(*) Sobre las derivadas de $g(t)=f(x_0+th,y_0+tk)$

Proposición:

$$g^{(n)}(t)=\sum _{i=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right){\displaystyle \frac{{\partial }^{n}f}{\partial x^i\partial y^{n-i}}}(x_0+th,y_0+tk)h^i{k}^{n-i}$$

Demostración (por inducción)

Base inductiva:

Para $n=1,2$ lo trabajamos en la entrada anterior. https://blog.nekomath.com/?p=101046&preview=true

Paso inductivo:

Supongamos la proposición válida para $n.$

$[$ por demostrar: que es válida para $n+1]$

Entonces

$\begin{array}{rl}{g}^{(n+1)}(t)& ={\displaystyle \frac{d}{dt}}\sum _{i=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right){\displaystyle \frac{{\partial }^{n}f}{\partial x^i\partial y^{n-i}}}(x_0+th,y_0+tk)h^i{k}^{n-i}\\ & =\sum _{i=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)h^i{k}^{n-i}{\displaystyle \frac{d}{dt}}{\displaystyle \frac{{\partial }^{n}f}{\partial x^i\partial y^{n-i}}}(x_0+th,y_0+tk)\end{array}$

Podemos ver a la ${\displaystyle \frac{{\partial }^{n}f}{\partial x^i\partial y^{n-i}}}(x,y)=G(x,y)$

Entonces, derivando $G(x_0+th,y_0+tk)=G(\alpha (t))$ respecto a $t$ se tiene que

${\displaystyle \frac{d}{dt}}{\displaystyle \frac{{\partial }^{n}f}{\partial x^i\partial y^{n-i}}}(x_0+th,y_0+tk)={\displaystyle \frac{{\partial }^{n+1}f}{\partial x^{i+1}\partial y^{n-i}}}(x_0+th,y_0+tk)h+{\displaystyle \frac{{\partial }^{n+1}f}{\partial x^i\partial y^{n-i+1}}}(x_0+th,y_0+tk)k$

Entonces

$\begin{array}{rl}{g}^{(n+1)}(t)& =\sum _{i=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)h^i{k}^{n-i}({\displaystyle \frac{{\partial }^{n+1}f}{\partial x^{i+1}\partial y^{n-i}}}(x_0+th,y_0+tk)h+{\displaystyle \frac{{\partial }^{n+1}f}{\partial x^i\partial y^{n-i+1}}}(x_0+th,y_0+tk)k)\end{array}$…(1)

$[$ por demostrar: $g^{(n+1)}(t)=\sum _{i=0}^{n+1}\left(\begin{array}{c}n+1\\ i\end{array}\right)h^i{k}^{n+1-i}{\displaystyle \frac{{\partial }^{n+1}f}{\partial x^i\partial y^{n+1-i}}}(x_0+th,y_0+tk)]$

De $(1)$ tenemos que

$g^{(n+1)}(t)=\sum _{i=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)h^i{k}^{n-i}{\displaystyle \frac{{\partial }^{n+1}f}{\partial x^{i+1}\partial y^{n-i}}}+\sum _{i=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)h^i{k}^{n+1-i}{\displaystyle \frac{{\partial }^{n+1}f}{\partial x^i\partial y^{n+1-i}}}$

haciendo $j=i+1$

$g^{(n+1)}(t)=\sum _{j=1}^{n+1}\left(\begin{array}{c}n\\ j-1\end{array}\right)h^i{k}^{n+1-i}{\displaystyle \frac{{\partial }^{n+1}f}{\partial x^j\partial y^{n+1-j}}}+\sum _{i=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)h^i{k}^{n+1-i}{\displaystyle \frac{{\partial }^{n+1}f}{\partial x^i\partial y^{n+1-i}}}$

con $i=0$, $j=n+1$

$g^{(n+1)}(t)=\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)h^0{k}^{n+1}{\displaystyle \frac{{\partial }^{n+1}f}{\partial y^{n+1}}}+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)h^{n+1}{k}^0{\displaystyle \frac{{\partial }^{n+1}f}{\partial x^{n+1}}}+\sum _{i=1}^n[\left(\begin{array}{c}n\\ i-1\end{array}\right),+\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)]h^i{k}^{n+1-i}{\displaystyle \frac{{\partial }^{n+1}f}{\partial x^i\partial y^{n+1-i}}}$

entonces

$g^{(n+1)}(t)=\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)h^0{k}^{n+1}{\displaystyle \frac{{\partial }^{n+1}f}{\partial y^{n+1}}}+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)h^{n+1}{k}^0{\displaystyle \frac{{\partial }^{n+1}f}{\partial x^{n+1}}}+\sum _{i=1}^n\left(\begin{array}{c}n+1\\ i\end{array}\right)h^i{k}^{n+1-i}{\displaystyle \frac{{\partial }^{n+1}f}{\partial x^i\partial y^{n+1-i}}}$

$$

(*) Aplicamos el teorema de Taylor a la función $g(t)=f(x_0+th,y_0+tk)$ en $[0,1]$

Teorema de Taylor en una variable

$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x–a)+{\displaystyle \frac{{f^{\prime }}^{\prime }(a)}{2}}(x–a{)}^2+R_2(x)$

Fórmulas para $R_2(x)$

(1) Lagrange: $R_2(x)={\displaystyle \frac{f^{(3)}(t)}{3!}}(x–a{)}^3$ para algún $t\in (a,x)$.

(2) Integral: $R_2(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}{\displaystyle \frac{f^{(3)}(t)}{2!}}(x–a{)}^{2}dt$

Si $[a,x]=[0,1]$ entonces $x–a=1$, por lo que

$g(1)=g(0)+g^{\prime }(0)+{\displaystyle \frac{{g^{\prime }}^{\prime }(0)}{2!}}+R_2(1)$

Si $(x_0,y_0)$ es un punto crítico, entonces

$f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+\cancel{{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0,y_0)h}+\cancel{{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0,y_0)k}+{\displaystyle \frac{1}{2}}[{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}(x_0,y_0)h^2+2{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_0,y_0)hk+{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}}(x_0,y_0)k^2]+R_2(1)$

La expresión resaltada de color se conoce como $Formacuadr\acute{a}tica.$

Calculamos el error con cualquiera de las dos fórmulas vistas, de modo que:

(1) ${\displaystyle \frac{g^{(3)}(t)}{3!}}=\frac{1}{3!}({\displaystyle \frac{\partial f^{(3)}}{\partial x^3}}{h}^3+3{\displaystyle \frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^2\partial y}}{h}^{2}k+3{\displaystyle \frac{{\partial }^{3}f}{\partial x\partial y^2}}h{k}^2+{\displaystyle \frac{\partial f^{(3)}}{\partial y^3}}{k}^3)$ en $t\in (0,1)$

(2) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\displaystyle \frac{g^{(3)}(t)}{2}}(1–t{)}^{2}dt$

$$

(*) Un acercamiento a las formas cuadráticas.

Sea $H:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$, donde

$H(x,y)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

$H(x,y)=a{x}^2+2bxy+c{y}^2$

Definición: $H$ es definida positiva ( o positivamente) si

$\{\begin{array}{l}H(x,y)>0\mathrm{\forall }(x,y)\ne (0,0)\\ \\ H(x,y)=0si(x,y)=(0,0)\end{array}$

Análogamente,

$H$ es definida negativa ( o negativamente) si

$H(x,y)<0\mathrm{\forall }(x,y)\ne (0,0)$

Además

$H$ es semi definida positiva, si $H(x,y)\ge 0\mathrm{\forall }(x,y)$

$H$ es semi definida negativa, si $H(x,y)\le 0\mathrm{\forall }(x,y)$

Las formas cuadráticas más fáciles de estudiar son las que tienen asociada una matriz diagonal $$\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ \\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)$$

Entonces

$$H(x,y)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ \\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$

$$H(x,y)={\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2$$

$H$ es definida positiva si $\{\begin{array}{l}{\lambda }_1>0\\ {\lambda }_2>0\end{array}$

$H$ es definida negativa si $\{\begin{array}{l}{\lambda }_1<0\\ {\lambda }_2<0\end{array}$

$H$ es semi definida positiva si $\{\begin{array}{l}{\lambda }_1\ge 0\\ {\lambda }_2\ge 0\end{array}$

$H$ es semi definida negativa si $\{\begin{array}{l}{\lambda }_1\le 0\\ {\lambda }_2\le 0\end{array}$

$H$ tiene un punto silla en el origen si ${\lambda }_1<0<{\lambda }_2$

$$

Veamos un ejemplo:

$H(x,y)=2xy$

Consideremos composiciones $H\circ T$ , con $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ lineal invertible.

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$

$T(x^{\prime },y^{\prime })=(x,y)$

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

$\{\begin{array}{l}x=a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }\\ y=c{x}^{\prime }+d{y}^{\prime }\end{array}$

$H(T(x^{\prime },y^{\prime }))=H(x,y)$

$\begin{array}{rl}H(T(x^{\prime },y^{\prime }))& =2(a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime })(c{x}^{\prime }+d{y}^{\prime })\\ & =2ac(x^{\prime }{)}^2+2(ad+bc)x^{\prime }{y}^{\prime }+2bd(y^{\prime }{)}^2\end{array}$

Buscamos elegir $T$ tal que $ad+bc=0$

$H\circ T$ tiene asociada la matriz

$\left(\begin{array}{cc}2ac& ad+bc\\ ad+bc& 2bd\end{array}\right)$…(1)

Ahora bien, si $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ y $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$

$A\overrightarrow{w}=\overrightarrow{v}$

$H(\overrightarrow{v})={\overrightarrow{v}}^{t}M\overrightarrow{v}$, donde $M=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

Entonces

$\begin{array}{rl}H(\overrightarrow{v})& ={\overrightarrow{v}}^{t}MA\overrightarrow{w}\\ & =(A\overrightarrow{w}{)}^{t}MA\overrightarrow{w}\\ & ={\overrightarrow{w}}^t{A}^{t}MA\overrightarrow{w}\\ & =A^{t}MA\end{array}$

Comprobamos que (1) $=A^{t}MA$

$\begin{array}{rl}{A}^{t}MA& =\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right)\\ \\ A^{t}MA& =\left(\begin{array}{cc}2ac& ad+bc\\ ad+bc& 2bd\end{array}\right)\end{array}$

Buscamos $T$ tal que $A^{t}MA$ sea diagonal.

Si $A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & –\sin \theta \\ \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$ matriz de rotación de ejes.

$A^t=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \\ –\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos (–\theta )& –\sin (–\theta )\\ \\ \sin (–\theta )& \cos (–\theta )\end{array}\right)=A^{-1}$

Luego $A^{t}MA=A^{-1}MA$ … (2)

Sabemos entonces que $A$ es inyectiva, invertible y su determinante $det(A)=1\ne 0$

Si $\overrightarrow{v_1}=\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \\ \sin \theta \end{array}\right)$

$\overrightarrow{v_2}=\left(\begin{array}{c}–\sin \theta \\ \\ \cos \theta \end{array}\right)$

Entonces $A\overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{v_1}$ y también $A\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{v_2}$, si además $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v_2}$ son eigenvectores ( o vectores propios) de $M$, entonces

$M\overrightarrow{v_1}={\lambda }_1\overrightarrow{v_1}$

$M\overrightarrow{v_2}={\lambda }_2\overrightarrow{v_2}$

$A^{-1}MA\overrightarrow{e_1}=A^{-1}M\overrightarrow{v_1}=A^{-1}{\lambda }_1\overrightarrow{v_1}={\lambda }_1{A}^{-1}\overrightarrow{v_1}={\lambda }_1\overrightarrow{e_1}$

Análogamente

$A^{-1}MA\overrightarrow{e_2}=A^{-1}M\overrightarrow{v_2}=A^{-1}{\lambda }_2\overrightarrow{v_2}={\lambda }_2{A}^{-1}\overrightarrow{v_2}={\lambda }_2\overrightarrow{e_2}$

Luego (2) es igual a $\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ \\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)$

En nuestro ejemplo:

$\overrightarrow{v_1}=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\\ \\ {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}\right)$

$\overrightarrow{v_2}=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{2}}}\\ \\ {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}\right)$

Además ${\lambda }_1=1$ y ${\lambda }_2=–1$

Luego $(x^{\prime }{)}^2–(y^{\prime }{)}^2=2xy=H(x,y)$

Sea $f:U\subseteq {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ , diferneciable en un abierto, convexo $U.$

Sea $(x_0,y_0)\in U$ y $(h,k)$ cercano a $(x_0,y_0)$, tal que $(x_0+h,y_0+k)\in U.$

Como $U$ es convexo, entonces $$(1–t)(x_0,y_0)+t(x_0+h,y_0+k)=(x_0+th,y_0+tk)\in U$$

Podemos parametrizar el segmento de recta $\alpha (t)=(x_0+th,y_0+tk)$ y hacer la composición $f\circ \alpha :[0,1]\to \mathbb{R}$

Le podemos aplicar:

(*) el teorema del valor medio para funciones de $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, y también

(*) la regla de la cadena.

$$

Teorema del valor medio para derivadas

Si $g$ es continua en el cerrado $[0,1]$ y derivable en el abierto $(0,1)$, entonces existe $\theta \in (0,1)$ tal que

$$g^{\prime }(\theta )={\displaystyle \frac{g(1)–g(0)}{1–0}}=g(1)–g(0)$$

donde $g=f\circ \alpha$

$(f\circ \alpha )(\theta )=\mathrm{\nabla }f(\alpha (\theta ))\cdot {\alpha }^{\prime }(\theta )={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)h+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)k$

Sabemos que

$f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+\mathrm{\nabla }f(\alpha (\theta ))\cdot {\alpha }^{\prime }(\theta )$

$f(x_0+h,y_0+k)–f(x_0,y_0)=\mathrm{\nabla }f(\alpha (\theta ))\cdot {\alpha }^{\prime }(\theta )$

Si $f$ fuera de clase ${\mathcal{C}}^2$ podríamos decir más, en particular $g=f\circ \alpha \in {\mathcal{C}}^2$

$g(t)=f(x_0+th,y_0+tk)$

$g^{\prime }(t)={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0+th,y_0+tk)h+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0+th,y_0+tk)k$

Queremos conocer calcular $g^{\prime \prime }(t)$.

Examinemos ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0+th,y_0+tk)h=G(x_0+th,y_0+tk)$

Sea $G(x,y)={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x,y)$, entonces

${\displaystyle \frac{d}{dx}}G(x_0+th,y_0+tk)={\displaystyle \frac{\partial G}{\partial x}}(x_0+th,y_0+tk)h+{\displaystyle \frac{\partial G}{\partial y}}k$

Entonces

$$g^{\prime \prime }=({\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}(x_0+th,y_0+tk)h+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y\partial x}}(x_0+th,y_0+tk)k)h+({\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x\partial y}}(x_0+th,y_0+tk)h+{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}}(x_0+th,y_0+tk)k)k$$

$$g^{\prime \prime }={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}(x_0+th,y_0+tk)h^2+2{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_0+th,y_0+tk)hk+{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}}(x_0+th,y_0+tk)k^2$$

$g^{\prime \prime }$ es la segunda derivada de $(fo\alpha )(t).$

La tercera derivada de $f(\alpha (t))$ es $${\displaystyle \frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^3}}{h}^3+3{\displaystyle \frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^2\partial y}}{h}^{2}k+3{\displaystyle \frac{{\partial }^{3}f}{\partial x\partial y^2}}h{k}^2+{\displaystyle \frac{{\partial }^{3}f}{\partial y^3}}{k}^3$$ valuada en $(x_0+th,y_0+tk)$

$$

Teorema de Taylor para funciones de $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ aplicado a $g=f\circ \alpha$

$g(t)=g(0)+g^{\prime }(0)t+\frac{1}{2}{g}^{\prime \prime }(0)t^2+E(t)$ , donde $E(t)$ es el error.

Una fórmula para este error es ${\displaystyle \frac{g^{\prime \prime \prime }(\xi )}{3!}}$ para alguna $\xi \in (0,t)$

Entonces

$g(t)=f(x_0+th,y_0+tk)$

$g(0)=f(x_0,y_0)$

$g^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0,y_0)h+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0,y_0)k$

$g^{\prime \prime }(0)={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x}}(x_0,y_0)h^2+2{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial }}hk+{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}}(x_0,y_0)k^2$

$E(t)={\displaystyle \frac{g^{\prime \prime \prime }(\xi )}{3!}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^3}}{h}^3+3{\displaystyle \frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^2\partial y}}{h}^{2}k+3{\displaystyle \frac{{\partial }^{3}f}{\partial x\partial y^2}}h{k}^2+{\displaystyle \frac{{\partial }^{3}f}{\partial y^3}}}{3!}}$

Si $f$ es de clase ${\mathcal{C}}^3$ ya tenemos un polinomio de 2° grado que aproxima bien a $f$ localmente.

Si el punto es un $\mathit{\text{ punto crítico }}$ entonces, el polinomio de 2° grado es, esencialmente, un polinomio homogéneo.

$${\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}a{x}^2+2bxy+c{y}^2$$

$p(x,y)=a{x}^2+2bxy+c{y}^2=(x,y)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)$

$p(0)=0$

$\mathrm{\nabla }p(0,0)=({\displaystyle \frac{\partial p}{\partial x}},{\displaystyle \frac{\partial p}{\partial y}})=(2ax+2by,2bx+2cy){|}_{(0,0)}=(0,0)$

El plano tangente a $z=p(x,y)$ es horizontal.

Observación:

La matriz $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)$ es simétrica.

También sabemos que si la matriz es diagonalizable, entonces existe una base ortonormal de vectores propios $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$ tales que

$\Vert \overrightarrow{v_1}\Vert =\Vert \overrightarrow{v_2}\Vert =1$ y también $\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_2}=0$

Y existe $\theta$ tal que

$\overrightarrow{v_1}=(\cos \theta ,\sin \theta )$

$\overrightarrow{v_2}=(–\sin \theta ,\cos \theta )$

Además, existen ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ tales que $$A\overrightarrow{v_1}={\lambda }_1\overrightarrow{v_1}$$ $$A\overrightarrow{v_2}={\lambda }_2\overrightarrow{v_2}$$

$D=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)$ es la matriz diagonal.

Sin pérdida de generalidad en al caso cuando

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)$

$p(x,y)={\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2$

Analicemos los tres casos posibles según los valores de $\lambda$

CASO 1: ${\lambda }_1,{\lambda }_2>0$ entonces, $p$ alcanza un valor mínimo.

https://www.geogebra.org/classic/drtwmcwt

Ejemplo: $p(x,y)=x^2+y^2$

CASO 2: ${\lambda }_1,{\lambda }_2<0$ entonces, $p$ alcanza un valor máximo.

https://www.geogebra.org/classic/zkkwuga4

Ejemplo: $p(x,y)=–x^2–y^2$

CASO 3: ${\lambda }_1>0,{\lambda }_2<0$ entonces, $p$ tiene un punto silla.

https://www.geogebra.org/classic/yczbtnvb

Ejemplo: $p(x,y)=x^2–y^2$

Si alguno de los $\lambda$ es CERO, no se puede concluir nada acerca del punto.

$$

Para funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ alcanza un valor máximo, o un valor mínimo, en $x_0$ y $f$ es derivable en $x_0$ entonces, $f^{\prime }(x_0)=0.$

Si $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ alcanza un valor máximo, o mínimo, en $\overrightarrow{x_0}$ y $f$ es diferenciable entonces $$\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{x_0})=({\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}}(x_0),{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_2}}(x_0),\dots ,{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_n}}(x_0))=\overrightarrow{0}$$

Equivalentemente, la diferencial de $f$ en $\overrightarrow{x_0}$ es $df(\overrightarrow{x_0}):{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ es la función constante CERO.

Geométricamente: Si $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ el plano tangente a la superficie $z=f(x,y)$ en el punto $(x_0,y_0)$ donde se alcanza el valor extremo es horizontal.

Si $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ y $\overrightarrow{x_0}\in {\mathbb{R}}^n$ es un punto crítico de $f$ si $\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{x_0})=\overrightarrow{0}$, es decir, si $d{f}_{\overrightarrow{x_0}}\equiv 0.$

(*) $y_1\in \mathbb{R}$ es un valor regular si $f^{-1}(y_1)$ es un conjunto que no contiene ningún punto crítico.

(*) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ curva parametrizada es regular si $f^{\prime }(t)\ne \overrightarrow{0}$ para toda $t$, $t_0$ es un punto crítico si $f^{\prime }(t_0)=\overrightarrow{0}.$

(*) $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ y $\overrightarrow{x_0}\in {\mathbb{R}}^n$ es un punto crítico si $d{f}_{\overrightarrow{x_0}}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ tiene el rango igual al máximo posible.

$$

Derivadas parciales iteradas (mixtas)

Sea $f:U\subseteq {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ con $U$ abierto, y $(x_0,y_0)\in U.$

Supongamos que existen

${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}:U\subseteq {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$

${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}:U\subseteq {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$

Conceptualmente

$${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}\ne {\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}$$

$$

Entonces, quizás te preguntes, ¿existen funciones tales que sus derivadas parciales iteradas (o mixtas) sean iguales?; ¿cuáles son las funciones para las cuales sus derivadas parciales iteradas (o mixtas) son iguales?

Para responder a estas preguntas tenemos el siguiente teorema.

$$

Teorema

Si $f$ es de clase ${\mathcal{C}}^2$ (es decir, que las segundas derivadas existen y son continuas) entonces las derivadas parciales iteradas ( o mixtas) son iguales.

Sea $f:U\subset {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ donde $U$ es abierto, y $(x_0,y_0)\in U$ entonces $${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_0,y_0)={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_0,y_0)$$

Demostración:

Definamos $A=f(x_0+h,y_0+k)–f(x_0+h,y_0)–f(x_0,y_0+k)+f(x_0,y_0)=g(x_0+h)–g(x_0)$

Si $g(x,y_0+k)–f(x,y_0)$, fijando $y_0,k$ tenemos que $g(x)={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x,y_0+\theta k)k$ con $0<\theta <1$.

Entonces

${\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}}(x_0+\eta h)h$ y por tanto

$A={\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0+\eta h,y_0+\theta k)hk$

Por otra parte $A$ también puede verse como una resta de valores de otra función $G$.

$A=G(y_0+k)–G(y_0)$ , donde $G(y)=f(x_0+h,y)–f(x_0,y)$

Fijando $x_0,h$

$G(y_0+k)=f(x_0+h,y_0+k)–f(x_0,y_0+k)$, y por otro lado

$G(y_0)=f(x_0+h,y_0)–f(x_0,y_0)$

Luego

$G(y_0+k)–G(y_0)=f(x_0+h,y_0+k)–f(x_0,y_0+k)–f(x_0+h,y_0)+f(x_0,y_0)$

Además

$G^{\prime }(y_0+\hat{\theta }k)={\displaystyle \frac{G(y_0+k)–G(y_0)}{k}}$

$k{G}^{\prime }(y_0+\hat{\theta }k)=G(y_0+k)–G(y_0)$

Entonces

$\begin{array}{rl}A& =G(y_0+k)–G(y_0)\\ & ={\displaystyle \frac{\partial G}{\partial y}}(y_0+\hat{\theta }k)k\\ & =({\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0+h,y_0+\hat{\theta }k)k–{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0,y_0+\hat{\theta }k)k)\\ & ={\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0+\hat{\eta }h,y_0+\hat{\theta }k)hk\end{array}$

Entonces ${\displaystyle \frac{A}{hk}}={\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0+\hat{\eta }h,y_0+\hat{\theta }k)$

Luego

$\underset{(h,k)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{A}{hk}}=\underset{(h,k)\to (0,0)}{lim}[{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_0+\hat{\eta }h,y_0+\hat{\theta }k)]={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_0,y_0){}_{\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}}$

$$

Teorema de Taylor ( 1° grado)

Sea $f:U\subseteq {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ , de clase ${\mathcal{C}}^2$ , diferenciable en $\overrightarrow{x_0}\in U$ abierto. Entonces $$f(\overrightarrow{x_0}+\overrightarrow{h})=f(\overrightarrow{x_0})+\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{x_0})\cdot \overrightarrow{h}+R_1(\overrightarrow{x_0},\overrightarrow{h})$$

donde $\underset{\overrightarrow{h}\to \overrightarrow{0}}{lim}{\displaystyle \frac{R_1(\overrightarrow{x_0},\overrightarrow{h})}{\Vert \overrightarrow{h}\Vert }}=0$

Teorema de Taylor ( 2° grado)

Sea $f:U\subseteq {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ , de clase ${\mathcal{C}}^3.$ Entonces $$f(\overrightarrow{x_0}+\overrightarrow{h})=f(\overrightarrow{x_0})+\sum _{i=1}^n{h}_i{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}}\overrightarrow{x_0}+\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^n{h}_i{h}_j{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}}\overrightarrow{x_0}+R_2(\overrightarrow{x_0},\overrightarrow{h})$$

tal que $\underset{\overrightarrow{h}\to \overrightarrow{0}}{lim}{\displaystyle \frac{R_2(\overrightarrow{x_0},\overrightarrow{h})}{\Vert \overrightarrow{h}{\Vert }^2}}=0$ , y $\overrightarrow{h}=(h_1,h_2,\cdots ,h_n).$