+1\right)=\left(\frac{1}{n}\right)(4n-6+2n+1)=\left(\frac{1}{n}\right)(6n-5)=6-\frac{5}{n}$$
$\therefore$
$$\underline{\int}R_{f}=\sup\underline{S}(f,P)=\lim_{n\rightarrow\infty}\underline{S}(f,P)= \lim_{n\rightarrow\infty} 6-\frac{5}{n}=6$$

Ahora bien para $\displaystyle{\overline{S}R_{f}}$

$\therefore$
$$\overline{S}(f,P)=\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{n}\left(x_{i}+4y_{j}\right)\left(\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)=\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{i}{n}+4\frac{j}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)$$
$$=\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{n}\left(i+4j\right)=\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\sum_{i=1}^{2n}ni+4\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)=\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\left(n\left(\frac{2n(2n+1)}{2}\right)+2n\left(\frac{4n(n+1)}{2}\right)\right)$$
$$=\left(\frac{1}{ n^{3}}\right)(2n^{3}+n^{2}+4n^{3}+4n^{2})=2+\frac{1}{n}+4+\frac{4}{n}=6+\frac{5}{n}$$

$\therefore$
$$\overline{\int}R_{f}=\sup\overline{S}(f,P)=\lim_{n\rightarrow\infty}\overline{S}(f,P)= \lim_{n\rightarrow\infty} 6+\frac{5}{n}=6$$

Volumen

Cuando definimos volumen aceptaremos el hecho de que si se trata de
un cubo de lado a entonces $V(cubo)=a^{3}$ y si se trata de un
cilíndro circular recto de radio r y altura h entonces
$V(cil\acute{i}ndro)=\pi r^{2}h$

Ejemplo.- Volumen de un cono de altura a.

Para esto, dividamos la altura en n partes iguales, cada una de longitud $\displaystyle{\frac{a}{n}}$. Construyamos los n cilindros de altura $\displaystyle{\frac{a}{n}}$ y radio $r_{k}$, k=1,…,n donde $\displaystyle{r_{k}=k\frac{r}{n}}$.

Entonces el volumen del k-ésimo cilindro es
$$V_{k}=\pi r_{k}^{2}a_{k}=\pi \left(k\frac{r}{n}\right)^{2}\left(\frac{a}{n}\right)=\frac{\pi ar^{2}k^{2}}{n^{3}}$$
Por lo tanto el volumen del cono es
$$V\approx \sum_{k=1}^{n}\frac{\pi ar^{2}k^{2}}{n^{3}}=\frac{\pi
ar^{2}}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{\pi
ar^{2}k^{2}}{n^{3}}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{\pi
ar^{2}}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)
$$
En consecuencia
$$V=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\pi
ar^{2}}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{3}\pi a r^{2}$$

Ejemplo. Volumen de una esfera

Para esto fijémonos en la mitad de la esfera

El radio del k-ésimo cilindro es
$$r_{k}=\sqrt{r^{2}-\left(k\frac{r}{n}\right)^{2}}$$
es decir
$$r_{k}^{2}=r^{2}-\left(k\frac{r}{n}\right)^{2}$$
entonces el volumen del k-ésimo cilindro es
$$V=\pi r_{k}^{2}\frac{r}{n}=\pi
\left(r^{2}-\left(k\frac{r}{n}\right)^{2}\right)\frac{r}{n}=\pi
r^{2}\left(1-\frac{k^{2}}{n^{2}}\right)\frac{r}{n}=\pi
r^{3}\left(1-\frac{k^{2}}{n^{2}}\right)\frac{1}{n}$$
Es la mitad de la esfera, por lo que
$$V\approx 2\sum_{k=1}^{n} \pi
r^{3}\left(1-\frac{k^{2}}{n^{2}}\right)\frac{1}{n}=2 \pi
r^{3}\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}1-\frac{1}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n}k^{2}\right)$$
$$=2 \pi r^{3}\left(1-\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)\right)
$$
Por lo tanto
$$V=\lim_{n\rightarrow\infty}2 \pi
r^{3}\left(1-\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)\right)=\frac{4}{3}\pi r^{3}$$

Ejemplo.- ¿Cual es el volumen del sólido que esta acotado superiormente por un plano e inferiormente por un cilindro?

Para resolver esto, dividimos en triángulos rectángulos

Tenemos que según la figura
$$\left(\frac{l_{k}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{kr}{n}\right)^{2}=r^{2}$$
por lo tanto
$$l_{k}=2\sqrt{r^{2}-\left(k\frac{r}{n}\right)^{2}},~~\overline{PQ}=k\frac{a}{n}$$

se tiene entonces que
$$V_{k}=\left(2\sqrt{r^{2}-\left(k\frac{r}{n}\right)^{2}}\right)\left(\frac{ka}{n}\right)\left(\frac{r}{n}\right)$$
$$V\approx
2r^{2}a\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)\sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^{2}}\left(\frac{1}{n}\right)$$

$$V=2r^{2}a\lim_{n\rightarrow
\infty}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)\sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^{2}}\left(\frac{1}{n}\right)=2r^{2}a\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}dx=\frac{2r^{2}a}{3}$$

Definición: Área

La noción intuitiva de área de una región en el plano es el número
de unidades cuadradas contenidas en la región.

Al definir área aceptaremos que el área $A(S)$ de un conjunto
debe ser un número no negativo con las propiedades siguientes:

1.-Si S es un cuadrado de lado K entonces $A(S)=K^2$

2.-El área del todo es la suma de las áreas de sus partes.
Más precisamente si $S$ consiste de los conjuntos que no se
traslapan $S_{1}$,…,$S_{n}$ de áreas $A(S_{1})$,…,$A(S_{n})$
respectivamente, entonces el área de $S$ es $$A(S)=A(S_{1})+\ldots+A(S_{n}).$$

Los cuadrados congruentes proporcionan la manera más fácil de
cubrir el plano sin espacios vacíos o traslapes. Usaremos la rejilla asociada al sistema coordenado proporcionada por
las rectas $x=0,\pm1,\pm2,…$ e $y=0,\pm1,\pm2,…$ la cual
divide al plano en cuadrados de lado 1.

Denotamos $\displaystyle {A_0^{+}(S)}$ el número de cuadrados que
tienen puntos en común con $S$ y $\displaystyle {A_0^{-}(S)}$ el
número de aquellos que están completamente contenidos en $S$

Dividamos ahora cada cuadrado en 4 partes iguales de lado
$\displaystyle{\frac{1}{2}}$ y área $\displaystyle{\frac{1}{4}}$.
Sea $\displaystyle A_1^{+}(S)$ la cuarta parte del número de
aquellos subcuadrados que tienen puntos en común con $S$ y
$\displaystyle A_1^{-}(S)$ la cuarta parte de aquellos completamente
contenidos en $S$.

Se tiene que $\displaystyle{A_0^{-}(S)\leq\displaystyle A_1^{-}(S)}$ y de modo semejante
$\displaystyle{A_0^{+}(S)\geq A_1^{+}(S)}$, al continuar dividiendo cada cuadrado de lado $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ en 4 cuadrados de lado $\frac{1}{4}$. Un dieciseisavo de esos cuadrados que tienen puntos en común con $S$ y un dieciseisavo de esos cuadrados que estan completamente contenidos en $S$, se denotaran por
$\displaystyle{A_2^{+}(S)}$ y $\displaystyle{A_2^{-}(S)}$. \Procediendo de esta forma se asocian los valores $\displaystyle{A_n^{+}(S)}$ y $\displaystyle{A_n^{-}(S)}$ con una división en cuadrados de lado $2^{n}$. Es evidente que los valores $\displaystyle{ A_n^{+}(S)}$ forman una sucesión monótona decreciente y acotada que converge hacia un valor $\displaystyle{A^{+}(S)}$, mientras que los valores $\displaystyle{A_n^{-}(S)}$ crecen monótonamente y convergen hacia un valor $\displaystyle{A^{-}(S)}$.
El valor $\displaystyle{A^{-}(S)}$ representa el área interior, lo mejor que
puede aproximarse el área de $S$ desde abajo por medio de cuadrados
congruentes contenidos en $S$, el área exterior $\displaystyle{A^{+}(S)}$
representa la mejor cota superior obtenible cubriendo a $S$ por
medio de cuadrados congruentes. Podemos denotar $\displaystyle{ A_n^{-}=\sum_{ik}
2^{-2n}}$ con $R_{ik}\subset S$, $\displaystyle{A_n^{+}=\sum_{ik}2^{-2n}}$ con $R_{ik}\cap S\neq\emptyset$ a partir de la definición resulta $0\leq\displaystyle {A_n^{-}}\leq\displaystyle{A_n^{+}}$.\ Las sumas $\displaystyle {A_n^{-}}$ forman una sucesión no decreciente con la cota superior $\displaystyle{A_1^{+}}$ así, convergen hacia un limite $A^{-}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty} A_n^{-}}$.
De manera semejante Las sumas $\displaystyle{A_n^{+}}$ forman una sucesión no
creciente con la cota superior $\displaystyle{A_1^{-}}$ así, convergen hacia un limite
$A^{+}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}} \displaystyle {A_n^{+}}$.
Si ambos valores concuerdan se dice que $S$ es mesurable según
Jordan y el valor común $\displaystyle{A^{-}(S)=A^{+}(S)}$ se llama contenido, o
medida de Jordan de $S$.

Más generalmente, cualquier rectángulo $S$ con lados paralelos a
los ejes coordenados, $S: a\leq x\leq b,~~~c\leq y\leq d$.

Dado un entero positivo n, se pueden encontrar enteros
$\alpha,~\beta,~\gamma,~\delta$ tales que

$\alpha <a\cdot2^{n}\leq\alpha+1,~~~\gamma<c\cdot2^{n}\leq\gamma+1$

$\beta\leq b\cdot2^{n}<\beta+1~~~~\delta\leq d\cdot2^{n}<\delta+1$

por lo tanto
$\displaystyle{\frac{\alpha}{2^{n}}<a\leq\frac{ \alpha+1}{2^{n}}}$
$\displaystyle{\frac{\gamma}{2^{n}}<c\leq\frac{ \gamma+1}{2^{n}}}$

$\displaystyle{\frac{\beta}{2^{n}}\leq b<\frac{\beta+1}{2^{n}}}$

$\displaystyle{\frac{\delta}{2^{n}}\leq d<\frac{\delta+1}{2^{n}}}$

Usando una rejilla adecuada de longitud $2^{n}$ tenemos que

$\displaystyle{\frac{\beta}{2^{n}}-\frac{\alpha+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\leq b-a+\frac{2}{2^{n}}}$

$ \displaystyle{ \frac{\beta+1}{2^{n}}-\frac{\alpha}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\geq b-a-\frac{2}{2^{n}}}$

$ \displaystyle{ \frac{\delta}{2^{n}}-\frac{\gamma+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\leq d-c+\frac{2}{2^{n}}}$

$ \displaystyle{ \frac{\delta+1}{2^{n}}-\frac{\gamma}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\geq d-c-\frac{2}{2^{n}}}$

Por lo tanto
$$A_{n}^{+}=\left(\frac{\beta}{2^{n}}-\frac{\alpha+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\right)\left(\frac{\delta}{2^{n}}-\frac{\gamma+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\right)$$
$$A_{n}^{-}=\left(\frac{\beta+1}{2^{n}}-\frac{\alpha}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\right)\left(\frac{\delta+1}{2^{n}}-\frac{\gamma}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\right)$$

De la desigualdad
$$A_{n}^{-}\leq A\leq A_{n}^{+}$$
tenemos que
$$\left(\frac{\beta+1}{2^{n}}-\frac{\alpha}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\right)\left(\frac{\delta+1}{2^{n}}-\frac{\gamma}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\right)\leq A\leq\left(\frac{\beta}{2^{n}}-\frac{\alpha+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\right)\left(\frac{\delta}{2^{n}}-\frac{\gamma+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\right)$$
como
$$\left(b-a-\frac{2}{2^{n}}\right)\left(d-c-\frac{2}{2^{n}}\right)\leq\left(\frac{\beta+1}{2^{n}}-\frac{\alpha}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\right)\left(\frac{\delta+1}{2^{n}}-\frac{\gamma}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\right)$$
$$\left(\frac{\beta}{2^{n}}-\frac{\alpha+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\right)\left(\frac{\delta}{2^{n}}-\frac{\gamma+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\right)\leq\left(b-a+\frac{2}{2^{n}}\right)\left(d-c+\frac{2}{2^{n}}\right)$$
entonces
$$\left(b-a-\frac{2}{2^{n}}\right)\left(d-c-\frac{2}{2^{n}}\right)\leq A_{n}^{-}\leq A\leq A_{n}^{+}\leq \left(b-a+\frac{2}{2^{n}}\right)\left(d-c+\frac{2}{2^{n}}\right)$$
por lo tanto
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(b-a-\frac{2}{2^{n}}\right)\left(d-c-\frac{2}{2^{n}}\right)\leq \lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{-}=A=\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{+}\leq \lim_{n\rightarrow\infty}\left(b-a+\frac{2}{2^{n}}\right)\left(d-c+\frac{2}{2^{n}}\right)$$
$A=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle
A_n^{+}=\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle
A_n^{-}=(b-a)(d-c)$.